Dodatek Matematyczny
D
LICZBY ZESPOLONE
1. Wprowadzenie
Liczby zespolone straszą swoją egzotyką. I choć działać mogą odstraszająco, to ich pojawienie się wprowadziło do matematyki wiele ładu. Dziś nie może się bez nich obyć ani matematyka ani fizyka. Główną motywacją wprowadzenia liczb zespolonych była chęć poradzenia sobie z wyrażeniami typu pierwiastek kwadratowy z liczby ujemnej. Można oczywiście zapostulować, że wyrażenie typu
√−1 1.1
nie istnieje, ale oznacza to odebranie prawa do obywatelstwa w królestwie matematyki ogromnej liczbie matematycznych wyrażeń. Efekty tego są przykre.
Na przykład od razu pojawi się cały szereg równań nie mających rozwiązania.
Oto prosty przykład takiego równania
𝑥2 + 1 = 0 1.2
Gdyby jednak wyrażenie pierwiastek z minus jednej miało sens, to i równanie (1.2) miałoby rozwiązanie. Jednakże nie istnieje liczba rzeczywista r, której kwadrat byłby równy -1
𝑟2 = −1; 𝑡𝑎𝑘𝑖𝑒 𝑟 𝑛𝑖𝑒 𝑖𝑠𝑡𝑛𝑖𝑒𝑗𝑒 𝑤𝑠𝑟ó𝑑 𝑙𝑖𝑐𝑧𝑏 𝑟𝑧𝑒𝑐𝑧𝑦𝑤𝑖𝑠𝑡𝑦𝑐ℎ 1.3
A gdyby tak założyć, że zbiór liczb rzeczywistych nie jest kompletny, i że istnieje jednak liczba równa pierwiastkowi z minus jeden – oznaczmy ją literką i.
𝑖 = √−1 1.4
Czemu nie - należy jedynie pokazać, że i sensownie wpisze się w resztę matematyki. Sensownie, to znaczy że jej wprowadzenie nie będzie prowadziło do sprzecznych stwierdzeń. Podjęte w tym kierunku wysiłki dały rezultaty, które przeszły wszelkie oczekiwania. Liczba i nie tylko gładko zintegrowała się z pozostałymi liczbami, ale również wniosła do matematyki zadziwiająco wiele elegancji i prostoty. Wygląda na to, że nikt jej na siłę do matematyki nie wprowadził; ona tam już dawno była, tylko czekała na odkrycie. Dlatego dziś wielu matematyków jest skłonnych mówić, że liczba i została odkryta a nie wymyślona. Spójrz na równanie
𝑥3− 3𝑎𝑥 − 2𝑏 = 0 1.5
Na sposób rozwiązywania takich równań wpadł Nicocolo Fontana (znany jako Tartaglia) około 1539, a wcześniej (co jest mniej znaną historią) Scipione del Ferro (około 1526). Rozwiązanie to ma postać:
𝑥 = (𝑏 + 𝑡)13+ (𝑏 + 𝑡)13 1.6
𝑡 = √(𝑏2− 𝑎3) 1.7 Widać, że jeżeli
𝑏2 < 𝑎3 1.8
to wielkość t staje się pierwiastkiem kwadratowym liczby ujemnej. A taką liczbę zawsze można skonstruować z liczby i i z liczb rzeczywistych.
√−𝑟 = √−1 𝑟 = √−1√𝑟 = 𝑖√𝑟 1.9
Jeżeli podstawimy tak otrzymane t do wzoru na x (1.6) i całość przeliczymy, to może się zdarzyć, że wszystkie liczby mnożone przez i uproszczą się. Zatem nawet wtedy, gdy równanie ma rozwiązania rzeczywiste, jego uzyskanie wymaga wycieczki przez terytorium zamieszkiwane przez liczby mnożone przez i, które później dyskretnie ulatniają się (lub nie, wtedy rozwiązanie jest liczbą nierzeczywistą).
Obok liczby i równej pierwiastkowi z minus jedynki powyżej używałem liczb skonstruowanych jako iloczyn liczby i i dowolnej innej liczby rzeczywistej.
Liczbę i nazywamy jednostka urojoną, a liczby rzeczywiste przemnożone przez i nazywamy liczbami urojonymi.
Definicja 1.1: Jednostka urojona
Jednostka urojona jest równa pierwiastkowi kwadratowemu z liczby minus jeden.
Definicja 1.2. liczby urojone
Liczba r jest liczbą urojoną gdy da się przedstawić jako iloczyn jednostki urojonej i i liczby rzeczywistej różnej od zera.
Jak widać z definicji (1.2) po wprowadzeniu jednostki urojonej i liczb urojonych zero dalej zachowuje swój szczególny status. Mnożenie zera przez i daje ciągle zero, które zaliczamy do liczb rzeczywistych choć równie dobrze możemy je zaliczyć do liczb urojonych. Możemy również skonstruować mieszane liczby, które nazywamy liczbami zespolonymi
Definicja 1.3: liczby zespolone
Liczba z jest liczbą zespoloną, gdy daje się przedstawić w postaci z=a+i b, gdzie a i b są liczbami rzeczywistymi.
Oczywiście każda liczba rzeczywista r jak również każda liczba urojona u są równocześnie liczbami zespolonymi postaci
𝑟 = 𝑟 + 𝑖 0 1.10a
𝑢 = 0 + 𝑖 𝑢 1.10b
Warto zwrócić uwagę na to, że znak plus w powyższych wyrażeniach nie jest tym samym plusem jaki znamy z dodawania liczb rzeczywistych. To po prostu znak
zespolenia liczb rzeczywistych i liczb urojonych, który z powodów historycznych i wygody wygląda tak jak zwykły plus. Jest to kolejny przykład przeładowania znaczenia znaku plus.
Definicja 1.4: dodawanie liczb zespolonych
Niech w będzie liczbą zespoloną postaci w=a+ib, a z będzie liczbą zespoloną postaci z=c+id, wtedy suma tych liczb zespolonych w+z jest liczbą zespoloną, która wyraża się wzorem
𝑤 + 𝑧 = 𝑎 + 𝑐 + 𝑖(𝑏 + 𝑑) 1.11
Widać, że dodajemy do siebie osobno części rzeczywiste i urojone liczb zespolonych. Przypomina to dodawanie współrzędnych dwóch wektorów dwuwymiarowych. Liczby zespolone w wielu aspektach przypominają dwuwymiarowe wektory zdefiniowane nad ciałem liczb rzeczywistych, ale nie są z nimi tożsame (są różnice).
Iloczyn liczb zespolonych definiujemy zgodnie z logiką obliczania wyrażenia typu (a+b)(c+d).
Definicja 1.5: mnożenie liczb zespolonych
Niech w będzie liczbą zespoloną postaci a+ib, a z będzie liczbą zespoloną postaci, z=c+id, wtedy iloczyn tych liczb zespolonych w z jest liczbą zespoloną, która wyraża się wzorem
𝑤 ∙ 𝑧 = (𝑎 + 𝑖𝑏) (𝑐 + 𝑖𝑑) = 𝑎𝑐 + 𝑖𝑎𝑑 + 𝑖𝑏𝑐 + 𝑖2𝑏𝑑
= 𝑎𝑐 − 𝑏𝑑 + 𝑖(𝑎𝑑 + 𝑏𝑐)
1.12
Znak mnożenia w powyższych wyrażeniach nie oznacza tego samego mnożenia jaki znamy z mnożenia liczb rzeczywistych. W oczywisty sposób definicja (1.5) uogólnia operację mnożenia, tak aby pasowała do zbioru liczb zespolonych.
Zdefiniuję cztery inne operacje często używane na zbiorze liczb zespolonych
Definicja 1.6. Funkcja Re
Funkcja Re w działaniu na dowolną liczbę zespoloną z=a+ib jest zdefiniowana wzorem
Re(𝑧) = 𝑎 1.13
Zadaniem funkcji Re jest wyłuskanie części rzeczywistej liczby zespolonej z.
Definicja 1.7. Funkcja Im
Funkcja Im w działaniu na dowolną liczbę zespoloną z=a+ib jest zdefiniowana wzorem
Im(𝑧) = 𝑏 1.14
Zadaniem funkcji Re jest wyłuskanie części urojonej (bez liczby i) liczby zespolonej z.
Definicja 1.8. Funkcja * sprzężenia zespolone
Funkcja * w działaniu na dowolną liczbę zespoloną z=a+ib jest zdefiniowana wzorem
𝑧∗ = 𝑎 − 𝑖𝑏 1.15
Zadaniem funkcji sprzężenia zespolonego jest zmiana znaku część urojonej liczby zespolonej.
Fakt 1.1:
W niektórych podręcznikach sprzężenie oznacza się również przez kreskę nad liczbą
𝑧∗− to to samo co − 𝑧̅ 1.15a
Definicja 1.9. Moduł liczby zespolonej
Funkcja moduł liczby zespolonej || w działaniu na dowolną liczbę zespoloną z=a+ib jest zdefiniowana wzorem
|𝑧| = √𝑧 𝑧∗ 1.16
Moduł liczby zespolonej jest równy pierwiastkowi z iloczynu tej liczby przez jej sprzężenie. Zachodzi ważne
Twierdzenie 1.1.
Moduł liczby zespolonej z=a+ib jest równy pierwiastkowi z sumy kwadratów części rzeczywistej i urojonej
|𝑧|2 = 𝑎2+ 𝑏2 1.17
Dowód polega na prostym przeliczeniu definicji (1.9)
|𝑧| = √𝑧 𝑧∗ = √(𝑎 + 𝑖𝑏)(𝑎 − 𝑖𝑏) = √𝑎2+ 𝑏2 + 𝑖𝑎𝑏 − 𝑖𝑎𝑏
= √𝑎2+ 𝑏2 1.18
W zbiorze liczb zespolonych nie możemy zdefiniować relacji uporządkowania. Gdy mamy dwie liczby rzeczywiste (urojone), to wiemy, która jest większa, a która mniejsza. Nie można natomiast sensownie poukładać w rosnącym porządku liczb zespolonych.
Fakt 1.1:
W zbiorze liczb zespolonych nie można zdefiniować operacji < lub >
Jest to dość ważna różnic między zbiorem liczb rzeczywistych a zbiorem liczb zespolonych. Brak uporządkowania liczb zespolonych jest równoważny z faktem, że nie możemy ich przedstawić na jednej osi liczbowej. Potrzebujemy do tego dwóch osi.
1.1. Rysowanie liczb zespolonych
Zwróciłem waszą uwagę, że już sama postać liczb zespolonych a+ib oraz reguły ich dodawania wskazują na bliski związek z dwuwymiarowymi wektorami.
Nasuwa to pomysł na reprezentowanie liczby zespolonej na płaszczyźnie z wyróżnionym punktem początkowym reprezentującym liczbę 0=0+0i. Niech oś pozioma będzie osią rzeczywistą, a oś pionowa będzie osią liczb urojonych (choć moglibyśmy zadecydować na odwrót). Wtedy dana liczba zespolona powiedzmy 2+3i wyznacza punkt na tak opisanej płaszczyźnie (rys.1.1.1).
Rysunek 1.1.1. Każdą liczbę zespoloną możemy przedstawić na płaszczyźnie, gdzie na osi pionowej odkładamy liczby urojone, a na osi poziomej liczby rzeczywiste.
Płaszczyznę taką nazywamy płaszczyzną Arganda
Sumę dwóch liczb zespolonych reprezentujemy teraz tak jak sumę dwóch dwuwymiarowych wektorów – przez regułę równoległoboku (rys. 1.1.2).
Rysunek 1.1.2. Graficzna reprezentacja dodawania liczb zespolonych (jedna liczba to strzałka czerwona a druga to strzałka zielona).
Tu liczby zespolone, podobnie jak wektory rysowane są jako strzałki.
Koniec strzałki wskazuje punkt o współrzędnych równych odpowiednio rzeczywistej (oś x) i urojonej (oś iy) części liczby zespolonej. Dodawanie realizujemy korzystając z reguły równoległoboku (zielony wektor narysowany linią przerywaną). Czarny wektor reprezentuje sumę liczb zaznaczonych wektorem zielonym i czerwonym.
Płaszczyzna, na której przedstawiamy liczby zespolone nie jest płaszczyzną euklidesową (choć jest do niej myląco podobna). Dla odróżnienia nazywamy ją płaszczyzną Arganda.
Definicja 1.1.1: Płaszczyzna Arganda
Płaszczyzna z wyróżnioną osią liczb rzeczywistych i prostopadłą do niej osią liczb urojonych nazywamy płaszczyzną Arganda
Na rysunku (1.1.2) liczby zespolone przedstawione są przez strzałki. Długość strzałki, która reprezentuje liczbę z=a+ib to moduł liczby zespolonej (1.18) wynosi
|𝑧| = √𝑎2+ 𝑏2 1.1.1
Z rysunku (1.1.2) widać również, że
𝑧 = |𝑧|(cos(𝜃) + 𝑖sin(𝜃)) 1.1.2
Wzór (1.1.2) przedstawia trygonometryczną reprezentację liczby zespolonej z.
Kąt nazywamy argumentem liczby zespolonej Definicja 1.1.2: Argument liczby zespolonej
Argumentem liczby zespolonej z nazywamy kąt jej reprezentacji trygonometrycznej Istnieje jeszcze jedna nader ważna postać zapisu liczb zespolonych – postać wykładnicza, która opiera się na wzorze Eulera
𝑒𝑖𝜑 = cos(𝜑) + 𝑖sin(𝜑) 1.1.3
Dowód tego nader istotnego związku można przeprowadzić odwołując się do szeregów Taylora (§DB 3). Dla poszczególnych funkcji we wzorze (1.1.3) mamy
𝑒𝑥 = 1 + 𝑥 +𝑥2
2! + ⋯ = ∑𝑥𝑛 𝑛!
∞
𝑖=1
1.1.4a
sin(𝑥) = 𝑥 −𝑥3 3! +𝑥5
5! + ⋯ = ∑(−1)𝑛 𝑥2𝑛+1 (2𝑛 + 1)!
∞
𝑖=1
1.1.4b
cos(𝑥) = 1 −𝑥2 2! +𝑥4
4! + ⋯ = ∑(−1)𝑛 𝑥2𝑛 (2𝑛)!
∞
𝑖=1
1.1.4c Korzystając z tych wzorów możemy zdefiniować funkcje eksponent, sinus i cosinus dla argumentów zespolonych
Definicja 1.1.3: funkcje eksponent, sinus i cosinus w dziedzinie zespolonej W dziedzinie zespolonej funkcja, wykładnicza, sinus i cosinus zdefiniowane są poprzez szeregi, odpowiednio
𝑒𝑧 = 1 + 𝑧 +𝑧2
2! + ⋯ = ∑𝑧𝑛 𝑛!
∞
𝑖=1
1.1.5a
sin(𝑧) = 𝑧 −𝑧3 3! +𝑧5
5! + ⋯ = ∑(−1)𝑛 𝑧2𝑛+1 (2𝑛 + 1)!
∞
𝑖=1
1.1.5b
cos(𝑧) = 1 −𝑧2 2! +𝑧4
4! + ⋯ = ∑(−1)𝑛 𝑧2𝑛 (2𝑛)!
∞
𝑖=1
1.1.5c Można pokazać, że szeregi (1.1.5) są zbieżne dla każdej liczby zespolonej z.
Widać, że wzór (1.1.6a) można przedstawić jako kombinację wzorów (1.1.6b) i (1.1.6c)
𝑒𝑖𝑧 = 1 + 𝑖𝑧 +(𝑖𝑧)2
2! +(𝑖𝑧)3
3! +(𝑖𝑧)4 4! ⋯
= (1 −𝑧2 2! +𝑧4
4! − ⋯ ) + 𝑖 (𝑧 −𝑧3
3! +𝑧5
5! − ⋯ ) = cos(𝑧) + 𝑖sin(𝑧)
1.1.7
Korzystając ze wzoru Eulera dowolną liczbę zespoloną możemy przedstawić w postaci
𝑧 = 𝜌𝑒𝑖𝜑 1.1.8
𝑧 = 𝑎 + 𝑖𝑏; 𝜌 = √𝑎2+ 𝑏2 1.1.8a
Postać wykładnicza liczby zespolonej pozwala na graficzne przedstawienie iloczynu dwóch liczb zespolonych
𝑧1 = 𝑎1+ 𝑖𝑏1 = 𝜌1𝑒𝑖𝜑1 1.1.9a
𝑧2 = 𝑎2 + 𝑖𝑏2 = 𝜌2𝑒𝑖𝜑2 1.1.9b
𝑧1𝑧2 = 𝜌1𝜌2𝑒𝑖𝜑1𝑒𝑖𝜑2 = 𝜌1𝜌2𝑒𝑖(𝜑1+𝜑2) 1.1.9
Iloczyn dwóch liczb zespolonych jest równy iloczynowi ich modułów 1 i 2, a faza otrzymanej liczby jest równa sumie faz liczb składowych. Graficznie rzecz przedstawia rysunek (1.1.4).
Rysunek 1.1.4. Iloczyn dwóch liczb zespolonych z1 (zielony odcinek) i z2
(niebieski odcinek). Dla uproszczenia przyjąłem, że moduł liczby z1 jest równy jeden. Wtedy 3=12=2. Iloczyn reprezentuje odcinek czerwony. Jego długość jest równa 3, a kąt 3=2+1. Graficznie mnożenie liczb zespolonych sprowadza się do mnożenia ich modłów i obrotu odcinka jednego z nich o kąt drugiej liczby
Wzór Eulera (1.1.3) daje nam ogromne możliwości. Weźmy kolejny przykład
𝑒𝑖(𝛼+𝛽) = 𝑒𝑖𝛼𝑒𝑖𝛽 = cos(𝛼 + 𝛽) + 𝑖sin(𝛼 + 𝛽)
= (cos(𝛼) + 𝑖sin(𝛼))(cos(𝛽) + 𝑖sin(𝛽))
= cos(𝛼) cos(𝛽) − sin(𝛼) sin(𝛽) + 𝑖(sin(𝛼)cos(𝛽) + sin(𝛽)cos(𝛼))
1.1.10
Przyrównując odpowiednie wyrażenia rzeczywiste i urojone mamy
cos(𝛼 + 𝛽) = cos(𝛼) cos(𝛽) − sin(𝛼) sin(𝛽) 1.1.11a sin(𝛼 + 𝛽) = sin(𝛼)cos(𝛽) + sin(𝛽)cos(𝛼) 1.1.11b W prosty sposób, za jednym rachunkiem, udowodniliśmy dwie znane tożsamości trygonometryczne. W podobnie prosty i elegancki sposób możemy wyprowadzić inne wzory znane z trygonometrii.
Rozważmy wyrażenie
𝑒𝑖𝜔𝑡 1.1.12
Gdzie t jest czasem, a prędkością kątową. W wyrażeniu (1.1.12) kąt rośnie liniowo z czasem. Na płaszczyźnie Arganda punkty reprezentujące liczby (1.1.12) dla kolejnych chwil czasu tworzą okrąg o promieniu 1 (rys. 1.1.5).
Rysunek 1.1.5. Kolejne kropki reprezentują położenie punktu dla wyrażenia 𝑒𝑖𝜔𝑡, dla kolejnych chwil czasu t. Jak widać, punkty te zakreślają jednostkowy okrąg.
Wynika z tego, że wyrażenie
𝜌𝑒𝑖𝜔𝑡 1.1.13
Przedstawia ruch po okręgu o promieniu =1. Wniosek z tego jest taki, że wyrażenie (1.1.13), jako funkcja nie jest jednoznacznie określona. To znaczy, że mamy relację
𝜌𝑒𝑖𝜔𝑡 = 𝜌𝑒𝑖(𝜔𝑡+2𝜋𝑚) 1.1.14
Gdzie m jest liczbą całkowitą. Oznacza to, że reprezentacja wykładnicza lub trygonometryczna nie jest jednoznaczna, co nie powinno dziwić. Zwykle jednak przyjmujemy, że chodzi nam o wartość główną, czyli taką dla której m=0.
Zespolona potęga liczby e nie powinna nam teraz sprawić kłopotu.
cos sin
a ib a ib a
e e e e b i b 1.1.15
Gdzie a i b są liczbami rzeczywistymi.
2. Potęgi i logarytmy
Rozważmy n-tą potęgę liczby zespolonej z.
𝑧𝑛 = |𝑧|𝑛(𝑒𝑖𝜑)𝑛 = |𝑧|𝑛𝑒𝑖𝑛𝜑 2.1
Definicję tę można uogólnić na dowolny rzeczywisty wykładnik r 𝑧𝑟 = |𝑧|𝑟(𝑒𝑖𝜑)𝑟 = |𝑧|𝑟𝑒𝑖𝑟𝜑
2.2 Jeżeli dla przykłady weźmiemy r=1/2, to
𝑧12 = √𝑧 = √|𝑧|𝑒𝑖𝜑2 2.3
Wzór (2.3) nie wyczerpuje wszystkich możliwości. Korzystając z (1.1.14) mamy
𝑧12 = √|𝑧|𝑒𝑖(𝜑2+𝑚22𝜋) 2.4
Generuje to dwa różne rozwiązania, to znaczy, że mamy dwie liczby zespolone w1 i w2, takie, że
𝑤1 ≠ 𝑤2 𝑜𝑟𝑎𝑧 𝑤12 = 𝑤22 = 𝑧 2.5
Wypiszę te liczby
𝑤1 = √|𝑧|𝑒𝑖𝜑2 oraz 𝑤𝑤 = √|𝑧|𝑒𝑖(𝜑2+𝜋) 2.6
Ogólnie rzecz biorąc, pierwiastek n-tego (gdzie n jest liczbą naturalną) stopnia ma n różnych wartości danych wzorem
𝑧𝑛1 = √|𝑧|𝑒𝑖(𝜑𝑛+𝑚𝑛2𝜋) 2.7
Wartości te uzyskujemy wstawiając kolejne m od 0 do n-1. Jeżeli n=r/k, gdzie r<k i ułamek r/k nie jest skracalny, to mamy k różny liczb w takich, że
𝑤 = 𝑧𝑟𝑘 2.8
Pomyśl dlaczego tak jest. Gdy wykładnik jest liczbą niewymierną, to jest nieskończenie wiele liczb w takich, że w=zr. Rysunek (2.1) pokazuje rozmieszczenie liczby zn dla z o jednostkowym module i wybranych n.
Gdy wykładnik potęgi jest większy od jeden, to dla zmieniającego się od zero do dwa punkt wykonuje więcej niż jedne obrót. Rysunek (2.2) pokazuje przebieg funkcji Re(z2) i Re(z5) na jednostkowym kole. Wykresy te tworzą powierzchnie o n-1 samoprzecięciach.
Rysunek 2.1. Rozmieszczenie pierwiastków n-tego stopnia dla liczby zespolonej o module jednostkowym dla: a) n=2/3; b) n=1/12; c) n=3/12.
Zauważ, że w ostatnim przypadku ułamek jest skracalny do ¼, stąd zamiast 12 mamy cztery różne wartości. W pierwszym przypadku otrzymamy te same pierwiastki co dla n=1/3.
Rysunek 2.2. a) wykres funkcji z2 dla z leżącego w kole jednostkowym.
Każdemu z odpowiadają dwie wartości, za wyjątkiem półosi dodatniej iy wzdłuż, której narysowane powierzchnie przecinają się; b) z5 wykres funkcji z5 dla z leżącego na kole jednostkowym. Półosie samoprzecięć leżą teraz na przemiennie, raz wzdłuż osi +iy raz wzdłuż osi –iy.
Niech a będzie liczbą rzeczywistą, a z liczbą zespoloną. Ile wynosi az? Na razie wiemy tylko ile wynosi ez (1.1.5a), teraz szukamy definicji dla każdego a.
Przy tym chcemy tak rozszerzyć operację potęgowania, aby rozszerzona definicja dawała znane wyrażenie potęgowe gdy zastosujemy ją w przypadku gdy z jest rzeczywiste (część urojona jest równa zeru) oraz by zachowała podstawowe własności funkcji wykładniczej o rzeczywistym wykładniku. Do takich własności należą na przykład
𝑎𝑧1+𝑧2 = 𝑎𝑧1𝑎𝑧2 2.1a
𝑎𝑧1𝑧2 = 𝑎𝑧1𝑧2 2.1b
Tutaj z1 i z2 są dwiema liczbami zespolonymi. Zależy nam również na funkcji logarytm. Chcemy aby można było rozszerzyć funkcję logarytm tak aby
log𝑧(𝑎𝑧) = 𝑧 2.2
Ponadto chcemy zachować najbardziej użyteczną cechę logarytmów to znaczy gdy z1 i z2 są liczbami zespolonymi, a a, b i c to liczby rzeczywiste, powinno zachodzić
logc(𝑎𝑧1 𝑏𝑧2) = logc(𝑎𝑧1) + logc(𝑏𝑧2) 2.3 Zacznę od tego, że dla funkcji eksponent
mamy ln
wez z w 2.4
Zapiszę liczbę w w postaci wykładniczej
ln ln
wei w i 2.5
To ciekawy wynik. Logarytm naturalny z liczby zespolonej to suma logarytmu naturalnego modułu tej liczby oraz jej argumentu przemnożonego przez i.
Oczywiście tak zdefiniowany logarytm nie jest określony jednoznacznie. Zawsze możemy dodać wielokrotności 2.
2 ln
ln
2i m
wei e w i im 2.5 Z (2.5) wynika, że
ln ln ln
oraz
w w z z w
we e e 2.6a
Mając to na uwadze, możemy zdefiniować wyrażenie wz
ln 2
ln z i im
z w
wz e e 2.6
Zauważ, że wykładnik liczby e jest tu liczbą zespoloną. A e do liczby zespolonej potrafimy obliczać przez wzór (1.1.5a lub 1.1.15). Zatem mamy definicję liczby zespolonej w podniesionej do potęgi zespolonej z. Dalej jednak musimy uważać na niejednoznaczność określenia logarytmu naturalnego z liczby zespolonej.
Wynika z niej, że daną wartość wz możemy pomnożyć przez wyrażenie e2mi i otrzymamy to samo wyrażenie. Dla przykładu policzę wartość ii. Wiemy, że
1ln 2
i 2i im 2.7a
Przyjmę m=0 (wartość główna logarytmu)
1ln i 2i 2.7b
Zgodnie z (2.6) mamy
1 1
ln i i2 2
i i
ii e e e 2.8
Na zakończenie tych krótkich rozważań chciałem przytoczyć wzór, który bywa nazywany najpiękniejszym wzorem matematyki
i 1 0
e 2.9
Wzór ten wiąże tak podstawowe liczby jak 0, 1, i, i e.
3. Różniczka funkcji zespolonej
Czas zastanowić się nad kwestią obliczania pochodnych i różniczek z funkcji zespolonej. Funkcja zespolona działa na dziedzinie liczb zespolonych a zbiorem jej wartości jest również zbiór liczb zespolonych. Spotkaliśmy się już z przykładami takich funkcji (na przykład def. 1.8). Ponieważ wartościami funkcji zespolonej są liczby zespolone możemy ją zapisać w postaci
f(𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦) = u(𝑥, 𝑦) + 𝑖 w(𝑥, 𝑦) 3.1.
Możemy oczywiście obliczyć pochodne po zmiennej x lub y. Biorąc pod uwagę, że (3.1) jest sumą funkcji rzeczywistych, przy czym jedna jest pomnożona przez stałą i, mamy
𝜕f
𝜕𝑥 = 𝜕
𝜕𝑥u(𝑥, 𝑦) + 𝑖 𝜕
𝜕𝑥w(𝑥, 𝑦)
3.2a
𝜕f
𝜕𝑦 = 𝜕
𝜕𝑦u(𝑥, 𝑦) + 𝑖 𝜕
𝜕𝑦w(𝑥, 𝑦)
3.2b
Interesuje nas jednak pochodna po zmiennej zespolonej traktowanej integralnie, to jest bez jej dzielenia na część rzeczywistą i urojoną. Pytamy zatem o sens wyrażenia
df d𝑧
3.3
Czy operację obliczania pochodnej możemy sensownie rozszerzyć na wyrażenie postaci (3.3)?
Wiemy, że pochodna w punkcie x0 zdefiniowana jest pod warunkiem, że znamy najbliższe otoczenie tegoż punktu. Aby wiedzieć co jest tym otoczeniem, trzeba mieć pojęcie miary. W zbiorze liczb rzeczywistych istnienie takiej miary jest dla nas naturalne. Możemy wybrać małe , tak małe jak tylko chcemy i powiedzieć, że do sąsiedztwa punktu x0 należą te punkty, które spełniają nierówność
|𝑥 − 𝑥0| < 𝜀 3.4
Jednak zbiór liczb zespolonych nie ma naturalnego uporządkowania; nie istnieje w nim relacja mniejsze większe. Nie pozostaje nam nic innego tylko wprowadzić przynajmniej namiastkę takiego porządku. Wybierzmy zatem , tak małe jak chcemy. Powiemy, że liczba zespolona z należy do otoczenia o promieniu , liczby z0, gdy
|𝑧 − 𝑧0| < 𝜀 3.5
Przy czym proste nawiasy oznaczają teraz obliczenie modułu (def. 1.9) liczby zespolonej. Moduł jest liczbą rzeczywistą i jako taki może być porównywany z inną liczbą rzeczywistą; w naszym wypadku z . Wzór (3.5) oznacza, że na płaszczyźnie Arganda liczby z leżą wewnątrz okręgu o środku w liczbie z0
i promieniu . Zgadza się to z naszą intuicją bliskości na płaszczyźnie, ale pamiętajmy, że płaszczyzna Arganda nie jest tożsama z płaszczyzną Euklidesa.
Na szczęście przenoszenie większość intuicji między tymi dwoma płaszczyznami daje dobre rezultaty. Możemy teraz zdefiniować klasę funkcji ciągłych
Definicja 3.1: Ciągła funkcja zespolona
Funkcja zespolona f(z) jest ciągła w punkcie z0, jeżeli dla każdego >0 istnieje takie
>0, że
|f(𝑧) − f(𝑧0)| < 𝜀 3.6a
jeżeli
|𝑧 − 𝑧0| < 3.6b
Definicja ta jest kopią definicji ciągłości dla funkcji rzeczywistych. To skopiowanie było możliwe, dzięki wprowadzeniu miary bliskości dwóch liczb zespolonych. Zdefiniowanie pochodnej nie stanowi już większej trudności
Definicja 3.2: Pochodna funkcji zespolonej
Pochodną ciągłej funkcji zespolonej f, w punkcie z0, nazywamy granicę, jeżeli istnieje,
𝑧→𝑧lim0
f(𝑧) − f(𝑧0)
𝑧 − 𝑧0 = lim
∆𝑧→0
∆f
∆𝑧 = f′(𝑧0) 3.7
Zauważ, że definicja (3.2) nie nakłada żadnych ograniczeń na sposób w jaki zz0. Na płaszczyźnie Arganda możliwe są różne ścieżki (rys. 3.1). Wymagamy zatem aby wartość wyrażenia (3.7) nie zależała od ścieżki, po której z zbliża się do z0. Widać zatem, że posiadanie pochodnej zespolonej jest własnością bardziej wymagającą niż posiadanie pochodnej po zmiennej x lub y. Prowadzi nas to do ważnej klasy funkcji analitycznych
Definicja 3.3: Funkcje analityczne
Funkcję zespoloną nazywamy analityczną w punkcie z0, gdy posiada ona pochodne zespolone w punkcie z0 i na pewnym jego otoczeniu.
Jakie są warunki przy których funkcja jest różniczkowalna? Rozważmy funkcję
f(𝑧) = u(𝑥, 𝑦) + 𝑖w(𝑥, 𝑦) 3.8
Rysunek. 3.1. Wartość pochodnej w punkcie z0 nie powinna zależeć od drogi po której zbliżamy się do tego punktu
Jeżeli jest ona różniczkowalna w punkcie z0 to f′(𝑧0) = lim
∆𝑧→0(∆𝑢
∆𝑧 + 𝑖∆𝑤
∆𝑧)
3.9
Przy czym granica ta nie powinna zależeć od drogi, po której dążymy do punktu z0. Przejdźmy wobec tego do punktu granicznego po osi rzeczywistej, to jest przyjmujemy, że y=0, x=z, wtedy
f′(𝑧0) = lim
∆𝑥→0(∆𝑢
∆𝑥+ 𝑖∆𝑤
∆𝑥) = ∂𝑢
∂𝑥 + 𝑖∂𝑤
∂𝑥
3.10 Przy przejściu do granicy po osi urojonej, to jest gdy: że x=0, iy=z
f′(𝑧0) = lim
∆𝑦→0(∆𝑤
∆𝑦 − 𝑖∆𝑢
∆𝑦) =∂𝑤
∂𝑦 − 𝑖∂𝑢
∂𝑦 3.11
Te dwie granice muszą być sobie równe, skąd mamy
∂𝑢
∂𝑥 =∂𝑤
∂𝑦
3.12a
∂𝑤
∂𝑥 = −∂𝑢
∂𝑦
3.12b Warunki (3.12) są nazywane warunkami Cauchy’ego-Riemanna. Stanowią one warunek konieczny na to, aby funkcja f była różniczkowalna w sensie zespolonym. Warunki wystarczające to: a) spełnienie równań Cauchy’ego- Riemanna, b) istnienie pierwszych pochodnych cząstkowych funkcji u i w oraz ciągłość tych pochodnych w punkcie z0. Dowody na warunki dostateczne można znaleźć w podręcznikach do analizy funkcji zespolonych.
Twierdzenie 3.1. Funkcje zespolone różniczkowalne
Funkcja zespolona f(z)=u+iw jest różniczkowalna w danym punkcie, gdy w dowolnie małym otoczeniu tego punktu spełniony jest warunek Cauchy’ego- Riemanna, oraz gdy pierwsze pochodne cząstkowe u i w są funkcjami ciągłymi na otoczeniu tego punktu.
Jako przykład zbadajmy funkcję
𝑓(𝑧) = 𝑧𝑧∗ = |𝑧|2 = √𝑥2+ 𝑦2 3.13 Obliczmy pochodne cząstkowe
𝜕u
𝜕𝑥 = 𝜕
𝜕𝑥√𝑥2+ 𝑦2 = 𝑥
√𝑥2+ 𝑦2
3.14a
𝜕w
𝜕𝑥 = 0
3.14b
𝜕u
𝜕𝑦 = 𝜕
𝜕𝑦√𝑥2+ 𝑦2 = 𝑦
√𝑥2+ 𝑦2
3.14c
𝜕w
𝜕𝑦 = 0
3.14d Widać, że warunki (3.12a) nie są spełnione poza punktem x=0 i y=0. Oznacza to że badana funkcja jest różniczkowalna tylko w tym jednym punkcie i nie jest nigdzie analityczna.
Jako drugi przykład rozważmy funkcję
𝑒𝑧 = 𝑒𝑥(cos(𝑦) + 𝑖sin(𝑦)) 3.15
Obliczmy jej pochodne cząstkowe
𝜕u
𝜕𝑥 = 𝜕
𝜕𝑥𝑒𝑥cos(𝑦) = 𝑒𝑥cos(𝑦)
3.16a
𝜕w
𝜕𝑥 = 𝜕
𝜕𝑥𝑒𝑥sin(𝑦) = 𝑒𝑥sin(𝑦)
3.16b
𝜕u
𝜕𝑦 = 𝜕
𝜕𝑦𝑒𝑥cos(𝑦) = −𝑒𝑥sin(𝑦)
3.16c
𝜕w
𝜕𝑦 = 𝜕
𝜕𝑦𝑒𝑥sin(𝑦) = 𝑒𝑥cos(𝑦)
3.16d Stąd już widać, że warunki (3.12) spełnione są na całej płaszczyźnie. Funkcja (3.15) jest analityczna na całej płaszczyźnie. Z powyższych rachunków wynika również
d
d𝑧𝑒𝑧 = 𝑒𝑧
3.17 Przy okazji, z równania Eulera mamy
𝑒𝑖𝜑 = cos(𝜑) + 𝑖sin(𝜑) 3.18
Skąd otrzymujemy
cos(𝜑) = 𝑒𝑖𝜑 + 𝑒−𝑖𝜑 2
3.18a
sin(𝜑) = 𝑒𝑖𝜑 − 𝑒−𝑖𝜑 2
3.18b
Nadto możemy rozszerzyć definicję funkcji sinus i cosinus na wartości zespolone cos(𝑧) = 𝑒𝑖𝑧 + 𝑒−𝑖𝑧
2
3.19a
sin(𝑧) = 𝑒𝑖𝑧− 𝑒−𝑖𝑧 2
3.19b
Z podanych definicji oraz z (3.17) mamy d
d𝑧cos(𝑧) = −sin(𝑧)
3.20a
d
d𝑧sin(𝑧) = cos(𝑧)
3.20b Korzystając z (3.19) możemy wykazać, że wzory na cosinusy lub sinusy sumy kątów i inne szkolne tożsamości trygonometryczne są spełnione dla argumentów zespolonych.
