Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna 9. Funkcje charakterystyczne - zadania do samodzielnego
rozwiązania
Zad. 9.1 Wyznacz funkcję charakterystyczną zmiennej losowej X o gęstości
f (x) =
1 2
1 −12|x|; |x| ¬ 2
0; |X| > 2.
Zad. 9.2 Zmienna losowa X ma rozkład jednostajny na odcinku (−1, 1). Wyznacz funkcję charakterystyczną zmiennej Y = g(X), gdzie
g(x) =
−1, x ¬ 0 x, x > 0.
Zad. 9.3 Zmienne losowe X1, X2, . . . , Xnsą niezależne i mają rozkład Cauchy’ego C(0, 1).
Wykaż, że X = 1nPnk=1Xk ma również rozkład Cauchy’ego.
Zad. 9.4 Sprawdź, czy suma X + Y niezależnych zmiennych losowych X i Y o rozkładach 1. Poissona z parametrami λ1 i λ2,
2. wykładniczych z tym samym parametrem λ
ma również rozkład odpowiednio Poissona i wykładniczy. Z jakim parametrem?
Zad. 9.5 Wykaż, że funkcje 1. ϕ(t) = 1+i|t|1 ,
2. ϕ(t) =
2 − |t|; |t| < 2 0; |t| 2
nie mogą być funkcjami charakterystycznymi.
Zad. 9.6 Korzystając ze wzoru na odwrócenie, wyznacz rozkład zmiennej losowej X o funk- cji charakterystycznej
ϕ(t) = exp(2it − 3|t|).
Zad. 9.7 Niech X, Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach Poissona z tym samym parametrem λ. Wyznacz funkcję charakterystyczną zmiennej Z = X − Y i oblicz E(Z3).
Zad. 9.8 Wyznacz:
1. EX2 dla zmiennej losowej X o rozkładzie P o(λ), 2. EXk dla zmiennej losowej X o rozkładzie E(λ).
Zad. 9.9 Niech dla każdego n ∈ N zmienne losowe Xn i Yn będą niezależne oraz Xn ma rozkład U (0, n), zaś Yn ma rozkład P o(1). Znajdź granicę według rozkładu ciągu Zn= Xn+Ynn.
Zad. 9.10 Xn, Yn są niezależnymi zmiennymi losowymi, Xn ma rozkład jednostajny na odcinku −n1,n1, natomiast Yn ma rozkład zadany równościami:
P
Yn = 1 + 1 n
= P
Yn= −1 + 1 n
= 1 2. Zmienna Zn określona jest wzorem Zn = 2Xn+ Yn.
1. Wyznacz funkcję charakterystyczną zmiennej Zn. 2. Wyznacz granicę według rozkładu zmiennej Zn.
Zad. 9.11 1. Wyznacz funkcję charakterystyczną zmiennej losowej o rozkładzie Lapla- ce’a, tzn. zmiennej o gęstości rozkładu
f (x) = 1
2e−|x|, x ∈ R.
2. Czy ciąg
X1+ X2+ . . . + Xn
√n ,
gdzie X1, X2, . . . są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie Laplace’a jest słabo zbieżny? Jeśli tak, to do jakiej zmiennej?
Zad. 9.12 Zbadaj zbieżność według rozkładu ciągu Yn = 1
2X1+ 1
22X2+ 1
23X3+ ... + 1 2nXn,
gdzie X1, X2, ... są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie N (0, 1) każda.
