1 Operatory liniowe ci agle.
1. Wykaza´c, ˙ze je´sli A jest odwracalny, to operator A−1 jest liniowy, o ile operator A jest liniowy.
2. Wykaza´c, ˙ze operator liniowy A jest odwracalny wtedy i tylko wtedy, gdy Ax = 0 im- plikuje x = 0.
3. Wykaza´c, ˙ze dla operatora liniowego T : X → Y norma wyra˙za sie wzorami:
||T || = sup
||x||≤1||T x|| = sup
||x||<1||T x|| = sup
||x||=1||T x|| = sup
x=0
||T x||
||x|| .
4. Niech X, Y bed a przestrzeniami unormowanymi, przy czym dimX = n. Wykaza´c, ˙ze dowolny operator A : X → Y jest ograniczony.
5. (Przyklad operatora r´o˙zniczkowania). Niech X ⊂ C ([0, 1]) bedzie podprzestrzeni a zlo˙zon a ze wszystkich wielomian´ow. Wykaza´c, ˙ze wz´or
(i) T u(t) = u(t) dla u ∈ X, t ∈ [0, 1] okre´sla operator liniowy nieograniczony T : X → X, (ii) f (u) = u(0) dla u ∈ X okre´sla funkcjonal liniowy nieograniczony na przestrzeni X.
6. Powt´orzy´c poprzednie zadanie dla X bed acego podprzestrzeni a zlo˙zon a ze wszystkich wielo- mian´ow trygonometrycznych.
7. Niech X = lm2, Y = l2n. Sa to oczywi´scie przestrzenie liniowe i dimX = m, dimY = n. Niech [ai,k]i=1,... ,n
k=1,... ,m bedzie dowoln a macierz a liczbow a. Okre´slmy A : X x → y ∈ Y w ten spos´ob, ˙ze dla x = (x1, . . . , xm), y = (y1, . . . , yn) dostajemy
yi =
m k=1
ai,kxk
dla i = 1, . . . , n.
(i) Wykaza´c, ˙ze A jest operatorem liniowym.
(ii) Wykaza´c, ˙ze A jest operatorem ograniczonym i
||A|| = max
i=1,... ,n
m k=1
|ai,k|.
8. Niech X = Y = l2, x = (xi)∞i=1 ∈ X, y = (yi)∞i=1 ∈ Y. Oznaczmy przez A = [ai,k]i=1,2,...
k=1,2,...
macierz liczbowa niesko´ nczona tak a, ˙ze ∞
i=1
∞
k=1|ai,k|2 < ∞. Niech dalej yi =
∞ k=1
ai,kxk
dla i = 1, 2, . . . . Wykaza´c, ˙ze (i) A : l2 → l2,
(ii) A jest operatorem liniowym, (iii) A jest operatorem ograniczonym.
9. (Przyklad operatora calkowania). Niech X = Y = C (Ω), gdzie Ω ⊂R jest zbiorem zwartym.
Niech ponadto A ∈ C (Ω × Ω), tzn. A jest funkcja ci agl a okre´slon a na Ω × Ω. Dla u ∈ C (Ω) okre´slamy operator:
T u(x) =
ΩA(x, y)u(y) dy.
Pokaza´c, ˙ze
(i) T : C (Ω) → C (Ω) , (ii) T jest liniowy, (iii) T jest ograniczony.
10. (Przyklad operatora rzutowania). Niech T : Rn → R bedzie okre´slony T (x) = x i dla x = (x1, . . . , xn)∈Rn. Wykaza´c, ˙ze T jest liniowy i ograniczony, ale nie jest odwracalny. Obli- czy´c jego norme.
11. Niech T : Rn → Rn bedzie okre´slony T (x) = T (x 1, . . . , xn) = P (x1, . . . , xn), gdzie P jest permutacja element´ ow x1, . . . , xn. Wykaza´c, ˙ze T jest liniowy, ograniczony i odwracalny.
12. Niech a ∈ C ([a1, a2]) bedzie funkcj a ci agl a, a u ∈ L ([a 1, a2]) funkcja calkowaln a. Wy- kaza´c, ˙ze T : L ([a1, a2])→R okre´slony r´ownaniem:
T u =
a2
a1
a(x)u(x) dx
jest liniowy i ograniczony.
13. Niech bedzie okre´slony operator
T ((xn)∞n=1) =
xn
2n+1
∞
n=1
dla x = (xn)∞n=1 ∈ l2. Pokaza´c, ˙ze (i) T : l2 → l2,
(ii) T jest liniowy i ograniczony, (iii) ||T || = 14.
14. Niech bedzie okre´slony operator
T x(t) =
1
2
0 (t2+ s)x(s) ds +
1
12
(t + s2)x(s) ds
dla x ∈ C ([0, 1]) . Pokaza´c, ˙ze T : C ([0, 1]) → C ([0, 1]) , jest liniowy i ograniczony. Obliczy´c norme T .
15. Dla
T x(t) =
t
0 x(s) ds,
gdzie x ∈ C ([0, 1]) , pokaza´c, ˙ze T : C ([0, 1]) → C ([0, 1]) , jest liniowy i ograniczony. Obliczy´c norme T .
16. Pokza´c, ˙ze operator T okre´slony
T x(t) =
t
0 sx(s) ds, dla x ∈ C ([0, 1]) , spelnia:
(i) T : C ([0, 1]) → C ([0, 1]) , (ii) T jest liniowy i ograniczony.
Obliczy´c norme T .
17. Niech dla (an)∞n=1 ⊂ l∞ bedzie okre´slony operator T wzorem:
T ((an)∞n=1) =
an
2n
∞
n=1. Pokaza´c, ˙ze
(i) T : l∞→ l1,
(ii) T jest liniowy i ograniczony.
Obliczy´c norme T .
18. Znale´z´c norme funkcjonalu f na zbiorze C ([a, b]) danego wzorem
f (x) =
n i=1
λix(ti),
gdzie λ1, . . . , λn sa ustalonymi liczbami rzeczywistymi, a t 1, . . . , tn sa ustalonymi elementami odcinka [a, b] r´o˙znymi miedzy sob a.
19. Wyznaczy´c norme operatora T : l 1n→ L1(0, 1) okre´slonego wzorem:
T (x1, . . . , xn)(t) = x1+ x2t + · · · + xntn−1.
20. Niech X ⊂ C ([−1, 1]) , gdzie X jest przestrzenia zlo˙zon a ze wszystkich wielomian´ ow stop- nia co najwy˙zej n.
(i) Oszacowa´c norme operatora liniowego T : X → X okre´slonego wzorem: T u(t) = u(t), u ∈ X, t ∈ [−1, 1] .
(ii) Ka˙zdy wielomian u ∈ X mo˙zna jednoznacznie przedstawi´c w postaci u(t) = a0+ a1t + · · · + antn,
gdzie a0, a1, . . . , an ∈ K. Dla ka˙zdego k = 0, 1, . . . , n odwzorowanie u → ak jest funkcjonalem liniowym na przestrzeni X. Oszacowa´c norme tego funkcjonalu.
21. Niech X bedzie n-wymiarow a przestrzeni a unormowan a i niech u 1, . . . , un bedzie baz a tej przestrzeni. Dla ka˙zdego x ∈ X niech p1(x), . . . , pn(x) bed a wsp´ olrzednymi wektora x w tej bzie, tzn.
x = p1(x)u1 +· · · + pn(x)un.
Wykaza´c, ˙ze okre´slone w ten spos´ob funkcjonaly liniowe p1, . . . , pn na X sa ci agle.
22. Wykaza´c, ˙ze dwie normy ·1, ·2 na przestrzeni wektorowej X sa r´ ownowa˙zne wtedy i tylko wtedy, gdy operator identyczno´sciowy id : (X, ·1)→ (X, ·2) jest izomorfizmem topo- logicznym.
23. Wykaza´c, ˙ze C ([a, b]) i C ([0, 1]) dla [a, b] bed acego dowolnym odcinkiem na prostej, s a izometrycznie izomorficzne.
24. Wykaza´c, ˙ze Lp(a, b) i Lp(0, 1) dla [a, b] bed acego dowolnym odcinkiem na prostej i 1≤ p < ∞, sa izometrycznie izomorficzne.
25. Wykaza´c, ˙ze dla ka˙zdego ustalonego 1 ≤ p < ∞ przestrzenie Lp(0, 1) , Lp(0, +∞) i Lp(−∞, +∞) sa izometrycznie izomorficzne.
26. Wykaza´c, ˙ze przestrzenie c i c0 sa topologicznie izomorficzne.
27. Niech T bedzie operatorem liniowym ci aglym z przestrzeni unormowanej (X, · X) na podprzestrze´n Y0 przestrzeni unormowanej (Y, ·Y) o normie ||T ||. Oznaczmy przez X, Y przestrzenie sprze˙zone do X i Y (odpowiednio). Wykaza´c, ˙ze:
(i) dla ka˙zdego y ∈ Y funkcja f (x) = y(T x) jest funkcjonalem liniowym ciaglym nad X,
(ii) je´sli oznaczy´c (Sy) x = y(T x), to S : Y → X jest operatorem liniowym ciaglym z Y do X o normie S ≤ T .
28. Dowie´s´c, ˙ze dla ka˙zdego funkcjonalu liniowego ograniczonego f okre´slonego na przestrzeni l1 istnieje dokladnie jeden ciag liczbowy ograniczony (a k)∞k=1 taki, ˙ze
f (x) =
∞ k=1
akxk
dla wszystkich x = (xk)∞k=1 ∈ l1. Na odwr´ot, je´sli dany jest ciag liczbowy ograniczony (a k)∞k=1, to funkcjonal f okre´slony tym wzorem jest funkcjonalem liniowym ograniczonym, przy czym
f = |f| sup
k=1,2,...|ak| .
(Wsk. Zauwa˙zy´c, ˙ze ka˙zdy element x = (xk)∞k=1 ∈ l1 ma rozwiniecie x = ∞
k=1xkek, gdzie e1 = (1, 0, 0, . . . ), e2 = (0, 1, 0, . . . ), . . . ).
29. Dowie´s´c, ˙ze og´olna postaci a funkcjonalu liniowego ograniczonego f okre´slonego na prze- strzeni c0 jest
f (x) =
∞ k=1
akxk,
gdzie ak, k = 1, 2, . . . sa jednoznacznie okre´slonymi liczbami takimi, ˙ze ∞
k=1|ak| < ∞, przy czym
f = |f| =∞
k=1
|ak|.
30. Dowie´s´c, ˙ze og´olna postaci a funkcjonalu liniowego ograniczonego f okre´slonego na prze- strzeni c jest
f (x) = a lim
k→∞xk+
∞ k=1
akxk,
gdzie a i ak, k = 1, 2, . . . sa jednoznacznie okre´slonymi liczbami takimi, ˙ze ∞
k=1|ak| < ∞, przy czym
f = |f| = |a| +
∞ k=1
|ak|.
31. Niech M bedzie podprzestrzeni a sko´ nczenie wymiarowa przestrzeni unormowanej X. Wy- kaza´c, ˙ze dla ka˙zdego punktu x ∈ X istnieje co najmniej jeden punkt y ∈ M taki, ˙ze ||x − y|| = d(x, M).
32. Niech X = c0 i M ⊂ X bedzie okre´slone
M =
x = (xk)∞k=1 ∈ c0,
∞ k=1
xk
2k = 0
.
(i) Wykaza´c, ˙ze je´sli x ∈ X \ M, to ||x − y|| > d(x, M) dla ka˙zdego y ∈ M.
(ii) Nie istnieje w X taki x, ˙ze ||x|| = 1 i d(x, M) = 1.
(Wsk. Je´sli x = (xk)∞k=1 ∈ c0, to d(x, M) =∞
k=1xk
2k).
33. Poda´c przyklad ograniczonego ciagu element´ ow przestrzeni X takiego, ˙ze ka˙zdy jego podciag jest rozbie˙zny, je´sli:
(i) X = C ([0, 1]) ,
(ii) X = Ck([0, 1]) , k = 1, 2, . . . , (iii) X = Lp(0, 1) , 1 ≤ p < ∞.
34. Niech T ∈ B(X, Y ), gdzie X, Y sa przestrzeniami Banacha, b edzie operatorem sur- jektywnym. Okre´slmy ˜T : X / ker T → Y (gdzie X / ker T oznacza przestrze´n ilorazowa) i T (x + ker T ) := T x. Wykaza´c, ˙ze˜
(i) ˜T jest izomorfizmem algebraicznym,
(ii) ker T jest liniowa domkni et a podprzestrzeni a przestrzeni X, (iii) funkcja · w X / ker T okre´slona jako
x + ker T := inf
˜x∈ker Tx − ˜x
spelnia aksjomaty normy,
(iv) X / ker T jest przestrzenia Banacha.
35. Niech T : X → Y bedzie operatrorem liniowym, X, Y - przestrzeniami unormowanymi. Pokaza´c, ˙ze
(i) Graph(T ) := {(x, T x) : x ∈ X} jest podprzestrzenia liniow a przestrzeni X ⊕ Y, (ii) odwzorowanie S :Graph(T ) → X dane wzorem S(x, T x) = x jest liniowe.
36. Sprawdzi´c, ˙ze operator A : C1([0, 1]) → C ([0, 1]) okre´slony jako operator pochodnej, tzn. Ax(t) = x(t) dla x ∈ C1([0, 1]) , ma domkniety wykres. (Fakt ten znany jest w for- mie twierdzenia, ˙ze je´sli xn(t) → x(t) i xn(t) → y(t) jednostajnie w [0, 1], to x(t) jest funkcja r´o˙zniczkowalna w spos´ ob ciagly i x (t) = y(t).)
37. Niech operator C ([0, 1]) → C ([0, 1]) bedzie dany wzorem Ax(t) = x(t)t dla funkcji x ∈ C ([0, 1]) takich, ˙ze istnieje granica limt→0x(t)
t . Wykaza´c, ˙ze A jest domkniety (tzn. ma do- mkniety wykres).
38. Niech A : X → Y bedzie operatorem liniowym, X, Y - przestrzeniami unormowanymi
oraz obraz operatora A bedzie domkni etym podzbiorem w Y . Zal´o˙zmy, ˙ze istnieje stala M taka,
˙ze dla ka˙zdego x z dziedziny operatora A zachodzi Ax ≥ M x . Pokaza´c, ˙ze A jest domkniety.
39. Udowodni´c twierdzenie Landaua:
Je´sli szereg ∞
k=1sktk jest zbie˙zny przy ka˙zdym ciagu (s k)k=1∞ ∈ lq, to (tk)∞k=1 ∈ lp, gdzie 1≤ p, q ≤ ∞ i 1p + 1q = 1.
40. Posta´c i norma funkcjonalu nad c0.
Niech x bedzie funkcjonalem liniowym ci aglym nad przestrzeni a c 0 (ciag´ ow zbie˙znych do 0), tzn. x ∈ B(c0, K). Wtedy istnieje dokladnie jeden ciag (s k)∞k=1 taki, ˙ze ∞
k=1|sk| < ∞ oraz x((tk)∞k=1) =
∞ k=1
sktk
dla ka˙zdego (tk)∞k=1 ∈ c0, przy czym
x =∞
k=1
|sk| < ∞.
Na odwr´ot, je´sli ∞
k=1|sk| < ∞, to powy˙zsze r´ownanie okre´sla funkcjonal x liniowy i ciagly nad c0.
41. Posta´c funkcjonalu nad c.
Niech x bedzie funkcjonalem liniowym ci aglym nad przestrzeni a c (ci ag´ ow zbie˙znych), tzn.
x ∈ B(c, K). Wtedy istnieje dokladnie jeden ciag (s k)∞k=0 taki, ˙ze ∞
k=0|sk| < ∞ oraz x((tk)∞k=1) = ts0+
∞ k=1
sk(tk− t)
dla ka˙zdego (tk)∞k=1 ∈ c, gdzie t = limk→∞tk. Na odwr´ot, x okre´slone powy˙zej jest funkcjonalem liniowym i ciaglym nad c.
42. Posta´c i norma funkcjonalu nad l1.
Niech x bedzie funkcjonalem liniowym ci aglym nad przestrzeni a l 1 ciag´ ow sumowalnych, tzn.
(tk)∞k=1 ∈ l1 wtedy, gdy∞
k=0|tk| < ∞. Wtedy istnieje dokladnie jeden ciag ograniczony (s k)∞k=1 taki, ˙ze
x((tk)∞k=1) =
∞ k=1
sktk
dla ka˙zdego (tk)∞k=1 ∈ l1, przy czym
x = sup
k |sk|.
Na odwr´ot, gdy ciag (s k)∞k=1 jest ograniczony, to x okre´slone powy˙zej jest funkcjonalem linio- wym i ciaglym nad l 1.
Przestrze´n (l1) sprze˙zona do l 1 jest izometrycznie izomorficzna do m = l∞.
43. Posta´c i norma funkcjonalu nad lp.
Niech x bedzie funkcjonalem liniowym ci aglym nad przestrzeni a l p ciag´ ow sumowalnych z p-ta poteg a, tzn. (t k)∞k=1 ∈ lp wtedy, gdy ∞
k=0|tk|p < ∞ dla 1 < p < ∞. Wtedy istnieje dokladnie jeden ciag (s k)∞k=1 taki, ˙ze
x((tk)∞k=1) =
∞ k=1
sktk
dla ka˙zdego (tk)∞k=1∈ lp, przy czym ciag (s k)∞k=1 spelnia warunek ∞
k=0|sk|p < ∞ dla 1p+ 1q = 1 oraz
x = ∞
k=1
|sk|q 1q
.
Na odwr´ot, gdy ciag (s k)∞k=1 jest z lq, to x okre´slone powy˙zej jest funkcjonalem liniowym i ciaglym nad l p.
Przestrze´n (lp) sprze˙zona do l p jest izometrycznie izomorficzna do lq.
44. Posta´c i norma funkcjonalu nad Lp(Ω).
Ka˙zdy funkcjonal liniowy ograniczony f okre´slony na przestrzeni Lp(Ω), p > 1 ma przedsta- wienie
f (u) =
Ωa(x)u(x) dx,
gdzie a ∈ Lq(Ω), 1p+1q = 1. Funkcja a jest wyznaczona jednoznacznie (z dokladno´scia do zbioru miary 0) przez fukcjonal . Ponadto
f = q
Ω|a(x)|qdx.
Na odwr´ot, je´sli a ∈ Lq(Ω), to funkcjonal okre´slony na przestrzeni Lp(Ω) powy˙zszym wzorem jest funkcjonalem liniowym i ciaglym o normie okre´slonej powy˙zej.
45. Niech X bedzie przestrzeni a Banacha, a f n ∈ X, n = 1, 2, . . . bedzie ci agiem funk- cjonal´ow takich, ˙ze dla ka˙zdego x ∈ X ciag {fn(x)}∞n=1jest zbie˙zny. Pokaza´c, ˙ze istnieje f ∈ X taki, ˙ze dla ka˙zdego x ∈ X zachodzi fn(x) → f (x) przy n → ∞.
46. W przestrzeni L2(−1, 1) okre´slamy ciag funkcjonal´ ow fn(x) = 1
−1x(t)cosnt dt.
(i) Pokaza´c, ˙ze fn sa liniowe i ograniczone.
(ii) Pokaza´c, ˙ze fn(x) → 0 przy n → ∞ dla ka˙zdego x ∈ L2(−1, 1).
(iii) Czy fn → 0 przy n → ∞ wedlug normy?
47. Niech X bedzie przestrzeni a unormowan a. Wykaza´ c, ˙ze A ⊂ X jest ograniczony wtedy i tylko wtedy, gdy dla ka˙zdego f ∈ X zbi´or f (A) jest ograniczony.
48. Niech X oznacza przestrze´n liniowa, jak a tworz a wszystkie funkcje u ci agle na przedziale [0, 1] i r´o˙zniczkowalne w spos´ob ciagly wewn atrz tego przedzialu. Pokaza´ c, ˙ze nie istnieje w X norma taka, ˙ze
(i) X jest przestrzenia Banacha,
(ii) je´sli un∈ X, n = 1, 2, . . . , u ∈ X i un− u → 0 przy n → ∞, to un(t) → u(t) dla ka˙zdego t ∈ (0, 1).
Wsk. Rozwa˙zy´c funkcjonaly ft(u) = u(t), tzn.
ft(u) = lim
n→∞n
u(t + 1
n)− u(t)
.
49. Niech C bedzie wypuklym otoczeniem 0, C ⊂ X (X - przestrze´n liniowa). Niech p(x) = inf
ˆt > 0 : ˆt−1x ∈ C
dla x ∈ X. Wykaza´c, ˙ze (i) p(x) ≥ 0,
(ii) p(x + y) ≤ p(x) + p(y), (iii) p(αx) = αp(x), α ≥ 0, dla x, y ∈ X.
50. Niech X bedzie przestrzeni a liniow a, A, B - zbiorami wypuklymi takimi, ˙ze A, B =
∅, A ∩ B = ∅. Wykorzystujac poprzednie zadanie, wykaza´ c, ˙ze je´sli A jest otwarty, to istnieje f ∈ X i istnieje γ ∈R takie, ˙ze
f(x) < γ ≤ f(y) ∀x∈A, y∈B.
51. Niech X bedzie przestrzeni a liniow a, A, B - zbiorami wypuklymi takimi, ˙ze A, B =
∅, A ∩ B = ∅. Wykaza´c, ˙ze je´sli X jest lokalnie wypukla, A jest zwarty, B jest domkniety, to istnieje f ∈ X i istnieja γ 1, γ2 ∈R takie, ˙ze
f(x) < γ1 < γ2 < f(y) ∀x∈A, y∈B. Wykorzysta´c poprzednie zadanie.
