Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna 8. Mocne prawo wielkich liczb – zadania do samodzielnego rozwiązania

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna 8. Mocne prawo wielkich liczb – zadania do samodzielnego

rozwiązania

Zad. 8.1 Niech X₁, X₂, ... będą niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkła- dzie wykładniczym E(2). Oblicz granicę prawie wszędzie ciągu

Y_n=

Pn i=1X_i²

Pn i=1X_i .

Zad. 8.2 Niech X1, X2, ... będą niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkła- dzie jednostajnym na odcinku (−^π₂,^π₂]. Zbadaj zbieżność prawie wszędzie ciągu

Y_n=

Pn

i=1(X_i+ 1)²

Pn

i=1cos(X_i) .

Zad. 8.3 Niech X₁, X₂, ... będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach jednostaj- nych na odcinku (1, 3). Zbadaj zbieżność prawie wszędzie ciągu

Y_n= (

2n

Y

k=1

X_k^(−1)k+1)ⁿ¹ .

Zad. 8.4 Zmienne X₁, X₂, ... są niezależne i mają rozkład wykładniczy z gęstością f (x) = 2e^−2xI_(0,∞)(x). Zbadaj zbieżność P -p.w. ciągu

Y_n=

Pn

k=1max(X_2i, X_2i−1)

Pn

k=1(X_2i+ X_2i−1) .

Zad. 8.5 Niech X₁, X₂, ... będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach wykład- niczych z parametrem 1. Zbadaj zbieżność ciągu

Y_n =

Pn

k=1e^−Xk

Pn

k=1X_k .

Zad. 8.6 Znajdź granicę prawie wszędzie ciągu

Y_n = 1 n

n

X

i=1

(−1)ⁱ⁺¹X_i ,

gdzie {Xi}_i∈N są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach dwumianowych B(10,¹₄).

Zad. 8.7 X₁, X₂, X₃, . . . jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie jed- nostajnym na odcinku ^−^π₄,^π₄^. Zbadaj zbieżność P -prawie wszędzie ciągu

Y_n= 1 n² ·

n

X

k=1

tg X_k·

n

X

k=1

X_k².

Zad. 8.8 X₁, X₂, X₃, . . . jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie geo- metrycznym z parametrem p = ¹₂. Zbadaj zbieżność P -prawie wszędzie ciągu

Yn = 1 n

n

X

k=1

cos

π 2Xk



.

Zad. 8.9 X₁, X₂, X₃, . . . jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie geo- metrycznym z parametrem p. Zbadaj zbieżność P -prawie wszędzie ciągu

Y_n = 1 n

n

X

k=1

e^−Xk.

Zad. 8.10 Niech X₁, X₂, ... oraz Y₁, Y₂, ... są dwoma ciągami niezależnych zmiennych lo- sowych o rozkładach odpowiednio E(2) i dyskretnym zadanym następująco:

P (Yi = −1) = 1/2, P (Yi = 0) = 1/3, P (Yi = 1) = 1/6.

Dodatkowo dla każdego i zmienne X_i, Y_i są niezależne. Wyznacz granicę P -prawie wszędzie i według prawdopodobieństwa ciągu

Z_n=

Pn i=1X_iY_i

Pn

i=1(X_i²+ Y_i²). Zad. 8.11 Oblicz granicę

n→∞lim

√1 n

Z 1 0

. . .

Z 1 0

q

x²₁+ . . . + x²_ndx₁. . . dx_n.

Zad. 8.12 Oblicz granicę

n→∞lim 1 nπⁿ

Z π 0

. . .

Z π 0

(sin x₁+ sin x₂+ . . . + sin x_n) dx₁. . . dx_n.