1
Ekoenergetyka Matematyka 1. Wykład 5.
WEKTORY
Definicja (Przestrzeń 3)
Przestrzenią 3nazywamy zbiór wszystkich uporządkowanych trójek
x, y, z
liczb rzeczywistych
3 x y z, , : , ,x y z
Przestrzeń 3będziemy interpretować geometrycznie na trzy sposoby:
1. zbiór wszystkich punktów P
x, y, z
,2. zbiór wszystkich wektorów zaczepionych w punkcie O
0,0,0
o końcach w punktach , ,
P x y z
, czyliu OP
,3. zbiór wszystkich wektorów swobodnych
u
w tej przestrzeni.Definicja (wektor)
Wektorem zaczepionym nazywamy parę punktów.
B – koniec wektora AB
A – początek wektora AB ; AB BA wektor przeciwny do AB ;
Jeśli A(xA,yA,zA),B(xB,yB,zB) to AB[xBxA,yBy zA, B zA]
Wektor
u
3będziemy zapisywać w postaciu u u u
x,
y,
z
.Działania na wektorach Niech
u u u u
x,
y,
z
,v v v v
x,
y,
z , a
. Wtedy, ,
x x y y z z
u v u v u v u v
, ,
x x y y z z
u v u v u v u v
, ,
x y z
a u a u a u a u
Przykład 1, 2,3 3, 2,1 4, 4, 4 , 1, 2,3 3, 2,1 2,0, 2 , 3 1, 2,3 3, 6,9
2
Wektory u v, 3są równoległe, gdy istnieją takie
a b ,
, żea b 0
0 oraz 0.a u b v W szczególności, jeśli u0, to wektory u v, 3są równoległe, gdy istnieje
t
takie, żeu t v
.Wektory u v w, , 3są współpłaszczyznowe, gdy istnieją takie
a b c , ,
, żea b c 0
oraz a u b v c w 0. W szczególności, jeżeli wektory u v, 3nie są równoległe, to wektory u v w, , 3są współpłaszczyznowe, gdy istnieją s t, takie, żew s u t v .
Definicja (Układ współrzędnych w przestrzeni)
Układem współrzędnych w przestrzeni nazywamy trzy ustalone proste x, y, z przecinające się w jednym punkcje O, które są wzajemnie prostopadłe. Taki układ oznaczamy przez OXYZ. Proste OX, OY, OZ nazywamy osiami, płaszczyzny XOY, YOZ, XOZ płaszczyznami układu współrzędnych.
Definicja (Orientacja układu współrzędnych w przestrzeni)
W zależności od wzajemnego położenia osi OX, OY, OZ układu współrzędnych wyróżniamy dwie jego orientacje: układ prawoskrętny i układ lewoskrętny.
3 Definicja (wersory na osiach układu współrzędnych)
Wektory i [1,0,0], j [0,1,0],k [0,0,1] nazywamy wersorami odpowiednio na osiach OX, OY, OZ.
Definicja (długość wektora)
Długość wektora u [ , , ]x y z jest określona wzorem
2 2 2
. u x y z
Przykład
Obliczyć długość wektora AB , gdzie A(2,1, 3), B ( 1,1, 4) Fakt (Własności długości wektorów)
Niech u v i będą wektorami w 3 oraz niech
. Wtedy 1) u 0;2) u 0 u 0;
3)
u
u ; 4) u v u v ; 5) u v u v. Definicja (Iloczyn skalarny)Niech u v i będą dowolnymi wektorami w 3. Iloczynem skalarnym wektorów u v i określamy wzorem
cos ( , ) u v u v u v
Fakt (wzór do obliczania iloczynu skalarnego)
Niech u[ ,x y z1 1, ],1 v [x y z2, 2, 2] będą wektorami w 3. Wtedy
1 2 1 2 1 2
u vx x y y z z Wzór na iloczyn skalarny z definicji można zapisać w postaci
cos ( , ) u v u v u v
co pozwala na obliczanie kata między danymi wektorami.\
4 Przykład
Obliczyć iloczyn skalarny wektorów u [ 1, 2, 3], v [2,0, 1] oraz kąt między wektorami.
Fakt (Własności iloczynu skalarnego)
Niech u w v, , będą dowolnymi wektorami w 3 oraz niech
. Wtedy 1) u v v u;2) (u) v (v u);
3) u u u2;
4) (uw) v u vw v; 5) u v v u;
6) wektory u w i są prostopadłe u w0 Definicja (Orientacja trójki wektorów)
Niech u [ ,x y z1 1, ],1 w[x y z2, 2, 2],v [ ,x y z3 3, 3] będą wektorami w 3. Mówimy, że wektory , ,
u w v tworzą układ o orientacji zgodnej z orientacją układu współrzędnych, jeżeli:
1 1 1
2 2 2
3 3 3
0.
x y z x y z x y z
Definicja (Iloczyn wektorowy)
Niech u v i będą niewspółliniowymi wektorami w 3. Iloczynem wektorowym uporządkowanej pary wektorów u v i nazywamy wektor w, który spełnia warunki
1) jest prostopadły do płaszczyzny rozpiętej na wektorach u v i
2) jego długość jest równa polu równoległoboku rozpiętego na wektorach u v i , tj. równa sin ( , )
u v u v
3) orientacja trójki wektorów jest zgodna z orientacją układu współrzędnych OXYZ Iloczyn wektorowy pary wektorów u v i oznaczamy przez u v . Jeżeli wektory są współliniowe to przyjmujemy, że u v 0.
5 Fakt (wzór do obliczania iloczynu wektorowego)
Niech u[ ,x y z1 1, ],1 v [x y z2, 2, 2] będą wektorami w 3. Wtedy
1 1 1 1 1 1
1 1 1
2 2 2 2 2 2
2 2 2
, i j k
y z x z x y
u v x y z i j k
y z x z x y
x y z
gdzie i j k, , oznaczają wersory odpowiednio na osiach OX, OY, OZ.
Wzór na iloczyn wektorowy z definicji można zapisać w postaci sin ( , ) u v
u v u v
co pozwala na obliczanie kata między danymi wektorami.
Przykład
Obliczyć iloczyn wektorowy wektorów u [ 1, 2, 3], v [2,0, 3] . Fakt (własności iloczynu wektorowego)
Niech u v w, , będą dowolnymi wektorami w 3 oraz
. Wtedy 1) u v (v u);2) (u) v u (v)(u v );
3) (u v) w u w v w; 4) u (v w) u v u w; 5) u v u v ;
6 6) wektory u v i są równoległe u v 0;
Fakt (pole równoległoboku)
Pole równoległoboku rozpiętego na wektorach u v i wyraża się wzorem:
. S u v
Definicja (Iloczyn mieszany)
Niech u v w, , będą wektorami w 3. Iloczynem mieszanym uporządkowanej trójki wektorów , ,
u v w określamy wzorem:
( , ,u v w)(u v ) w
Fakt (objętość równoległościanu)
Iloczyn mieszany wektorów u v w, , jest równy objętości równoległościanu V rozpiętego na wektorach u v w, ,
( , , ) . V u v w
Fakt (wzór do obliczania iloczynu mieszanego)
Niech u [ ,x y z1 1, ],1 w[x y z2, 2, 2],v [ ,x y z3 3, 3] będą wektorami w 3. Wtedy
1 1 1
2 2 2
3 3 3
( , , ) .
x y z u v w x y z x y z
Przykład
Obliczyć objętość czworościanu rozpiętego na wierzchołkach (1,1,1), (1, 2,3), ( 1,1,0), (0,0,1).
P Q R S .
Fakt (własności iloczynu mieszanego)
7
Niech u v w, , będą dowolnymi wektorami w 3 oraz
. Wtedy 1) ( , ,u v w)( ,v w u, ); 2) ( , ,u v w) ( , ,v u w);3) (ur v w, , )( , ,u v w( , ,r v w)); 4) (
u v w, , )
( , ,u v w);5) Wektory u v w, , leżą w jednej półpłaszczyźnie ( , ,u v w)0;
6) ( , ,u v w) u v w;wektory u v i są równoległe u v 0;
