Analiza Matematyczna Wykład 1 Ci¸agi Podstawowe definicje i przykłady Z ci¸agami zapoznaliście si¸e Państwo w szkole średniej. Jak pami¸etacie jednym z ci¸agów był ci¸ag arytmetyczny: a

Analiza Matematyczna Wykład 1

Ci¸ agi Podstawowe definicje i przykłady

Z ci¸ agami zapoznaliście si¸e Państwo w szkole średniej. Jak pami¸etacie jednym z ci¸ agów był ci¸ ag arytmetyczny:

a _n = a ₀ + nr

gdzie a 0 , r oznaczaj¸ a dowolne liczby rzeczywiste. Liczba r zwana jest różnic¸ a ci¸ agu arytmetycznego jest ona równa różnicy dwóch kolejnych wyrazów ci¸ agu. W XIX wieku zaobserowano, że ilość zboża zachowuje si¸e jak wyraz ci¸ agu arytmetycznego ( n jest numerem roku ). Tego rodzaju obserwacje s¸ a przybliżone, bo co jakiś czas zdarzaj¸ a si¸e susze, powodzie i wtedy proces wzrostu ulega zakłóceniu. Bywaj¸ a też zakłócenia innego rodzaju, np. w XIX wieku zauważono, że stosowanie saletry chilijskiej (nawozu azotowego) zwi¸eksza w istotny sposób plony.

Drugim rodzajem ci¸ agu był tzw. ci¸ ag geometryczny:

a _n = a ₀ q ⁿ

gdzie a ₀ i q s¸ a dowolnymi liczbami rzeczywistymi. Liczba q zwana jest ilorazem ci¸ agu geo- metrycznego, bo w przypadku q 6= 0 jest równa ilorazowi dwóch kolejnych wyrazów ci¸ agu.

Na przykład z tego rodzajem ci¸ agiem spotykamy si¸e przy obliczaniu ilości pieni¸edzy na naszym koncie, jeśli wypłaty można dokonywać po ustalonym okresie czasu, a oprocen- towanie jest stałe w czasie. Wtedy a 0 oznacza wyjściow¸ a kwot¸e , a 1 kwot¸e po upływie jednego okresu, a ₂ kwot¸e po upływie dwóch okresów itd.

Przejdziemy teraz do zdefiniowania ci¸ agu.

Definicja ci¸ agu

Ci¸ agiem nazywamy dowoln¸ a funkcj¸e określon¸ a na zbiorze złożonym ze wszystkich tych liczb całkowitych, które s¸ a wi¸eksze lub równe od pewnej liczby całkowitej n 0 . Wartość tej funkcji w punkcie n nazywamy n-tym wyrazem ci¸ agu.

Przykład. Populacja owadów.

Rozpatrujemy model wzrostu owadów. Zakładamy, że liczba owadów nowonarodzonych P _n jest prooporcjonalna do ilości owadów żyj¸ acych P _n−1 w okresie poprzedzaj¸ acym (np.po (n − 1) miesi¸ acach)

P _n = RP _n−1 gdzie R jest współczynnikiem proporcjonalności.

Równanie to możemy zapisać w zależności od ilości owadów w okresie pocz¸ atkowym P ₀ . Zauważmy, że

P n = RP n−1 = R(RP n−2 ) = R ² P n−2 = ... = R ⁿ P 0

1

Na przykład możemy obliczyć po jakim okresie n liczba owadów wynosiła co najmniej M rozwi¸ azuj¸ ac nierówność

P n ≥ M −→ R ⁿ P 0 ≥ M −→ R ⁿ ≥ M P ₀

R > 1. Jeśli R = 2 i P ₀ = 1000, to otrzymujemy P ₁ = 2000, P ₅ = 32000, P ₁₀ = 1024000.

Przejdziemy teraz do zdefiniowania granicy ci¸ agu.

Definicja granicy ci¸ agu

a. Liczba g nazywana jest granic¸ a ci¸ agu (a _n ) wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnej liczby dodatniej ε > 0 istnieje liczba całkowita n ε , taka że jeśli n > n ε , to |a n − g| < ε.

b.+∞ (czytamy: plus nieskończoność) jest granic¸ a ci¸ agu (a _n ) wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby rzeczywistej M istnieje liczba całkowita n _M taka, że jeśli n > n _M , to a _n > M.

c.−∞(czytamy: minus nieskończoność) jest granic¸ a ci¸ agu (a _n ) wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby rzeczywistej M istnieje taka liczba całkowita n _m , że jeśli n > n _m to a n < M .

d. Jeśli g jest granic¸ a skończon¸ a lub nie, to piszemy g = lim _n→∞ (a _n ) lub a _n −→ g, gdy n → ∞. Mówimy, że ci¸ ag jest zbieżny, jeśli jego granica jest skończona.

Skomentujmy cz¸eść a.

Wyrazy ci¸ agu, których numery s¸ a dstatecznie duże (n > n _ε ) przybliżaj¸ a granic¸e g z do- puszczaln¸ a dokładności¸ a (|a n − g| < ε).

Powiedzmy tu wyraźnie, że przejście do nast¸epnego wyrazu nie musi zwi¸ekszyć dokładno- ści przybliżenia, przeciwnie chwilowo może si¸e ta dokładność zmniejszyć.Dopiero dosta- tecznie duży wzrost numeru wyrazu musi zwi¸ekszyć dokładność przybliżenia ( jeśli ci¸ ag jest stały, np. a _n = 22 dla każdej liczby naturalnej n, to bł¸ ad jest zawsze zerowy nieza- leżnie od numeru wyrazu, wi¸ec dokładność nie może być poprawiona). O liczbie ε myśleć naleźy jako o małej liczbie dodatniej (chodzi o to, że jeśli dla małego ε umiemy wska- zać moment, od którego bł¸ ad jest mniejszy niż ε, to od tego momentu nierówność jest również spełniona z wi¸ekszym ε). Pami¸etajmy również o tym, że liczba |x − y| może być traktowana jako odległość dw’och punktów prostej. Wobec tego nierówność |a n − g| < ε oznacza, że punkt a _n znajduje si¸e w przedziale o długości 2ε i środku g. W szczególności ci¸ ag, którego wszystkie wyrazy s¸ a takie same (lub nawet nie wszystkie, tylko wszystkie od pewnego momentu,tj dla dostatecznie dużych n s¸ a identyczne), jest zbieżny, przy czym granic¸ a takiego ci¸ agu jest wspólna wartość jego wyrazów. Cz¸esto zamiast mówić istnieje n _ε , takie, że dla n > n _ε zachodzi..., b¸edziemy mówić, że dla dostatecznie dużych n za- chodzi... lub że dla prawie wszystkich n zachodzi....Tak wi¸ec dla prawie wszystkich n...

oznacza dla wszystkich, z wyj¸ atkiem skończeniu wielu n....

Podobnie można interpretować cz¸eść b definicji granicy. Tym razem wyraz ci¸ agu, którego numer jest dostatecznie duży (n > n ε ) powinien być blisko plus nieskończoności, wi¸ec ma być duż¸ a liczb¸ a dodatni¸ a (a _n > M ).

Interpretacja cz¸eści c jest analogiczna do cz¸eści b.

Niektórzy autorzy używaj¸ a terminu ci¸ ag jest rozbieżny do +∞, a inni mówi¸ a, że ci¸ ag

2

jest zbieżny do +∞. B¸edziemy raczej stosować pierwsz¸ a terminologi¸e.

Przykłady a.

0 = lim

n→∞

1 n

Mamy znaleźć tak¸ a liczb¸e całkowit¸ a n _ε ,że dla n > n _varepsilon ma być spełniona równość

| 1

n − 0| < ε Rozwi¸ azuj¸ ac t¸e nierówność otrzymujemy

n > 1 ε

Na przykład dla ε = ₁₀₀ ¹ otrzymujemy n _ε > 100 czyli n równe na przykład 101,102 itd.

b. Pokażemy, że

n→∞ lim n n + 1 = 1 Obliczamy

1 − n n + 1

=    

n + 1 − n n + 1

= 1

n + 1 St¸ ad

1

n + 1 < ε ⇐⇒ n > 1 ε − 1 Wykazaliśmy, że istnieje liczba całkowita

n _ε = 1 ε − 1 co mieliśmy pokazać.

d. Jeśli r > 0, to +∞ = lim n→∞ (a 0 + nr). Postaramy si¸e wykazać, że nierówność ta ma miejsce.

Jeśli M jest dowoln¸ a liczb¸ a rzeczywist¸ a, n _ε > ^{M −a} _r

i n > n _ε , to n > ^{M −a} _r

, zatem a n = a 0 + nr > M , co dowodzi prawdziwości nierówności.

3