WYKTADM
CATKARIEMANNA
CAEKARIEMANNA
1
.[ a ,b]cR
odcinekzwarty
, f :[ e. b) → IRfunky
.e agranicsoneE-
flats
, ... .tn } to=a<tz<ta< . :< th. ,<tn=b Ii - [ t.rs ,t.it/Ii/-ti-ti
.,#
dziatodcinkeSUMA GJRNA SUMADOLNA
54 ,I)=§hsuPfHlIil ftp.yef#fHlIilXeIi
,I)
=If
CATKARIEMANNA
1
.[ a ,b]cR
odcinekzwarty
, f :[ e. b) → IRfunky
.e agranicsoneE-
flats
, ... .tn } to=a<tz<ta< . :< th. ,<tn=b Ii - [ t.rs ,t.it/Ii/-ti-ti
.,€
podziatodcinkeSUMA GJRNA SUMADOLNA
54 ,I)=§hsuPfHlIil ftp.yef#fHlIilXeIi
,I)
=If
CATKARIEMANNA
1
.[ a ,b]cR odcinek
zwarty
, f :[ e. b) → IRfunky
.e agranicsoneE-
flats
, ... .tn } to=a<tz<ta< . :< th. ,<tn=b Ii - [ t.rs ,t.it/Ii/-ti-ti
.,€
podziatodcinkeSUMA GJRNA SUMADOLNA
54 ,I)=§hsuPfHlIil ftp.yef#fHlIilXeIi
,I)
=If
Funkgaf jest
ognanicsoneilznxsupfjfxl
, xinfoubfyxlsgskomsone
.2
.xeinfabgfk)
(
b - a) f5- (
fist)
f 5(
f ,I) t.sup.by# (
b -a)
odwsorowanie IN §
(
f. I)
, IN5(
f. I ) sg ognanicsome. Istniejg wigcsteps (
fit)=a§pt int
5( fat )
=ff
[aib]CATKA DOLNA CATKA GJRNA
DEFINICIA :
Mswimy
, Zef
jest catkowalne w sensie Riemanne me [ a , b]jes.li
[ a
,§,f II. ftp.wspolmewartos.ionaosamy.of.f
Funkqief jest
ognanicsone
,tznxsupfsfxl
, xinfoubfyxlsgskomosone
.2
.xeinfabgfk)
(
b - a) f5- (
fist)
f 5(
f ,I) t.sup.by# (
b -a)
odwsorowanie IN §
(
f. I)
, IN5(
f. I ) sg ognanicsome. Istniejg wigcsteps (
fit)=a§nt int
5( fist )
=ff
[aib]CATKA DOLNA CATKA GJRNA
DEFINICIA :
Mswimy
, Zef
jest catkowalne w sensie Riemanne me [ a , b]jes.li
[ a
,§,f II. ftp.wspolmewartos.ionaosamy.of.f
Cookie
sdefimiowame
mozme is'd
spot
. . .3
Fa@oEiaenssn-oIIieoIIiIIeOopisaiRCLa.b
]
)
t@3EakafgyfeaB5nIEejYroBiifaikimteutasiiweTwtpfENmosaajfaAd2biezho.s
'c
Cotti a parametrem
Gatto
w R ":
ZADANIE : KORZYSTAJA , C 2 DEMNICJI POLICZYC '
ofyf
[ f(X )=X24
.In - { ant ,÷ , ... , ¥ , 1
]
Ethan )=Ifl¥tf= f. Ehn
. . ii.=tF(
1+22+3't . .. + (n . D')
5.CL#n)=i&fzf=nt.Izi==n1lr+Et...+n2)5(f,Jn)-S(fIn)=fwiaolomo.2eVTSCfI)fffffff5(
f. I
) Ustalmye
> o . Wiadomo , Ze isthieje n :f-
< E , satem5fjestwigc(f. In ) - £ (fs
E)
( E ,wsatymidzie ¥
.§f<
E . Zdowoluisa . EIf
.'Jf
caitowalne
¥E%nt
Enlighten
's nathan =÷⇒ 5
To mozme wyprowadzid !
¥gi3= 0+1+2 >+ ...+ n3 = a B. A = ( ntnp
"
End.ntn¥i+i+ . ...
think
BeIg
Cinkitntifflitnititnli
(.i=¥f[
+ iy=Z(itzitttititiy
?Eni2t3Enoit¥e
(ht.nP=m3+3n2+3n+1/= 3¥ .it
,#
3%2= , it h3£i2 =
m3t3n2+3n
- zNHI
- m 6§i2=2n46n2t6n - 3h' - 3h-2N
== 2h43 m 't n = m 12h't 3h + = m (2h+ 1.) ht't(
1)
TWIERDZENIE
f
gest catkowaluie me [ a ,b]wtedy
itylko wtedy
gdy thedowolnego
e > 0istnieje
I tokie , ze 5 Cfist) - 5-(
f. I)
< c .DEFINKJA Podziat g
jest
drobniejszy miz I jes.li Tag6
a tr +2 +3 + a +5 to b
gt
Rdaqa "bycie drobniejszym
"jest
kgslio -wym
pongdkiem
w sbionepodziouov
,esssz S Suss so 578 59 b
ton jest
antysymetryosne
I pmechodnillD he
Kazdych duschpoobiatoir
I i I 'istnieje
gpiznigszymiz
Ii I ! Wystowosyw2lgi
g= JTUJ 'STWIERDZENIE : fes.li g
drobniejszy
miz I sachodzi§ (f. IKE
( fig
) {5C
f g) f 5 (f. I)
Dow 'oD
asywisty
.WNIOSKI Kazda Suma
dolmejestniewigkneod twitdq
. sunnygoing
. Wobeutegowake dolua jest miewigkne od
caikigorncj
.DOWBDTWIERDZENIA
Lesli
f catkowalnie me [ a ,b] toff=[f
.Ustodmye
> 02
definiig
sup FT :If
- 5- ( f. I ) < %podobnie
FI ' 5( f. I ') -Jf
< 42Take same nieriwnosa . sadiodpdhe
g=IuI
' . Wteoly 5 (fig ) - § (f. g)<%+%=E
.W
drugq strong
dowiolosywisty
,wyuike
2 I(
f,I)fff
fJf f5(f
,I)
. aJAKIE FUNKCJE SA , CATKOWALNE ?
R(
[ a ,b ]) 7
the wuikowalne wsensie
Riemann a me [ a.ib]
STWIERDZENIEI
.
R(
Ee ,b])
jest padpmeslmeniq wektorowq Map (Ee ,b] , R) . Caitie Riemann ajest funkyionatem
limiowym
me 1 ( Ee ,b])
DOWOD: Nieh
f.ge
R( Ee ,b])
, XEIR , X > 0 5- (Xf, I)=X§(
f. I ) ,5(xf,I)=
=X5( fist) wynikeatego , ze
1 Xf
=Xff
iJxf
-XJF
. Jes.li wiseferka
,bDto
fXf=iff=XJf=Tnf
wisefH=jH
=fxf
ton ( Xf )ER([ aid ) . i|Xf=Xff
. Gay X< 0 many 5 ( if,I)=X{ (
f , it) oraz § ( H ,I ) =x5(
f. I ) , dalg.{ Xf=XJf
,Jxf
.xff
... dodq. ocsywiste.5(
ftg
,I)=§s¥p( IIIIE
f+g)s±p(gDIIil= §§±u,pl
f) + 5C f. I )+5( g. I )5-(
fly
,I ) =if ,f( in
fty) II. 1 3§(ih¥( tlnffg
f) ))
Kit = S (fist ) + S ( g. I )5- (f. I )t 5- (g # s § ( fig ,I ) f 5( ftg ,I ) E 5C f.
5)
+ 5( g. I )5- (f
,I)tS(g#)<
§ ( fig,I)f5(
ftg ,I ) E 5C f.5)
+ 5( g. I )8
Weoimy I :
54
,I ) - 5- (f ,I)< 42 i 51g ,I ) - I (g.5) (%
wteoly5C ftg ,I ) - 5-
(
ftg ,I ) < E ⇒ftgER(
The ,b ])
Dalai
.
P
iedydg #
,
ft
,5HiI
) ⇒jf-S(f,I)<%Jg-S(g,I)<%- SHIT
54.IT/fc%5Cg.I).Jc9Htg)f5(f+g,I)f5(f,sT)+5(g.I)cff+fgtE/gqgygq,.g..gq.y..gg..yygg..gg.
.
µ
fftfg
- E (fftg
(fftfgte
I
Ifftg
-)|<
(fetfg
e ⇒fftgefftfg
a¥f( Mnimni )lIil< Ifaeltilcecb
. a)10 8¥
,IIH Mi
f
. misc- [§jl
Midheieb- mi )lIil< → 5( f.SE→lIil
I ) - 5- (<f 82,I)< 82If
IIII < S .#
5CFof , 5) 5- ( Fof
,I)=[f2(
M~i-m~DII.lt#g(M~imT)lIilfECb
E ( b - e) + 2KE= e(
( b - a) + zk)
- a) + 2168 <Fofjestwiscwukowelna.onSTWlERD2EN1E3filR-slRfCxtXfjestwEkowalhdwaKaZolymodcinknEe.bTDow0DUstolmyLa.bTiwezmyIn-podziouLa.bTmenro.wnymcsgs.cito-aitz-atbfe1.i.itn-b5Cf.ItSCf.tI@Ktilb-4-la1tkfnlbID.t
, .IE f.
( b . a)=ffb
- a)He > 02h :
4¥
( {ON
WNIOSKI
:11
( i ) 2 STWZ I STW 3
wynikd
, Zefunky
.e apgfe sg witkowolne :F = Foid
I Kwuikowalue
cigofe
(ini)
jes.li
f.gwukowalne
tof.
g caikowalne :ftgi f-
g sq wiikowalne2 STWL
, X 1- > ×2
jest cigope
,owdej
2 STW I i STWZ :fg= 4- (
(ftg
) ' - ( f .g) 2)
( iii ) × it IH jest cigofa , sateen
jes.li
f caitowalme , to lfl wuikowalnuePorownujgc odpowieoluiesumytodwostwierobid
. Ze jes.liffg
to§µyf t.f.bg
satan takze
Jlfl fff, wiaolomo tez , Ze
ft=fff){ flfl
satem I[ a
ffl
,b] [ aflfl
,b]c-
STWIERDZENIE 4
fER(
[ a,bD
CE ]e,b[ .Wteoly ftp..ge#Le,cD if/[gb]ER([cibD
. Ponaoltotabsttaotttant 12
DOWSD :
feR([a
,b])
⇒ FI :5C f.
I ) -Eff
,I)
( Eto ts tz tm tm # th ., th
1 1 1 1 1 1 1 I 1
a C b
Niech Io=Ju{ c} . Wowcsas To jest
drobniejszyniz
I I sachoobi54,5
) -
Effiso )
( EyIs={
a ,ts , ... ,tm ,c
} Ia={
citmti ... , b}
S (f ,I)=Scfistdtslf
,IDpookiou Ee ,c] ^( poobiat [
ci b)
e >
5HIHH.IT#fI+5HIK3HIICfEI
E >
5(fiJ)IC
f.5) =5(f,IDt5(f,I )
- §(
f.a)
z(
fyq ) 5( fists) -SCFI
,)<
E⇒ 5(
f.E)
- 5-(
f,Jz)<
Efka.ge#Ee.y ) f
fan
,'cR(
T b.g) 1 }
RBWNOSC' CAEEK :
Ustalmye
> 0we
'zmy
Is .is :5ft
.,aiJs)f[
¥+42 5(
ftp.BD#ntt%dbeI=sIuIy:5CfI)=5(fra.gMD+5(fE,b,.Idff.yf+f.yf+E
(* )
istniejetezg
: 5( f. F)ftp.t
, + E ( * * ) dheutdvobniejszegood Fig
sachoobg Obie hierownosa . 5(f,w
,)
- E,f,w)
5Ctent tiled ,f
,# at lfabst
-( daottafst
)/<
E
TWIERDZENIECOWARTO
's
ClSREDNIEJ
)fig -CR(
Ea , b ]) 970
ISTNIEJE CER TAKE , ZE14
ciaifsfsc
'f-
itfg
-cfg
Dow '0D : m -
Ihnafyyf ,
M=¥,pbf
mffcxkmgcxlffcx ME )gGkMgE
)bog ZO
M¥9
, '.io?.,t9tMfa.n9/tais9IacooesciS..g=o
?
M f
( ¥yg9 ]
yyfg f M WTEDY g=o ,Jfg=o
i c DOWOLNE !Eoyb]
-
←
f¥m9¥µt9
⇒dainty
-¥
.}
WNIOSKI : G) JES'Ll f CIA, GTA , TO FEE Eoyb] : f (5) = C
[a
,§yfg=
FCS)EoybJ g]15
(2) f- CIA ,GtA , gcx )=1 :
I
f = FCS) ( b - a)LQ, b ]
TWIERDZENIE : PODSTAWOWE R. R. i C.
JES'Ll f TEST CIA, GTA NA Ea , b] TO FE )= J f TEST R'OZNICZKOWALNA I
Ea ,x ]
F' G) =f DLA XE Ta , BE
DOW "OD : h > O Tw. OWARTOSCI I RED NIE]
FIFA
'm -F⇐D=H¥*f
,-1*51=74×+7
,
!
th
" 'th
T Scu) E [ xcxth ]
Fath ) - FG ) Sch) → x DLA h -70
him T = Limo f Cscw
)
- ff )h -30
PODOBNIE DLA h SO
WNIOSEK : JES' Li G JEST FUNKCJA, PIERWOTNA
,
DLA CIAGEEJ
FUNKCJI
fTo
¥b,f
= Gcb ) - Gla )If
DOW 'OD : 2 P.T.R.R.ie . WIADOMO
, ZE FG )=
)
f TEST FUNKCJA ,PIERWOTNA
, , 2. AT EM Foix ]
GG ) = FG ) t JC
GG
) = EaIf
,x ] t cSTATA
X=a : Gca )= C
x=b :
GC
b) =Sf
to[ a ,b ]