GAL (I INF) Zadania domowe 6
6.1 Dla macierzy
A =
7 −8 3 −4
∈ R2,2
znajd´z (je´sli istnieje) macierz nieosobliwa C ∈ R, 2,2 taka, ˙ze C, −1AC jest diagonalna.
6.2 Wyka˙z, ˙ze macierz
5 4 −4 1 2 −1 3 4 −2
∈ R3,3 nie jest diagonalizowalna.
6.3 Oblicz Andla macierzy
A =
4 3 8 −1
∈ R2,2. 6.4 Wyznacz warto´sci w lasne i wektory w lasne endomorfizm´ow:
(a) fa([x1, x2]T) = [x1+ 5x2, x1+ 5x2]T, (b) fb([x1, x2]T) = [3x1− 9x2, x1− 3x2]T,
(c) fc([x1, x2]T) = [7x1− x2, 9x1+ x2]T.
6.5 Wyka˙z, ˙ze endomorfizm jest r´o˙znowarto´sciowy wtedy i tylko wtedy gdy zero nie jest jego warto´scia w lasn, a.,
6.6 Oblicz
3 2 −1 1 4 −1 4 8 −2
n
.
6.7 Wyka˙z, ˙ze dla ˙zadnego a ∈ C nie istnieje macierz diagonalna podobna do macierzy A =
a 1 0 a
∈ R2,2.
6.8 Znajd´z baze Jordana i macierz w tej bazie dla endomorfizmu,
(a) fa([x1, x2, x3, x4, x5]T) = [7x1, x1+ 6x2− x3, x2+ 8x3, x1+ 8x4+ x5, −x1− x4+ 6x5]T, (b) fb([x1, x2, x3, x4, x5]T) = [4x1, x2, x3, x4− x1+ x3+ x5]T.
6.9 Znajd´z posta´c Jordana B macierzy
A =
1 1 0 0
−2 1 1 −1
4 6 −1 4
4 4 −2 5
∈ C4,4,
oraz macierz nieosobliwa C tak, a, ˙ze B = C, −1AC.
6.10 Wyka˙z, ˙ze w rzeczywistej przestrzeni Euklidesowej r´owno´s´c kuk = kvk zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy u ⊥ v.
6.11 Niech podprzestrze´n V ⊂ R4 bedzie zdefiniowana jako,
V = {~x = [x1.x2.x3.x4]T ∈ R4 : x1+ x2− x3+ x4 = x1− x2+ x3− x4 = 0}.
Znajd´z baze podprzestrzeni V, ⊥.
1
6.12 Znajd´z rzut ortogonalny wektora [5, 7, 4, −4]T na podprzestrze´n
span
1
−1 1
−1
,
7
−5 5
−7
,
−3 1 1 1
.
6.13 W przestrzeni R4 ze standardowym iloczynem skalarnym, znajd´z macierz rzutu ortogonal- nego na podprzestrze´n
V = {[x1, x2, x3, x4]T : x1+ x2− x3+ 2x4 = 0}, w bazie wersorowej (~e1, ~e2, ~e3, ~e4).
6.14 W R3, znajd´z wz´or na odbicie symetryczne wzgledem p laszczyzny wyznaczonej r´, ownaniem x1+ x2+ x3= 0.
