Fizyka 1

Fizyka 1

Podstawy fizyki

Wykład 2.

Wektory

Wektory w fizyce pełnią tak podstawową funkcję, jak zdania w literaturze.

W fizyce mamy do czynienia zarówno z wielkościami skalarnymi jak i wielkościami wektorowymi.

Wielkości skalarne (np. masa, objętość, czas, ładunek, temperatura, praca) mają jedynie wartość. Skalar oznacza liczbę.

Wielkości wektorowe (np. prędkość, przyspieszenie, siła, pęd, natężenie pola) posiadają wartość, kierunek, zwrot i punkt przyłożenia.

Wektory reprezentowane są w przestrzeni euklidesowej jedno-, dwu- lub trójwymiarowej jako strzałki. Wektory można dodawać, odejmować lub mnożyć. Rachunek wektorowy odgrywa znaczącą rolę w wielu dziedzinach fizyki.

Zależności między dwoma wektorami A

i B .

Wektory

Rozkładanie wektorów na składowe

W działaniach na wektorach operuje się składowymi tych wektorów wyznaczonymi w wybranym układzie odniesienia.

Składową wektora nazywamy jego rzut na oś.

Składowe wektora można wyznaczyć z trójkąta jako a_x=acosQ a_y=asinQ

Wektory

Suma wektorów

W wybranym układzie współrzędnych wektor jest definiowany przez podanie jego współrzędnych, np.

a=(a₁,a₂,a₃) b=(b₁,b₂,b₃)

Sumą dwóch wektorów jest nowy wektor o współrzędnych a+b=(a₁+b₁,a₂+b₂,a₃+b₃)

Geometrycznie jest to przekątna równoległoboku zbudowanego na tych wektorach.

Różnicę dwóch wektorów przedstawia druga przekątna

Wektory

Mnożenie wektorów

Mnożenie wektora przez skalar

W wyniku otrzymujemy nowy wektor. Jego kierunek jest zgodny z kierunkiem wektora jeśli skalar jest dodatni, przeciwny jeśli skalar jest ujemny.

Mnożenie wektora przez wektor

● Iloczyn skalarny

Iloczyn skalarny dwóch wektorów a⋅b jest liczbą (skalarem) równą iloczynowi wartości bezwzględnych (długości) tych wektorów pomnożony przez cosinus kąta między nimi

a⋅b=|a| |⋅b|cosα=abcosα

Przykładem wielkości fizycznej, którą można przedstawić jako iloczyn skalarny dwóch wielkości wektorowych jest praca. Praca jest iloczynem skalarnym siły i przesunięcia.

Wektory

Mnożenie wektorów

Mnożenie wektora przez wektor

● Iloczyn wektorowy

Iloczyn wektorowy dwóch wektorów a×b jest nowym wektorem c, którego długość (wartość bezwzględna) jest równa iloczynowi długości tych wektorów i sinusa kąta pomiędzy nimi

|c|=c=absinα

Wektor c jest prostopadły do płaszczyzny wyznaczonej przez wektory a i b. Zwrot jego jest określony regułą śruby prawoskrętnej lub regułą prawej ręki. Jeżeli palce prawej ręki zginają się w kierunku obrotu wektora a do wektora b (po mniejszym łuku) to kciuk wskazuje kierunek wektora c=a×b.

Układy współrzędnych

Ruch cząstki lub ciała sztywnego określamy zawsze względem innego ciała, z którym wiążemy tak zwany układ odniesienia. W kinematyce do określania ruchu cząstek wystarczy rozważyć układy czysto matematyczne, jakimi są układy współrzędnych. Do najczęściej stosowanych układów współrzędnych należą: układ kartezjański, układ kulisty (sferyczny) oraz układ walcowy (cylindryczny).

Wybór danego układu współrzędnych podyktowany jest symetrią danego problemu fizycznego.

Układy współrzędnych - kartezjański

Położenie cząstki w przestrzeni trójwymiarowej określamy przez podanie uporządkowanej trójki liczb (x, y, z), która określa współrzędne danej cząstki w tym układzie. Współrzędne te można traktować jako składowe wektora położenia :

Można rozróżnić dwa rodzaje układów kartezjańskich: układ prawoskrętny oraz układ lewoskrętny. Kartezjański prawoskrętny układ współrzędnych jest to układ trzech wzajemnie prostopadłych osi przecinających się w punkcie zwanym początkiem układu, przy czym zwroty osi są takie, że przejście od osi x do osi y jest zgodne z obrotem śruby prawoskrętnej, która postępuje w kierunku osi z.

Układy współrzędnych – kulisty (sferyczny)

Położenie cząstki podaje się określając trójkę liczb (r,φ, θ) gdzie r oznacza promień wodzący (współrzędna radialna), φ - kąt azymutalny, θ - kąt biegunowy.

Transformacja która przeprowadza współrzędne z układu kulistego do układu kartezjańskiego ma postać:

Transformacja która przeprowadza współrzędne z układu kartezjańskiego do układu kulistego.

Układy współrzędnych – biegunowy

Położenie cząstki w tym układzie określa dwójka liczb (ρ, φ), których znaczenie jest identyczne jak dla układu walcowego. Wzory transformacyjne współrzędne z układu biegunowego do kartezjańskiego dwuwymiarowego mają następującą postać:

Natomiast wzory transformacyjne współrzędne z układu kartezjańskiego do biegunowego mają następującą postać:

Kinematyka

Kinematyka (z greckiego kinematos – ruch) – dział mechaniki koncentrujący się na zjawisku ruchu bez uwzględnienia przyczyn, które ten ruch spowodowały.

Kinematyka

Ruch – zmiany wzajemnego położenia jednych ciał względem drugich wraz z upływem czasu. Położenie określamy względem układu odniesienia, tzn. wybranego ciała lub układu ciał.

Ruch jest pojęciem względnym. Ruch tego samego ciała widziany z różnych układów odniesienia może być różny. W szczególności można wybrać taki układ odniesienia, w którym ciało nie porusza się.

Jeżeli jakieś ciało się porusza to jego położenie się zmienia. Ta zmiana położenia nazywa się przemieszczeniem.

Kinematyka

Dużej litery greckiego alfabetu - delty ( Δ ) używamy do oznaczenia

„zmiany” wielkości, której symbol zapisujemy po prawej stronie, np.

Δx oznacza zmianę położenia (położenie końcowe odjąć położenie początkowe). Przemieszczenie, w układzie jednostek SI podaje się w metrach.

Ciała w ruchu mogą doznawać kilku lub nawet całej serii przemieszczeń.

Całkowite przemieszczenie Δx_całk definiujemy jako sumę pojedynczych przemieszczeń

Kinematyka

Punkty materialne to obiekty obdarzone masą, których rozmiary (objętość) możemy zaniedbać.

Rzeczywiste ciała mają zawsze skończoną objętość, ale dopóki rozpatrujemy ich ruch postępowy (ciała nie obracają się, ani nie wykonują drgań) to z dobrym przybliżeniem możemy je traktować jako punkty materialne. To przybliżenie może być z powodzeniem stosowane do opisu ruchu obiektów o różnej wielkości, zarówno

"małych" cząsteczek, jak i "dużych" planet.

Kinematyka

Zarówno prędkość średnia, jak i prędkość chwilowa jest wektorem o wymiarze metr na sekundę (m/s).

Kinematyka

Przyspieszenie chwilowe

Kinematyka

Kinematyka

Kinematyczne równania ruchu Wychodząc z definicji prędkości średniej

Podstawiając uproszczone definicje Δx oraz Δt oraz przyjmując t₀=0 (Δt = t_k )

Otrzymujemy położenie w dowolnej chwili czasu

Gdzie prędkość średnia wynosi

Skoro przyspieszenie jest stałe, to prędkość średnia jest średnią arytmetyczną prędkości początkowej i końcowej.

Kinematyka

Kinematyczne równania ruchu Wychodząc z definicji przyspieszenia średniego

Podstawiając uproszczone definicje Δv oraz Δt oraz przyjmując t₀=0 (Δt = t_k )

Wyznaczamy stąd równanie prędkości v w dowolnej chwili czasu

Kinematyka

Kinematyczne równania ruchu

Na podstawie dwóch wyprowadzonych równań ruchu otrzymamy trzecie równanie, wiążące położenie ciała z przyspieszeniem w ruchu jednostajnie zmiennym. W przypadku ruchu po linii prostej będzie to też wzór na drogę w ruchu jednostajnie zmiennym, o ile nie będziemy rozważać zmiany kierunku ruchu ciała.

Dodajmy v₀ do obu stron równania i dzielimy je przez 2

Kinematyka

Kinematyczne równania ruchu

równanie opisujące położenie końcowe ciała w dowolnej chwili w ruchu jednostajnie zmiennym

Kinematyka

Kinematyczne równania ruchu

Czwarte równanie kinematyczne na prędkość końcową wyrażoną przez całkowite przemieszczenie i przyspieszenie na podstawie trzech

poprzednich równań. Wyliczmy zmienną t z równania na prędkość v = v ₀ + at

Podstawiając za czas oraz prędkość średnią

do otrzymamy

Kinematyka