WYKTADM CATKARIEMANNA

WYKTADM

CATKARIEMANNA

CAEKARIEMANNA

1

.

[ ^a ,b]cR

odcinekzwarty

^{, f :[ e. b) → IR}

funky

^.e agranicsone

E-

flats

^{, ... .tn} } to=a<tz<ta< ^{. :<} th^. ,<tn=b ^{Ii -} [ _{t.rs ,}

t.it/Ii/-ti-ti

^.,

#

dziatodcinke

SUMA GJRNA _SUMADOLNA

54 ,I)=§hsuPfHlIil ftp.yef#fHlIilXeIi

_,I

)

⁼

_If

CATKARIEMANNA

1

.

[ ^a ,b]cR

odcinekzwarty

^{, f :[ e. b) → IR}

funky

^.e agranicsone

E-

flats

^{, ... .tn} } to=a<tz<ta< ^{. :<} th^. ,<tn=b ^{Ii -} [ _{t.rs ,}

t.it/Ii/-ti-ti

^.,

€

podziatodcinke

SUMA GJRNA SUMADOLNA

54 ,I)=§hsuPfHlIil ftp.yef#fHlIilXeIi

_,I

)

⁼

_If

CATKARIEMANNA

1

.

[ ^a ,b]cR ^odcinek

zwarty

^{, f :[ e. b) → IR}

funky

^.e agranicsone

E-

flats

^{, ... .tn} } to=a<tz<ta< ^{. :<} th^. ,<tn=b ^{Ii -} [ _{t.rs ,}

t.it/Ii/-ti-ti

^.,

€

podziatodcinke

SUMA GJRNA SUMADOLNA

54 ,I)=§hsuPfHlIil ftp.yef#fHlIilXeIi

_,I

)

⁼

_If

Funkgaf _jest

ognanicsoneilznxsupfjfxl

^, xinfoubfyxl

sgskomsone

^.

2

.

xeinfabgfk⁾

(

^{b - a) f}

5- (

fist

)

f 5

(

f ^,I

) t.sup.by# ⁽

^{b -}

^a)

odwsorowanie IN §

(

^{f. I}

⁾

, IN

5(

^{f. I} ) sg ognanicsome^{. Istniejg wigc}

steps ⁽

^fit

)=a§pt ^int

⁵

^{( fat )}

⁼

ff

^[aib]

CATKA DOLNA CATKA GJRNA

DEFINICIA ^:

Mswimy

^{, Ze}

^f

jest ^{catkowalne w sensie Riemanne me [ a , b]}

jes.li

[ ^a

,§,f II. ftp.wspolmewartos.ionaosamy.of.f

Funkqief _jest

ognanicsone

^,

tznxsupfsfxl

^, xinfoubfyxl

sgskomosone

^.

2

.

xeinfabgfk⁾

(

^{b - a) f}

5- (

fist

)

f 5

(

f ^,I

) t.sup.by# ⁽

^{b -}

^a)

odwsorowanie IN §

(

^{f. I}

⁾

, IN

5(

^{f. I} ) sg ognanicsome^{. Istniejg wigc}

steps ⁽

^fit

)=a§nt ^int

⁵

^{( fist )}

⁼

ff

^[aib]

CATKA DOLNA CATKA GJRNA

DEFINICIA ^:

Mswimy

^{, Ze}

^f

jest ^{catkowalne w sensie Riemanne me [ a , b]}

jes.li

[ ^a

,§,f II. ftp.wspolmewartos.ionaosamy.of.f

Cookie

sdefimiowame

mozme is'd

spot

^{. . .}

3

Fa@oEiaenssn-oIIieoIIiIIeOopisaiRCLa.b

]

)

t@3EakafgyfeaB5nIEejYroBiifaikimteutasiiweTwtpfENmosaajfaAd2biezho.s

'c

Cotti ^a parametrem

Gatto

^{w R "}

:

ZADANIE ^: KORZYSTAJA ^{, C 2} DEMNICJI ^{POLICZYC '}

ofyf

[ ^{f(X )=X2}

⁴

^.

In ^- { ant ,÷ ^{, ... ,} ¥ ^{, 1}

]

Ethan )=Ifl¥tf= ^{f. Ehn}

^{. . ii.}

=tF(

^{1+22+3't . .. + (n . D'}

⁾

5.CL#n)=i&fzf=nt.Izi==n1lr+Et...+n2)5(f,Jn)-S(fIn)=fwiaolomo.2eVTSCfI)fffffff5(

f. ^I

) Ustalmye

^{> o . Wiadomo , Ze isthieje n :}

f-

^{< E} , satem

5_fjestwigc(f. In ) ^- £ (fs

E)

^{( E} ,

wsatymidzie ¥

^.

^§f<

^{E . Zdowoluisa . E}

^If

^.'

^Jf

caitowalne

¥E%nt

Enlighten

's nathan _=÷⇒ ⁵

To mozme wyprowadzid ^!

¥gi3= ^{0+1+2 >+ ...+ n3 = a B. A = ( ntnp}

"

End.ntn¥i+i+ ^{. ...}

think

_Be

Ig

^Cink

itntifflitnititnli

⁽

.i=¥f[

^{+ iy=Z(}

itzitttititiy

?Eni2t3Enoit¥e

^(ht

.nP=m3+3n2+3n+1/= ^{3¥ .it}

^,

^#

^3%2= ^{, it h}

3£i2 ⁼

m3t3n2+3n

^{- z}

NHI

^{- m} 6§i2=2n46n2t6n ^{- 3h' - 3h}

-2N

⁼

= 2h43 m 't n = m 12h't 3h + ⁼ m (2h+ 1.) ^ht't(

1)

TWIERDZENIE

f

gest catkowaluie me [ ^a _,b]

wtedy

ⁱ

tylko wtedy

gdy ^the

dowolnego

^{e > 0}

^istnieje

^{I tokie , ze 5 Cfist) - 5-}

(

^{f. I}

)

^{< c .}

DEFINKJA ^Podziat _g

jest

drobniejszy ^{miz I} jes.li _Tag

6

a tr +2 +3 ⁺ _a +5 to ^b

gt

^{Rdaqa "}

bycie drobniejszym

^"

jest

^{kgslio -}

wym

pongdkiem

^{w sbione}

podziouov

^,

esssz S Suss so 578 59 ^b

ton jest

antysymetryosne

^I pmechodnill

D he

Kazdych duschpoobiatoir

^{I i I '}

_istnieje

g

piznigszymiz

^{Ii I !} Wystowosy

w2lgi

_g= ^{JTUJ '}

STWIERDZENIE ^: fes.li g

drobniejszy

^{miz I sachodzi}

§ (f. IKE

( fig

^{) {}

^5C

^{f g) f 5 (f. I}

⁾

Dow 'oD

asywisty

^.

WNIOSKI Kazda ^Suma

dolmejestniewigkneod ^twitdq

^{. sunny}

^going

^{. Wobeutego}

wake dolua jest miewigkne ^od

caikigorncj

^.

DOWBDTWIERDZENIA

Lesli

^f catkowalnie me [ ^a ,b] ^to

ff=[f

^.

Ustodmye

^{> 0}

2

definiig

^{sup FT :}

If

^{- 5- ( f. I ) <} %

podobnie

^{FI ' 5(} f. ^{I '}) ^-

Jf

^< 42

Take same nieriwnosa ^. sadiodpdhe

g=IuI

^{' . Wteoly 5 (fig ) - § (f. g)}

<%+%=E

^.

W

drugq strong

^dowiol

osywisty

^,

wyuike

^{2 I}

⁽

^f

,I)fff

^f

^{Jf f5(f}

^,I

⁾

^{. a}

JAKIE FUNKCJE ^SA , CATKOWALNE ?

R(

^{[ a ,b ]}

) 7

the ^{wuikowalne wsensie}

Riemann ^a me [ a.^ib]

STWIERDZENIEI

.

R(

^{Ee ,b]}

)

^jest padpmeslmeniq wektorowq Map (^{Ee ,b]} , R) ^{. Caitie Riemann a}

jest funkyionatem

limiowym

^{me 1 ( Ee ,b]}

)

DOWOD^: _Nieh

f.ge

^{R( Ee ,b]}

)

, XEIR _, X ^{> 0} 5- (Xf_, ^I

)=X§(

^{f. I )} ,

5(xf,I)=

=X5( _fist) wynikeatego ^{, ze}

1 ^Xf

⁼

Xff

ⁱ

Jxf

^-

^XJF

^{. Jes.li wise}

ferka

^,bD

to

fXf=iff=XJf=Tnf

^wise

fH=jH

⁼

fxf

^{ton ( Xf )ER([ aid ) . i}

|Xf=Xff

^. Gay ^{X< 0} many ⁵ ( _if

,I)=X{ (

f ^{, it) oraz § ( H ,I ) =}

x5(

f. ^I ) _, dalg^.

{ Xf=XJf

^,

Jxf

^.

xff

^{... dodq. ocsywiste.}

5(

ftg

,I)=§s¥p( ^IIIIE

^f+g)

s±p(gDIIil= ^§§±u,pl

^{f) + 5C f. I )+5( g. I )}

5-(

fly

^{,I ) =}

if ,f( in

^{fty) II. 1 3}

^{§(ih¥( tlnffg}

^{f) )}

⁾

^{Kit = S (fist ) + S ( g. I )}

5- (_f. ^I )t 5- _(g # ^{s §} ( fig ^{,I ) f} 5( ftg ,I ) ^E 5C _f.

5)

^{+ 5(} g. ^I )

5- (^f

,I)tS(g#)<

^{§ (} fig

,I)f5(

ftg ^{,I ) E 5C f.}

5)

^{+ 5(} g. ^I )

8

Weoimy ^{I :}

54

,I ) ^- 5- (f ,I)< 42 ⁱ 51g ,I ) ^- I (_g.5) ⁽

%

_wteoly

5C ftg ,I ) ^{- 5-}

(

ftg ^,I ) ^{< E ⇒}

ftgER(

^{The ,b ]}

⁾

Dalai

.

P

iedydg #

,

ft

,5HiI

^{) ⇒}

jf-S(f,I)<%Jg-S(g,I)<%- ^SHIT

54.IT/fc%5Cg.I).Jc9Htg)f5(f+g,I)f5(f,sT)+5(g.I)cff+fgtE/gqgygq,.g..gq.y..gg..yygg..gg.

.

µ

fftfg

^{- E (}

^fftg

⁽

fftfgte

I

Ifftg

^-

^)|<

⁽

^fetfg

^{e ⇒}

fftgefftfg

_a

¥f( Mnimni )lIil< Ifaeltilcecb

^{. a)}

10 8¥

,

IIH ^Mi

f

^. misc

^{- [§jl}

^{Midheieb- mi )lIil< → 5( f.}

SE→lIil

^{I ) - 5- (<f 82,I)< 82}

If

^{IIII < S .}

#

5CFof , 5) 5- ( ^Fof

,I)=[f2(

M~i-m~DII.lt#g(M~imT)lIilfECb

E ( ^{b -} e) ^{+ 2KE= e}

(

^{( b - a) + zk}

⁾

^{- a) + 2168 <}

Fofjestwiscwukowelna.onSTWlERD2EN1E3filR-slRfCxtXfjestwEkowalhdwaKaZolymodcinknEe.bTDow0DUstolmyLa.bTiwezmyIn-podziouLa.bTmenro.wnymcsgs.cito-aitz-atbfe1.i.itn-b5Cf.ItSCf.tI@Ktilb-4-la1tkfnlbID.t

, .IE f.

^{( b . a)}

=ffb

^{- a)}

He > 02h ^:

4¥

^{( {}

ON

WNIOSKI

^:

11

( i ⁾ 2 STWZ ^{I STW 3}

wynikd

^{, Ze}

^funky

^.e apgfe sg ^{witkowolne :}

F ⁼ Foid

I Kwuikowalue

cigofe

(ⁱⁿⁱ)

jes.li

^f.

gwukowalne

^to

^f.

g ^{caikowalne :}

ftgi ^f-

g sq ^wiikowalne

2 STWL

, X 1- > ×2

jest cigope

^,

owdej

^{2 STW I i STWZ :}

fg= ^{4- (}

⁽

^ftg

^{) ' - ( f .}

^{g) 2)}

( iii ) ^{× it IH} jest cigofa ^{, sateen}

jes.li

^{f caitowalme , to lfl} wuikowalnue

Porownujgc odpowieoluiesumytodwostwierobid

^{. Ze jes.li}

ffg

^to

§µyf _t.f.bg

satan takze

^Jlfl fff

^{, wiaolomo tez , Ze}

ft=fff){ flfl

satem ^{I[ a}

ffl

^{,b] [ a}

^flfl

,b]

c-

STWIERDZENIE 4

fER(

^{[ a}

^,bD

^{CE ]e,b[ .}

_Wteoly ftp..ge#Le,cD if/[gb]ER([cibD

^{. Ponaolto}

tabsttaotttant 12

DOWSD ^:

feR([a

^,b]

⁾

^{⇒ FI :}

^5C f.

^{I ) -}

Eff

^,I

)

^{( E}

to ts tz tm tm _# th ^., th

1 1 1 1 1 1 1 I ¹

a C b

Niech Io=Ju{ ^c} ^{. Wowcsas To} jest

drobniejszyniz

^{I I sachoobi}

54,5

) ^-

Effiso ⁾

^{( E}

yIs={

a ,ts , ^... ,tm ,c

} ^Ia={

^{citmti ... , b}

}

S (f ,I)=

Scfistdtslf

,ID

pookiou Ee ,c] ^( _{poobiat [}

ci b)

e >

5HIHH.IT#fI+5HIK3HIICfEI

E >

5(fiJ)IC

_f.

₅₎ =5(f,IDt5(f,I ⁾

^{- §}

⁽

f.

a)

z

(

fyq ) 5( fists) ^-

SCFI

,

)<

^E

⇒ ⁵⁽

^f.

^E)

^{- 5-}

⁽

^f

^,Jz)<

^E

fka.ge#Ee.y ^{) f}

fan

^,

^'cR(

^{T b.}

^{g) 1} }

RBWNOSC^' CAEEK ^:

Ustalmye

^{> 0}

we

'zmy

^{Is .is :}

5ft

_.

,aiJs)f[

¥+42 ⁵⁽

ftp.BD#ntt%dbeI=sIuIy:5CfI)=5(fra.gMD+5(fE,b,.Idff.yf+f.yf+E

(^{* )}

istniejetezg

^{: 5( f. F)}

ftp.t

_, ^{+ E ( * * ) dhe}

utdvobniejszegood Fig

sachoobg ^{Obie hierownosa .} 5(f

,w

_,

⁾

^{- E}

,f,w)

^5C

tent tiled ,f

,

# ^{at lfabst}

^-

^{( daottafst}

)/<

E