Zagadnienie optymalizacji wymiarów przekroju zginanych elementów dźwignic

ZESZYTY NAUKOWE POLITECHNIKI ŚLĄSKIEJ S e r i a : MECHANIKA z . 42

---1969 Nr k o l . 262

REMIGIUSZ ĆWIK

ZAGADNIENIE OPTYMALIZACJI WYMIARÓW PRZEKROJU ZGINANYCH ELEMENTÓW DŹWIGNIC

S t r e s z c z e n i e : Omówiono z a g a d n i e n ie doboru wymiarów p r z e k r o ju p o p r z e c z n e g o elementów z g in a n y c h . Jako k r y te r iu m p r z y j ę t o i c h mi­

nimalny c i ę ż a r , przy jed noczesnym s p e ł n i e n i u warunku w y t r z y m a ło ś c i i s t a t e c z n o ś c i m i e j s c o ­ w e j. Wyprowadzono wzory p o z w a la ją c e w pro­

s t y s p o só b wyznaczyć wymiary p r z e k r o ju c e o - wego i teow ego przy c z y sty m z g i n a n i u . Wzo­

r y t e mogą być w y k o rzystan e i d l a z g i n a n i a swobodnego, j e ż e l i n a p r ę ż e n ia s t y c z n e przy z g i n a n i u s ą n i e w i e l k i e .

1 . Wstęp

Wybór podstawowych form i wymiarów u s t r o j u nośnego i j e g o elementów d l a projektow anych k o n s t r u k c j i wykazuje b e z p o ś r e d n i wpływ na i c h c i ę ż a r i p racę pod d z i a ła n i e m o b c ią ż e ń s t a t y c z ­ nych i dynam icznych, k o s z t y w ytw arzania i e k s p l o a t a c j i jak rów nież s tw a r za n y przez n i e e f e k t a r c h i t e k t o n i c z n y . Z a g ad nie­

n i e t o s t a j e s i ę s z c z e g ó l n i e ważne d l a k o n s t r u k c j i , w k tó r y c h podstawowym k r y teriu m popraw ności r o z w ią z a n ia i pracy j e s t n i ­ s k i c i ę ż a r w ła s n y . Do k o n s t r u k c j i tych n a l e ż ą między innymi u r z ą d z e n ia dźwigowe, mosty k o le jo w e i drogowe, b e l k i podsuwni- cowe i t p .

W ięk szość elementów u s t r o j u nośnego s ta n o w ią d ź w ig a r y , d la k tó r y c h głównym o b c ią ż e n ie m j e s t moment z g i n a j ą c y . Typowym przykładem mogą być d źw ig a ry główne i c z o ło w e mostu s u w n ic y .

Dźwigary t a k i e mogą być wykonane z p r o f i l ó w walcowanych, g i ę ­ t y c h lub jako b lach o w n ice nitowane i spawane.

U s t a l e n i e p r z e k r o ju poprzeczn ego dźwigarów s t a j e s i ę w ięc problemem s z c z e g ó l n i e ważnym.

2 . U s t a l e n i e optymalnych wymiarów p r z e k r o ju

U s t a l e n i e optymalnego p r z e k r o ju przeprowadzimy przyjmując jako k r y te r iu m minimalny c i ę ż a r dźwigara (minimalny przekrój), przy s p e ł n i e n i u j e d n o c z e ś n i e warunków w y t r z y m a ło ś c i i s t a t e c z ­ n o ś c i m ie jsc o w e j j e g o elem en tów . Rozpatrujemy dźwigar o p r z e ­ k r o ju ceowym i teowyra, sym etryczny względem o s i y - y , o s t a ł e j g r u b o ś c i p ółek i ś r o d n i k a . Dźwigar j e s t d o s t a t e c z n i e d ł u g i i p o s ia d a s t a ł ą lub prawie s t a ł ą wysokość wzdłuż r o z p i ę t o ś c i . M a te r ia ł dźw igara j e s t s p r ę ż y s t y i p o d le g a prawu Hooke’ a . Gru­

b o ś c i p ó łe k g fa i ś r o d n ik a g^ s ą w porównaniu do s z e r o k o ś c i p ó ł k i b i w y s o k o ś c i ś r o d n ik a h bardzo m a łe , co pozwala p r z y ją ć n a s t ę p u j ą c y wzór d l a p o w ie r z c h n i p r z e k r o ju

F = 2 bgfa + hgh = F ( b , g b , h , g h ) ( 1 )

oraz d l a w a r t o ś c i s t a t y c z n y c h :

1 = 2 + 12 ( 2 )

i

W = b g b h + l gh h 2 ( 3 )

Z ag ad n i e n i e o p t y m a l i z a c j i wymi arów. . . 97

Przy c z y sty m z g in a n iu ( r y s . 1 ) warunek w y t r z y m a ło ś c i j e d n o ­ l i t y d l a pasów i ś r o d n ik a z a p isu je m y w p o s t a c i

s * 6 b * s h * — f - T ^ S K

» 8t,hł Z 8h h

g d z i e :

M - moment z g i n a j ą c y ,

k - n a p r ę ż e n ie d o p u s z c z a ln e lub g r a n i c z n e , 6 - n a p r ę ż e n ie r z e c z y w i s t e .

Warunek s t a t e c z n o ś c i d l a za kresu s p r ę ż y s t e g o ma p o s t a ć od­

pow iednio d l a pasów

6 - k — -E ( 5 b ) ~

k r ' b ‘ b 12 (1 - V 2 ) b > ’ <5)

d l a ś r o d n ik a

6". k r t h h = kh ~ --- ~---2~ h ^2 ^ _ V ) ^ 6'n > ( £ )

g d z i e .•

6 . - n a p r ę ż e n ie k r y t y c z n e , K. x

E - moduł s p r ę ż y s t o ś c i p o d ł u ż n e j ,

^ - w s p ó łc z y n n ik P o i s s o n a,

n - w s p ó łc z y n n ik pew ności przy s t a t e c z n o ś c i m ie j s c o w e j , k^, k^ - w s p ó ł c z y n n i k i z a l e ż n e od sposobu p od p arcia krawędzi

p ł y t tw orzących ś c i a n k i d ź w ig a r a , i c h wymiarów po­

pr z e cz n y c h i sposobu o b c i ą ż e n i a . P rzyjm u ją c, że kra­

w ę d z ie ś r o d n ik a s ą swobodnie podp arte ( d a j e t o pe­

w ien m argines b e z p i e c z e ń s t w a ) , jako minimalną war­

t o ś ć można p r z y ją ć k^ = 2 3 , 9 . a d l a pasa przy j e d n e j kraw ędzi swobodnie po d p artej i d r u g i e j n i e p o d p a r t e j minimalna w a r to ś ć k fe = 0 , 4 5 6 [

2

Przy podanych z a ł o ż e n i a c h d la o k r e ś l e n i a optymalnych wymia­

rów p r z e k r o ju poprzeczn ego n a l e ż y z n a l e ź ć ekstremum w yra żen ia

Wzór ( 5 ) podano^dla ce o w n ik a . Dla dwuteownika w m ie j s c e b n a l e ż y w sta w ić — •

Z a g a d ni en i e o p t y m a l i z a c j i wymiarów. 99

(

1

niami ( 4 ) ± (

6

Z uwagi na l i n i o w ą z a l e ż n o ś ć t e j f u n k c j i od w s z y s t k ic h pa­

rametrów o s i ą g n i e ona swoje ekstremum j e ż e l i przynajm niej j e ­ den, dwa, t r z y lub w s z y s t k i e j e d n o c z e ś n i e o s ią g n ą sw oje war­

t o ś c i e k s t r e m a ln e .

Równania (

5

6

S p e ł n i e n i e t e g o warunku (<¿4 = 1 ) p r a k t y c z n ie napotyka na t r u d n o ś c i , jed n a k , jak ła tw o wykazać z równań (

1

2

1

Wyznaczymy w p i e r w s z e j k o l e j n o ś c i p o l e p r z e k r o ju o k r e ś lo n e

■ • £ - > = 1 - 5h

g d z i e :

(8)

warunkiem s t a t e c z n o ś c i . Porównanie prawych s t r o n r ó w n o śc i (4-) i (

6

1 u 2

b g b h * z gh h

( 9 )

Stąd

( 1 0 )

P o d s t a w ia ją c ( 1 0 ) do ( 1 ) otrzymamy szukane p o le p r z e k r o ju o k r e ś lo n e z warunku s t a t e c z n o ś c i :

F = 2 h

s k, 3T

n

(

1 1

k t ó r e j e s t fu n k c j ą dwóch zmiennych parametrów p r z e k r o ju : i h. Ekstremum t e j f u n k c j i wynika z warunku

8f

dSy = 0 , (_{1 2})

z k t ó r e g o otrzymamy:

g h = 2 3 H ę - 1 M n

. kh JT E _ = gh opt ( 1 3 )

P o d s t a w ia ją c ( 1 3 ) do ( 1 1 ) otrzymujemy minimalne p o le p r z e k r o ­ j u , przy którym j e s z c z e warunek s t a t e c z n o ś c i j e s t s p e ł n i o n y

F = 2 h u ę h h J

l_kh JT E J

( 1 4 )

P o le p r z e k r o ju w y n ik a ją c e z warunku w y t r z y m a ło ś c i otrzymamy w yznaczając z ( 4 ) :

M i

b g b = ITh + 3 g h h ( 1 5 )

Z a g ad n ie n ie o p t y m i l i z a c j i wymiarów. 101

i w s t a w ia ją c do ( 1 ) : wówczas otrzymujemy

Fw = 2 (jTh + 3 g h

Na r y s . 2 p r z e d sta w io n o wykresy f u n k c j i F^ = Fg (g ^ ) wg ( 1 1 ) i f u n k c j i F^ = F^ (g ^ ) wg ( 1 6 ) d la zadanego momentu g n ą c e -

ego oraz przy u s t a lo n y c h w a r t o ś c i a c h h. Z wykresów w id a ć , że krzywa o b r a z u ją c a f u n k c j ę Fg ( g fa) , jako krzywa d r u g ie g o s t o p ­ n i a , p o s ia d a swoje minimum przy g^ = gh o p t * określonym rów­

naniem ( 1 3 ) , zaś p o le o k r e ś l o n e z warunku s t a t e c z n o ś c i zm ie­

n ia s i ę l i n i o w o wraz z g^.

P o d s t a w ia ją c (1 3 ) do ( 1 6 ) otrzymamy p o l e p r z e k r o ju o k r e ś l o ­ ne z warunku w y t r z y m a ło ś c i przy = g^ q :

2 w y ■ u i n - i/ ^

F =

w K

P o d s t a w ia ją c

F = F ( 1 8 )

w s '

z równań (14-) i (

1 7

h = V -

r K 3T- E 2 "1

= [ 3 — --- — - y - 1

L (1 - V ) K3 nj

1 Z

= hgr

(19)

W ielk o ść t e g o pola w yn osi:

f 2»3(1 V2) M4 n

[ k 3 l 2 E K3

F = F = k

s min w min Fmin ^hg r , g h o p t ^ '^ 2 0 ^

P o le ś r o d n ik a z równań ( 1 3 ) i ( 1 8 ) :

Fh Sh opt hgr

^32 (1 - T 2 ) M4 n Lkh JT E

(2 1)

P o le pasa z równań ( 2 0 ) , ( 2 1 ) i ( 1 ) :

2 P'min ^ g r * gh opt^ g hopt hgrJ ( 22)

Za g a d ni en i e o p t y m a l i z a c j i wymiarów. 103

Zatem j e ż e l i : h = hg r , gh = g h opt

1

Fs ^gh opt* ^gr^ “ Fw ^g h opt* ^gr^ ’

wówczas p r z e k r ó j ceowy lub dwuteowy dźw igara redukuje s i ę do pr z e k r o ju p e łn e g o o s z e r o k o ś c i

b = g h • ( 2 3 )

J e ż e l i h > h , to gr*

Fs ( g h opt* h > hgr^ < Fw ^gh o p t ’ h > hgr ^

a zatem minimalne p o le o k r e ś l a ć n a l e ż y z warunku s t a t e c z n o ś c i , c z y l i z równania (14-).

J e ż e l i h < h t o przy doborze w i e l k o ś c i o k r e ś l a j ą c y c h p o le O*

p r z e k r o ju d e c y d u je warunek w y t r z y m a ł o ś c i . Parametry p r z e k r o ju , przy którym p o le b ę d z ie najmniejsze^ n a l e ż y o k r e ś l a ć z p r z e c i ę ­ c i a s i ę krzywej F równanie ( 1 1 ) i p r o s t e j F równanie

s w

( 1 6 ) .

P o d s t a w ia ją c p r z e to F = F otrzymujemy

s w

S tą d znajdujem y gru b ość śr o d n ik a

P o d s t a w ia ją c ( 2 5 ) do ( 1 6 ) otrzymujemy:

* 2{kM» * ^

1 2 (1 - V ) ku JT2 E

n

K n h ( 2 6 )

optymalną wysokość wyznaczymy z warunku:

ÓF __v

9h = 2 M 2 12

2 + 3 \ l K n fa

U h ; l ) kh J[ E

= 0 . ( 2 ? )

Stąd:

s \ S L L L z l h j L ]

[_

P o le p r z e k r o ju d la i h = q z równań ( 2 8 ) i ( 2 6 ) b ę d z i e :

w L

243 (1 - V 2 ) = f

4 k, JI E n

mi n h < hgr ( 2 9 )

Z równań ( 2 0 ) i ( 2 9 ) w yn ika, że:

^min ^ g r * ®h opt^ ^ ^min h < hgr 1 ( 3 0 ) a n a j m i e j s z y s to s u n e k t y ch pól

*min (h g r ’ Sh o p t ^_ 2 ( 2 ) 3 .

^min h < hgr ( 3 1 )

Zag ad n ie n i e o p t y m a l i z a c j i wymiarów. 105

Z p r z y to c z o n y c h równań wynika, że minimalne p o le p r z e k r o ju o k r e ś l a równanie ( 2 9 ) . Parametry t e g o p r z e k r o j u , k t ó r y p r z y j ­ miemy za optymalny d l a zadanego momentu z g i n a j ą c e g o , wyznaczy­

my z n a s t ę p u ją c y c h równań:

Wysokość z równania ( 2 8 ) .

Grubość ś r o d n ik a otrzymamy w s t a w ia ją c ( 2 8 ) do ( 2 5 ) :

mm1 3

P o le ś r o d n ik a z równań ( 2 8 ) i ( 3 2 ) :

1

h

(3 3 )

P o le pasa z równań ( 3 0 ) i ( 3 3 ) :

- g h h ) =

1 ( 3 4 )

Stosu n ek :

oraz

r

min h < hgr

Rozkład momentów b e z w ła d n o ś c i b ę d z ie wówczas n a s t ę p u ją c y :

2 I b = i I .

g d z i e :

1^ - moment b e z w ła d n o ś c i p a sa , I. - moment b e z w ła d n o ś c i ś r o d n ik a

h

( 3 7 a , b )

względem o s i y - y .

Dla w y z n a c z e n ie n iezn a n y ch j e s z c z e parametrów p r z e k r o ju g^ i b wykorzystamy równanie (

7

■(f-)2 « (f-)2 = * ( \ J A i l L i ) 2. o

s b g h y 12(1 - 1P ) n

Dla c e lo w n ik a z równania ( 3 8 ) otrzymujemy

Zaga d ni eni e o p t y m a l i z a c j i wymiarów. 107

Dla dwuteownika

b_ < \ L kh % f _ 1 _

" T l 2 (1 - V 2 ) K "

( 4 0 )

Z równań (34) i ( 3 9 ) otrzymujemy parametry p ó ł k i d l a ceow nika

( 4 1 ) g b =

V T ( # ) 4

M n k, 31 E

n

= _ L ( « , T r 3 E M2 1

\f2" L (1 - V 2 ) K 3 n j V*

Z równań ( 3 4 ) i ( 4 0 ) mamy d l a dwuteownika

Sb =

2 (Jg)4

18 d - ,v k u n 2 E

h

3 k , JE E n

16 (1 - V 2 ) K

M nj ( 4 3 )

(4 4 )

Odpowiednie s t o s u n k i wymiarowe będą:

d l a ceownika

=

1,90

d l a dwuteownika

£ = \ { K )4 = 0 , 1 8 5 , ( 4 7 )

( 4 8 )

3 . O k r e ś l e n i e naprężeń d o p u s z c z a ln y c h i współczynników pewności Miejscowa s t a t e c z n o ś ć p ł y t tw o rzą cych dźw igar b ę d z i e zapew­

n io n a , j e ż e l i n a p r ę ż e n ie wywołane o b c ią ż e n ie m zewnętrznym s p e ł ­ n ia warunek s t a t e c z n o ś c i

g d z ie ś

6 - n a p r ę ż e n ie wywołane o b c ią ż e n ie m zewnętrznym, 6 kr - n a p r ę ż e n ie k r y t y c z n e ,

n - w sp ó łc z y n n ik pew ności przy s t a t e c z n o ś c i m ie j s c o w e j . Ponieważ d l a s p e ł n i e n i a warunku w y t r z y m a ł o ś c i , n a p r ę ż e n ie wywołane o b c ią ż e n ie m zewnętrznym n i e może z k o l e i p r z e k r o c z y ć w a r t o ś c i

( * 9 )

Za ga d n i e n i e o p t y m a l i z a c j i wymiarów. 109

g d z i e

- g r a n i c a p l a s t y c z n o ś c i m a t e r i a ł u ,

K - n a p r ę ż e n ie d o p u s z c z a ln e lub g r a n i c z n e ,

z - w s p ó łc z y n n ik pew n o ści względem g r a n i c y p l a s t y c z n o ś c i m a t e r i a ł u .

Z równań (4-9) i ( 5 0 ) mamy:

A zatem u t r a t a s t a t e c z n o ś c i z a c h o d z i w z a k r e s i e sp r ę ż y s ty m gdy

t u t a j R j e s t g r a n i c ą s p r ę ż y s t o ś c i m a t e r i a ł u .

Znając p r z e t o s to s u n e k ~ d l a m a t e r i a ł u , z k t ó r e g o b ę d z ie e

wykonana k o n s t r u k c j a , ła tw o wyznaczymy w s p ó łc z y n n ik z d l a przy­

j ę t e g o w sp ó łc z y n n ik a n, a n a s t ę p n ie w a r to ś ć naprężeń dopusz­

c z a l n y c h .

Rozpatrzymy dobór współczynników pew n o ści i naprężeń dopu­

s z c z a l n y c h w o p a r c iu o P N -6 2 /B -0 32 0 0 . Dla s t a l i S t 3 mamy:

c z y l i

n ( 5 2 a , b , c )

lub

R = 24 e

kG Rr = 1 9 , 4 kG

mm mm2

zatem p

o . 8i

Przy wymiarowaniu metodą naprężeń d o p u s z c z a ln y c h d l a I r o d z a ju naprężeń nT = 1 , 4 , kT = 1500 kG/cm , d l a I I r o d z a ju naprężeń2 n j j = 1 , 2 , k j j = 1?00 kG/cm j 2 t u t a j p r z y j ę t o K = k j lu b kj-j.

W spółczynnik pewności ze względu na w ytrzym a łość o b lic z a m y z równania ( 5 2 b ):

ZI ^ nI Rjj = Ó781 = 1 , 7 3 >

ZI I ^ DI I R^ = 1 , 2 M i = 1 ’^ 8

i odpow iedn io n a p r ę ż e n ia d o p u s z c z a ln e

ki < ^ =

1390

ku «

17 7

k'5/c"2

Przy wymiarowaniu metodą naprężeń g r a n ic z n y c h n = 1 , 1 ) K s 2100 kG/cm2

1

1

ri

n a p r ę ż e n ie g r a n ic z n e

K ^ l 1 = T 7 § ? ~ 176 0 k G / c m 2

Z ag ad n i e n i e o p t y m a l i z a c j i wymiarów. 111

Jak wynika z przeprowadzonych p r z e l i c z e ń przy wymiarowaniu metodą naprężeń d o p u s z c z a ln y c h , wyznaczone n a p r ę ż e n ie dopusz­

c z a l n e d l a p r z y j ę t e g o w sp ó łc z y n n ik a pew n ości n wg PN n i e ­ z n a c z n ie o d b i e g a j ą od w a r t o ś c i p r z e w id z ia n y c h normą. Zatem s t o s u j ą c wzory o k r e ś l a j ą c e parametry p r z e k r o ju wyprowadzone d l a z a k r e su s p r ę ż y s t e g o niem al c a ł k o w i c i e wykorzystujem y wy­

t r z y m a ło ś ć k o n s t r u k c j i . W przypadku wymiarowania metodą noś­

n o ś c i g r a n i c z n e j odpow iednie wzory n a l e ż a ł o b y wyprowadzić d l a z a k r e su s p r ę ż y s t o - p l a s t y c z n e g o . Wymaga t o jednak o d d z ie ln e g o opraco w ania .

4 . Pwagi końcowe

Mimo, że wzory o k r e ś l a j ą c e optymalne parametry p r z e k r oju zo­

s t a ł y wyprowadzone d la c z y s t e g o z g i n a n i a , t o mogą one być s t o ­ sowane ró w n ież w przypadku z g i n a n i a swobodnego, j e ż e l i u d z i a ł naprężeń ś c i n a j ą c y c h w w y tę ż e n iu m a t e r ia ł u j e s t n i e w i e l k i .

P r z ed s ta w io n e p ostęp o w an ie można z a s to s o w a ć również d l a wy­

z n a c z e n ia przekrojów o tw a r ty c h o jednakowych g r u b o ś c ia c h p ółek i środników ora z d l a p r o s to k ą tn y c h przekrojów skrzynkowych.

LITERATURA

[ 1 ] D ie tr y c h J . : K o n stru k cja i k o n s tr u o w a n ie , Warszawa

1968

WNT.

[

2

[

3

l i z a c y j n e .

I I P O E J I E M A J H E O P A O l T t t M A J I b H b L X P A 3 M E P O 3 C E 4 E H H H H 3 r K B A E l f b l X 3 J I E ń i E H - P O B K P A H 0 3

P e a b m e

3 p afioT e p a a p e m e H a npofiJieMa pa3M epoB n o n e p e u H o r o ceueHHH M3rn6ae»fcix ajieueHTOB KpaHOB n a y c a o b h h h x HaiiMeHbmero B e c a . P e - memne npoH3BOflHTca c yueTOM n p o u h o c t h h MecTHO0 ycroiiuHBOCTH.

f l a u T c a n p o c T u e $opMyahi s a a yCTaHOBJieHHS p a3M ep oB c e u e t m a niBej>- J ie p a y f lB y T a B p a . IIpnBe,neHHbie (popMyau oT H O caT ca k uHCTOMy a3 - r a 6 y , s i m h m o x h o n o a b 3 0 B a T c a Taaace a ^b c a y v a e n o n e p e u H o r o n a r a ­ d a , a o r a a KacaTeabHbie HanpaaceHaa a a a u n o cp aB H eH an c Hop M an b-

Hbiua.

THE ASSORTMENT PROBLEM OF BENDING SECTIONS DIMENSION OF CRANE ELEMENTS

S u m m a r y

The p r e s e n t paper d i s c u s s e s the a s s o r t m e n t problem o f c r o s s - s e c t i o n s d im e n sio n o f bending e le m e n t s . As a c r i t e r i o n t h e i r minimal w e ig h t has been assumed, on t h e c o n d i t i o n t h a t

s t r e n g t h and s t a b i l i t y r e q u ire m en ts are k e p t . Formulae have been d e r i v e d , p e r m itin g i n a s im p le way t o i n d i c a t e d im en sio n s o f c h a n n e l bar and T-bar s e c t i o n a t pure b e n d in g . The s a i d f o r ­ mulae can be a p p l i e d t o f r e e b e n d i n g , i f a t bending sh e a r s t r e s s ­ e s are s l i g h t towards pure bending s t r e s s e s .