Analiza Matematyczna Wykład 1 Ci¸agi Podstawowe definicje i przykłady Z ci¸agami zapoznaliście si¸e Państwo w szkole średniej. Jak pami¸etamy jednym z ci¸agów był ci¸ag arytmetyczny: a

Analiza Matematyczna Wykład 1

Ci¸ agi Podstawowe definicje i przykłady

Z ci¸ agami zapoznaliście si¸e Państwo w szkole średniej. Jak pami¸etamy jednym z ci¸ agów był ci¸ ag arytmetyczny:

a _n = a ₀ + nr

gdzie a ₀ , r oznaczaj¸ a dowolne liczby rzeczywiste. Liczba r zwana jest różnic¸ a ci¸ agu arytmetycznego jest ona równa różnicy dwóch kolejnych wyrazów ci¸ agu. W XIX wieku zaobserowano, że ilość zboża zachowuje si¸e jak wyraz ci¸ agu arytmetycznego ( n jest numerem roku ). Tego rodzaju obserwacje s¸ a przybliżone, bo co jakiś czas zdarzaj¸ a si¸e susze, powodzie i wtedy proces wzrostu ulega zakłóceniu. Bywaj¸ a też zakłócenia innego rodzaju, np. w XIX wieku zauważono, że stosowanie saletry chilijskiej (nawozu azotowego) zwi¸eksza w istotny sposób plony.

Drugim rodzajem ci¸ agu był tzw. ci¸ ag geometryczny:

a _n = a ₀ q ⁿ

gdzie a ₀ i q s¸ a dowolnymi liczbami rzeczywistymi. Liczba q zwana jest ilorazem ci¸ agu geo- metrycznego, bo w przypadku q 6= 0 jest równa ilorazowi dwóch kolejnych wyrazów ci¸ agu.

Na przykład z tego rodzajem ci¸ agiem spotykamy si¸e przy obliczaniu ilości pieni¸edzy na naszym koncie, jeśli wypłaty można dokonywać po ustalonym okresie czasu, a oprocen- towanie jest stałe w czasie. Wtedy a ₀ oznacza wyjściow¸ a kwot¸e , a ₁ kwot¸e po upływie jednego okresu, a ₂ kwot¸e po upływie dwóch okresów itd.

Przejdziemy teraz do zdefiniowania ci¸ agu.

Zanim podamy definicj¸e wprowadzimy poj¸ecie najmniejszego zbioru N (k).

Definicja

N (k) jest najmniejszym zbiorem spełniaj¸ acym warunki:

1 ^◦ k ∈ N (k);

2 ^◦ jeśli n ∈ N (k), to również n + 1 ∈ N (k).

Zbiór N (0) := N nazywamy zbiorem liczb naturalnych , a jego elementy liczbami na- turalnymi.

Definicja zbioru liczb całkowitych

Zbiorem liczb całkowitych nazywamy najmiejszy zbiór taki, że Z ⊇ N i jeśli a, b ∈ Z, to

r ´ wnież a − b ∈ Z.

Definicja ci¸ agu liczbowego

Ci¸ agiem liczbowym nazywamy dowoln¸ a funkcj¸e określon¸ a na zbiorze postaci N (k) k ∈ Z o wartościach w zbiorze R.

Wartość tej funkcji w punkcie n nazywamy n-tym wyrazem ci¸ agu.

Przykład. Populacja owadów.

Rozpatrujemy model wzrostu owadów. Zakładamy, że liczba owadów nowonarodzonych P _n jest proporcjonalna do ilości owadów żyj¸ acych P n−1 w okresie poprzedzaj¸ acym (np.po (n − 1) miesi¸ acach)

P _n = RP _n−1 gdzie R jest współczynnikiem proporcjonalności.

Równanie to możemy zapisać w zależności od ilości owadów w okresie pocz¸ atkowym P ₀ . Zauważmy, że

P _n = RP _n−1 = R(RP _n−2 ) = R ² P _n−2 = ... = R ⁿ P ₀

Na przykład możemy obliczyć po jakim okresie n liczba owadów wynosiła co najmniej M rozwi¸ azuj¸ ac nierówność

P n ≥ M −→ R ⁿ P 0 ≥ M −→ R ⁿ ≥ M P ₀

R > 1. Jeśli R = 2 i P ₀ = 1000, to otrzymujemy P ₁ = 2000, P ₅ = 32000, P ₁₀ = 1024000.

Przejdziemy teraz do zdefiniowania granicy ci¸ agu.

Definicja granicy ci¸ agu

a. Liczba g nazywana jest granic¸ a ci¸ agu (a _n ) wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnej liczby dodatniej ε > 0 istnieje liczba całkowita n ε , taka że jeśli n > n ε , to |a n − g| < ε.

b.+∞ (czytamy: plus nieskończoność) jest granic¸ a ci¸ agu (a _n ) wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby rzeczywistej M istnieje liczba całkowita n _M taka, że jeśli n > n _M , to a n > M.

c.−∞(czytamy: minus nieskończoność) jest granic¸ a ci¸ agu (a _n ) wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby rzeczywistej m istnieje taka liczba całkowita n _m , że jeśli n > n _m to a _n < m.

d. Jeśli g jest granic¸ a skończon¸ a lub nie, to piszemy g = lim _n→∞ (a _n ) lub a _n −→ g, gdy n → ∞. Mówimy, że ci¸ ag jest zbieżny, jeśli jego granica jest skończona.

Skomentujmy cz¸eść a.

Wyrazy ci¸ agu, których numery s¸ a dstatecznie duże (n > n _ε ) przybliżaj¸ a granic¸e g z do- puszczaln¸ a dokładności¸ a (|a _n − g| < ε).

Powiedzmy tu wyraźnie, że przejście do nast¸epnego wyrazu nie musi zwi¸ekszyć dokładno-

ści przybliżenia, przeciwnie chwilowo może si¸e ta dokładność zmniejszyć.Dopiero dosta-

tecznie duży wzrost numeru wyrazu musi zwi¸ekszyć dokładność przybliżenia ( jeśli ci¸ ag

jest stały, np. a _n = 22 dla każdej liczby naturalnej n, to bł¸ ad jest zawsze zerowy nieza-

leżnie od numeru wyrazu, wi¸ec dokładność nie może być poprawiona). O liczbie ε myśleć

należy jako o małej liczbie dodatniej (chodzi o to, że jeśli dla małego ε umiemy wska- zać moment, od którego bł¸ ad jest mniejszy niż ε, to od tego momentu nierówność jest również spełniona z wi¸ekszym ε). Pami¸etajmy również o tym, że liczba |x − y| może być traktowana jako odległość dwóch punktów prostej. Wobec tego nierówność |a _n − g| < ε oznacza, że punkt a n znajduje si¸e w przedziale o długości 2ε i środku g. W szczególności ci¸ ag, którego wszystkie wyrazy s¸ a takie same (lub nawet nie wszystkie, tylko wszystkie od pewnego momentu,tj dla dostatecznie dużych n s¸ a identyczne), jest zbieżny, przy czym granic¸ a takiego ci¸ agu jest wspólna wartość jego wyrazów. Cz¸esto zamiast mówić istnieje n _ε , takie, że dla n > n _ε zachodzi..., b¸edziemy mówić, że dla dostatecznie dużych n za- chodzi... lub że dla prawie wszystkich n zachodzi....Tak wi¸ec dla prawie wszystkich n...

oznacza dla wszystkich, z wyj¸ atkiem skończeniu wielu n....

Podobnie można interpretować cz¸eść b definicji granicy. Tym razem wyraz ci¸ agu, którego numer jest dostatecznie duży (n > n _ε ) powinien być blisko plus nieskończoności, wi¸ec ma być duż¸ a liczb¸ a dodatni¸ a (a n > M ).

Interpretacja cz¸eści c jest analogiczna do cz¸eści b.

Niektórzy autorzy używaj¸ a terminu ci¸ ag jest rozbieżny do +∞, a inni mówi¸ a, że ci¸ ag jest zbieżny do +∞. B¸edziemy raczej stosować pierwsz¸ a terminologi¸e.

Przykłady a.

0 = lim

n→∞

1 n

Mamy znaleźć tak¸ a liczb¸e całkowit¸ a n _ε ,że dla n > n _ε ma być spełniona równość

| 1

n − 0| < ε Rozwi¸ azuj¸ ac t¸e nierówność otrzymujemy

n > 1 ε

Na przykład dla ε = ₁₀₀ ¹ otrzymujemy n _ε > 100 czyli n równe na przykład 101,102 itd.

b. Pokażemy, że

n→∞ lim n n + 1 = 1 Obliczamy

1 − n n + 1

=    

n + 1 − n n + 1

= 1

n + 1 St¸ ad

1

n + 1 < ε ⇐⇒ n > 1 ε − 1 Wykazaliśmy, że istnieje liczba całkowita

n _ε = 1

ε − 1

co mieliśmy pokazać.

d. Jeśli r > 0, to +∞ = lim _n→∞ (a ₀ + nr). Postaramy si¸e wykazać, że nierówność ta ma miejsce.

Jeśli M jest dowoln¸ a liczb¸ a rzeczywist¸ a, n ε > ^{M −a} _r

i n > n ε , to n > ^{M −a} _r

, zatem a _n = a ₀ + nr > M , co dowodzi prawdziwości nierówności.

Nierówność Bernoulliego Wykażemy teraz bardzo użyteczn¸ a nierówność. Załóżmy, że n jest liczb¸ a całkowit¸ a dodatni¸ a zaś a > −1 liczb¸ a rzeczywist¸ a. Wtedy

(1 + a) ⁿ ≥ 1 + na

Przy czym równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy a = 0 lub gdy n = 1. Jeśli n = 1, to oczywiście niezależnie od wyboru liczby a ma miejsce równość.Ponieważ (1 + a) ² = (1 + 2a + a ² ) ≥ 1 + 2a, przy czym równość ma miejsce, gdy a = 0, wi¸ec teza zachodzi dla n = 2 i wszystkich liczb rzeczywistych (nie tylko a > −1). Otrzyman¸ a nierówność możemy pomnożyć stronami przez liczb¸e dodatni¸ a (1 + a) - tu korzystamy z założenia a > −1. W wyniku otrzymujemy (1 + a) ³ ≥ (1 + 2a)(1 + a) = 1 + 3a + 2a ² ≥ 1 + 3a Także w tym przypadku jest widoczne, że dla a 6= 0 otrzymujemy nierówność ostr¸ a. Z tej nierówności w taki sam sposób wynika, że (1+a) ⁴ ≥ (1+3a)(1+a) ≥ (1+3a+3a ² ≥ 1+4a.

Teraz w ten sam sposób wnioskujemy prawdziwość twierdzenia dla n = 5 i wszystkich a > −1, potem dla n = 6 itd.

Ogólnie jeśli teza twierdzenia zachodzi dla wszystkich liczb a > −1 przy ustalonym n, to (1 + a) ⁿ⁺¹ ≥ (1 + na)(1 + a) = 1 + (n + 1)a + na ² ≥ 1 + (n + 1)

i znów bez trudu stwierdzamy, że równość ma miejsce jedynie dla a = 0. Jest to rozumo- wanie indukcyjne,nazwy nie użyto wcześniej, by nie odstraszać tych studentów, którzy boj¸ a si¸e indukcji.

Granica ci¸ agu geometrycznego

Niech a n = q ⁿ . Ci¸ ag ten ma granic¸e 0, jeśli |q| < 1, ma granic¸e 1, jeśli q = 1, ma granic¸e +∞, jeśli q > 1. Jeśli q ≤ 1, to ci¸ ag granicy nie ma.

Wykażemy to twierdzenie. W przypadku q = 0 i q = 1 teza jest oczywista, bo ci¸ ag jest stały (jego wyrazy nie zależ ¸ a od numeru). Załóżmy, że 0 < |q| < 1. Niech ε > 0 b¸edzie liczb¸ a rzeczywist¸ a. Jeśli n ε >

⁻¹

q

−1 jest liczb¸ a człkowit¸ a i n > n ε , to 1

|q| ⁿ =

 1 +

 1

|q| ⁿ − 1

 n 

≥ 1 + n  1

|q| − 1



> 1 + 1

ε − 1 = 1 ε

Z otrzymanej nierówności wynika, że dla n > n _ε , zachodzi _|q| ¹

> ¹ _ε , czyli |q| ⁿ < ε, a to oznacza, że lim _n→∞ q ⁿ = 0

Kolejny przypadek to q > 1. Mamy q ⁿ = (1 + (q − 1)) ⁿ ≥ 1 + n(q − 1). Wobec tego, jeśli

n > n _ε i n _M > ^{M −1} _q−1 , to q ⁿ > 1 + (M − 1) = M. Czyli lim _n→∞ q ⁿ = +∞

Pozostał przypadek ostatni q ≤ −1. W tym przypadku mamy q ⁿ ≤ −1 dla każdej liczby całkowitej nieparzystej n oraz q ⁿ ≥ 1 dla każdej liczby całkowitej parzystej n. Gdyby ist- niała skoń czona granica g, to wyrazy ci¸ agu o dostatecznie dużych numerach leżałyby w odległości mniejszej niż 1 od granicy g - natychmiastowa konsekwencja istnienia granicy skończonej.Jeśli jednak odległości q ⁿ i q ⁿ⁺¹ od granicy g s¸ a mniejsze od 1, to odległość mi¸edzy nimi jest mniejsza niż 1 + 1 = 2, co oznacza, że |q ⁿ − q ⁿ⁺¹ | < 2. To jednak nie jest możliwe, bowiem jedna z liczb q ⁿ , q ⁿ⁺¹ jest mniejsza lub równa -1, a druga wi¸eksza lub równa 1. St¸ ad wynika, że odległość mi¸edzy q ⁿ i q ⁿ⁺¹ jest nie mniejsza niż 1 − (−1) = 2 Można to rozumowanie zapisać w postaci nierówności

2 ≥ |q ⁿ − q ⁿ⁺¹ | ≥ |q ⁿ − g| + |g − q ⁿ⁺¹ | < 1 + 1 = 2 dla dostatecznie dużych n.

Otrzymaliśmy sprzeczność, wi¸ec ci¸ ag granicy skończonej nie ma. +∞ granic¸ a tego ci¸ agu też nie jest, bowiem wtedy wyrazy ci¸ agu o dostatecznie dużych numerach musiałyby być wi¸eksze od 0 (przyjmujemy M = 0), a tak nie jest, bo te, których numery s¸ a nieparzyste s¸ a ujemne. Analogicznie −∞ nie jest granic¸ a tego ci¸ agu, bo wyrazy o numerach parzy- stych s¸ a dodatnie, co wyklucza, że wyrazy o dostatecznie dużych numerach s¸ a ujemne (i w tym przypadku przyjmujemy M = 0).

Wykazaliśmy, że ci¸ ag nie ma granicy skoćzonej ani minus nieskończonej, co kończy bada-

nia granicy ci¸ agu geometrycznego.