Wstęp do statystycznej analizy danych (3 inf, 2014/2015)
5. Mocne Prawo Wielkich Liczb
Zad. 5.1 Niech X1, X2, . . . będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o jednako- wym rozkładzie wykładniczym E(2). Oblicz granicę prawie wszędzie ciągu
Yn =
n
P
i=1
Xi2
Pn
i=1
Xi
.
Zad. 5.2 Niech X1, X2, . . . oraz Y1, Y2, . . . będą dwoma ciągami niezależnych zmiennych losowych o rozkładach odpowiednio E(2) i dyskretnym zadanym następująco:
P (Yi = −1) = 1/2, P (Yi = 0) = 1/3. P (Yi = 1) = 1/6.
Dodatkowo dla każdego i zmienne Xi, Yi są niezależne. Wyznacz granicę P -prawie wszędzie ciągu
Zn =
n
P
i=1
XiYi
Pn
i=1
(Xi2+ Yi2) .
5’. Zadania do samodzielnego rozwiązania
Zad. 5’.1 Niech X1, X2, . . . będą niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym roz- kładzie jednostajnym na odcinku (−π2,π2]. Zbadaj zbieżność prawie wszędzie ciągu
Yn=
n
P
i=1
(Xi+ 1)2
n
P
i=1
cos(Xi) .
Zad. 5’.2 Niech X1, X2, . . . będą niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym roz- kładach jednostajnych na odcinku (1, 3). Zbadaj zbieżność prawie wszędzie ciągu
Yn =
2n
Y
k=1
Xk(−1)k+1
!1n
.
Zad. 5’.3 Niech X1, X2, . . . będą niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym roz- kładzie wykładniczym E(2). Zbadaj zbieżność P -p.w. ciągu
Yn =
Pn
i=1
max(X2i, X2i−1)
n
P
i=1
(X2i+ X2i−1) .
1
