Unterrichtsblätter für Mathematik und Naturwissenschaften, Jg. 17, No. 2

J a h rg an g X V II.

U nterricMtsblätter

1911. No. 2

^.

f ü r

Mathematik und Naturwissenschaften.

Organ des Vereins zur Förderung des mathematischen und naturwissenschaftlichen Unterrichts.

B egründet u nter M itw irkung von B ernhard S ch w a lb e und F ried rich P ietzk er,

von diesem geleitet bis 1909, zurzeit herausgegeben von

Prof. Dr. A . Thaer,

D ire k to r d e r O berrealscliule vo r dem H o lste n to re in H am burg V e r l a g v o n O t t o S a l l e i n B e r l i n W . 5 7 . Redaktion: A lle f ü r die R e d a k tio n bestim m ten M itteilu n g en und

S en d u n g en w erden n u r a n d ie A dresse des D ir. T h a e r , H a m b u rg 36, erb eten .

Verein : A n m eld u n g en und B e itra g s z a h lu n g e n fü r den V erein (5 Mk. Ja h re s b e itra g ) sind a n den S ch atzm eiste r, P rofessor P r e s l e r in H an n o v er, K ö n ig sw o rth erstraß e 17, zu rich ten .

Verlag: D er B e z u g s p r e i s f ür den J a h rg a n g v o n 8 N um m ern ist -1 M ark, fü r einzelne N um m ern 60 P f. Die V ereinsm it­

g lie d e re rh a lte n die Z e itsc h rift u n e n tg e ltlic h ; frü h e re J a h r ­ gän g e sind durch den V erlag bez. ein eB u clih d lg , zu beziehen.

A n z e i g e n ko sten 25P f. fü r die3-gesp. N o n p a r.-Z e ile ; bei A ufgabe h a lb e r od. g a n z e r Seiten, sow ie bei W ied erh o lu n g en E rm äß ig u n g . — B e ilag e g eb ü h reu nach U eb erein k u n ft.

N ach d ru ck d er e in zeln en A rtik e l ist, w enn ü b e rh a u p t n ic h t besonders ausgenom m en, n u r m it g e n a u e r A ngabe der Q uelle und m it d er V erp flich tu n g d er E in se n d u n g eines B elegexem plars an den V erlag g e s ta tte t.

I n h a l t : V ereins-N achrichten (S. 21). — U eber neuere G eom etrie. Von P ro f. A. S c l i ü l k e in K önigsberg i. P r.

( S ..2 2 ).'—- Die geom etrische B edeutung der A usdrücke <p{p',y)— | j -f- —■1 und (p (.c, y, ~ ) —

| j 4" |-j"J 4 “ J — D V on W. R o t t s i e p e r in G üttingen (S. 2-1). — T angenten- und Achsen- ko n struktioneu fü r E llipse u nd H yperbel m it H ilfe von B ren n p u n k t und L eitgerade. Von P rof.

M. W a c k e r in K arlsru h e und O berlehrer M o u d o n in K assel (S. 28). — B erich t üb er das P reisaus­

schreiben (1910, S. 90). V on P . v. S c h a e w e n in N aum burg a. S. (S. 31). — D irektor W . Gerckcn f (S. 32). — K leinere M itteilungen [Beweis eines stereom etrischen Satzes. Von L u d w i g B a i s e r in D arm stad t. — Die K ugelgeom etrie iu k o n stru k tiv er B ehandlung (N achtrag). Von L u d w i g B a i s e r in D arm stad t. — M athem atische U n tersuchung üb er die scheinbare H eb u n g eines u n te r W asser befind­

lichen P u n k tes. V on D r. W . J a e e k e l in Oblau. — Die Bestim m ung der F ehlergrenzen d er durch fo rtgesetztes R adizieren erhaltenen N äherungsw erte von .-r. Von H . B ö n k e in R einickendorf] (S. 32).

— L eh rm ittel-B esp rech u n g en (S. 35). — B ücherbespreehungen (S. 36). — A nzeigen.

V e rein s - N ach rich ten .

F ü r die XX. Hauptversam mlung in Münster i. W . vom 5. bis 8. Jun i sind folgende Vor­

träge in A ussicht gestellt:

Prof. Dr. B e c h e r , Raum und K ausalität.

Prof. Dr. D e h n , Ueber Inhaltslehre.

Prof. Dr. G e b h a r d t , Sichtbarm achung von Schallwellen nach Toeplers Schlierenmethode.

Prof. Dr. v. H a n s t e i n , Behandlung des Planktons im biologischen Unterricht.

Geh. R at Prof. Dr. K l e i n , Ueber die A rbeiten der Internationalen mathematischen U nter­

richtskommission und des Deutschen Ausschusses m it besonderer Berücksichtigung der Lehrervorbildungsfrage.

Prof. Dr. K o n e n , Ueber einige Probleme und Ergebnisse der Spektroskopie (mit Versuchen).

Prof. Dr. v. L i l i e n t h a l , Berücksichtigung der politischen A rithm etik im U nterricht.

Prof. Dr. P I a ß m a n n , Der heutige Stand der Lehre vom Lichtwechsel der Fixsterne.

Prof. Dr. R o s e m a n n , Versuche über Biologie, die sich für den U nterricht eignen.

Oberl. S c h m e l z e r , Ueber Busmanns Kegelschnittszirkel.

Prof. W alter S c h m i d t - D ü r e n , Vertiefung oder sogenannte allgemeine Bildung?

Prof. Dr. S te r n p e l l , Ueber die Verwendung m ikrophotographischer Lichtbilder beim

•naturwissenschaftlichen Unterricht.

Prof. Dr. T h i e l , Illustrationsversuche zur chemischen Mechanik.

A ußer einer B esichtigung der Stadt Münster am N achm ittag des 7. Juni sind für den

S.

Ju n i ein geognostischer Ausflug nach Qsnabrück und gleichzeitig ein Ausflug nach dem Schiffshebewerk in Henrichenberg ~ in Verbindung m it der Besichtigung industrieller W erke in Recklinghausen und Bochum in Aussicht genommen.

Die M itteilung der endgültigen Tagesordnung findet in der nächsten Nummer des B lattes statt. Anmeldungen von V orträgen und Anfragen b itte t man an einen der Unterzeichneten zu richten.

Geh. Reg.-Rat Prof. Dr. K i l l i n g , Dir. Dr. A . T h a e r ,

V orsitzender des Ortsausschusses. z. Z. V orsitzender des V ereins.

S. 22 U

N T 1 5R R IC H T S B L Ä T T E R .

Jahrg . XVII. No. 2.

U eb er n eu ere G eom etrie.

V o rtrag , gehalten auf der H auptversam m lung in Posen.

V on P rof. A. S c h ü l k e (K önigsberg i. Pr.)

Bei den E rörterungen über die Reform des m athem atischen U nterrichts hat man bisweilen behauptet: die Schule halte mit der wissen­

schaftlichen Entw ickelung nicht gleichen Schritt.

Andererseits hat man diesen Vorwurf zurück- gewiesen und gesagt: die Schule berücksichtigt auch die neuesten Errungenschaften der W issen­

schaft, wenn sie für den U nterricht geeignet sind. W ahrscheinlich haben hier — wie so häufig — beide Teile Recht. Denn tatsächlich sind manche verhältnism äßig neuen Dinge in den Un terrich t eingedrungen, P e u e r b a c h scher Kreis, Nichteuklidische G eorhetrie, Geometrographie usw. Aber Perspektive Zeichnungen, die schon H u b e r t v o m E y c k ( f l 4 2 6 ) kannte, und über die A l b r e c h t D ü r e r 1525 die „Underweysung der Messung m it Zirkel und R ichtscheit“ ver­

faßte, können unsere Schüler gewöhnlich nicht ausführen, und projektive B etrachtungen findet man in Schulbüchern n u r spärlich, obwohl dies das w esentlichste Kennzeichen der neueren Geometrie ist, und obwohl C a y l e y schon 1859 sagte:

Projective geom etry is all geometry.

W ir haben nämlich als Erbteil E u k l i d s über­

nommen, daß die Planim etrie als Selbstzweck übermäßig ausgedehnt wird und daß daher für die Raum lehre und das dam it zusammenhängende Zeichnen viel zu wenig Zeit übrig bleibt. W ir sind aber keine H e l mh o l t z s c h e n Flächenwesen, sondern w ir leben im Raum, daher ist offenbar die Raumlehre die Hauptsache, und die Planim etrie hat nur soweit Berechtigung, als sie uns die notwendigen Hilfssätze liefert. Auch gibt die Euklidische Geometrie, nachdem Kongruenz, Flächeninhalt, Aehnlichkeit und Ausmessung des Kreises besprochen ist, prinzipiell nichts Neues, und wenn w ir noch einige Sätze über harmonische P unkte 'und Transversalen in üblicher, d. h. eukli­

discher, W eise in den oberen Klassen hinzufügen, dann erhalten die Schüler dam it keinen Zuwachs an allgem einer Bildung. Von den vorhin er­

wähnten neuen Gegenständen erscheint mir die Nichteuklidische Geometrie zu schwierig, der F e u e r b a c h s c h e Kreis zu speziell, und die Geo­

metrographie g ib t, abgesehen von grundsätz­

lichen Bedenken, jedenfalls eine sehr starke B elastung des Gedächtnisses. Es entsteht daher die F rage, ob die Behandlung der p r o j e k t i v e n G e o m e t r i e p ä d a g o g i s c h w ertvoller ist.

M erkwürdigerw eise ist der Gegenstand nach dieser R ichtung hin noch wenig durchgearbeitet.

R e i d t und S i m o n sowie die neuen, schönen Bücher von H ö f l e r und L i e t z m a n n bringen wenig darüber, und auch die Schulbücher heben die charakteristischen Punkte nicht so deutlich hervor, wie es notwendig wäre.

Zunächst die u n e i g e n t l i c h e n E l e m e n t e . In der A rithm etik w ird mit R echt auf die große Bedeutung einer Begriffserweiterung hingewiesen.

W enn u? = 2, dann ist x weder eine ganze, noch eine gebrochene Z ahl; w ir verlangen aber, daß jede Gleichung eine W urzel hat, wir setzen daher x gleich einer Zahl und zeigen, wie man damit rechnen kann. Diese Begriffsbildung, die der Schüler auch bei negativen, gebrochenen und komplexen Zahlen, beim sinus usw. kennen lernt, fehlt in der Euklidischen G eom etrie; es gib t aber kein besseres Beispiel, den U nter­

schied von Anschauung und reinem Denken hervorzuheben, als die uneigentlichen Elemente.

Zwei Gerade schneiden sich in einem P un kte oder gar nicht, wenn sie parallel sind; um aber ausnahmslose Gesetze zu erhalten, schreiben wir auch parallelen Geraden einen (unendlich fernen) S chn ittp un kt zu. Im Gegensatz zur Nichteuklidischen Geometrie, die über das Wesen der parallelen Geraden etwas aussagen will, handelt es sich hier nur um eine rein logische Definition. Noch schöner und schärfer zeigt sich der Gegensatz von Anschauung und Logik bei der unendlich fernen Geraden. W er am M eeresstrand steht, der sieht m it überzeugender D eutlichkeit, wie sich alle unendlich fernen P un kte der Ebene zu einem K r e i s e , dem Horizont, zusammenschließen. Bei jeder Lage des Auges und bei jeder Lage der Bildebene liefert das Bild des Horizonts aber eine Gerade, w ir sind daher gezwungen, logisch von einer unendlich fernen G e r a d e n zu sprechen; und wer auf die Raum theorie K a n t s zu sprechen kommen will, findet hier einen geeigneten Aus­

gangspunkt.

Sodann finden w ir in der darstellenden Geo­

m etrie eine ganz n e u e A r t v o n B e w e i s e n . Aus dem Satz, daß das Doppelverhältnis von vier Punkten oder Strahlen bei jed er Projektion uugeändert bleibt, fo lg t z. B. durch Abbildung eines Parallelogram m s: in einem vollständigen Vierseit liegen auf jeder Nebenseite vier har­

monische Punkte. F erner drei gleichlange Strecken parallel zur Bildachse liefern zunächst für drei beliebige parallele Strecken den S atz:

die drei äußeren Aelinlichkeitspunkte liegen auf einer Geraden. Damit ist aber auch der Satz für drei Q uadrate und drei Kreise be­

wiesen (Satz des D Io n g e). Aus zwei ähnlichen und ähnlich liegenden Dreiecken erhält man den Satz des D e s a r g u e s . W enn bei einem Sehnensechseck zwei Paar Gegenseiten parallel sind, dann ist auch das d ritte P aar parallel und die Gegenseiten schneiden sich au f der unend­

lich fernen G eraden; die Abbildung liefert den Satz des P a s k a l für alle Kegelschnitte. Das­

selbe g ilt für Pol und Polare.

Man findet also hier die w ichtigsten Sätze

wieder, die man sonst durch 31 e n e l a o s und C eva

1 9 1 1 . N o. 2. ÜBER. N E B E R E GEOMETRIE.

S.

23.

zu beweisen pflegt, und es entsteht die Frage, welche Beweise sind für die Schüler geeigneter?

Zunächst ist der hier angedeutete W eg ein­

facher und leichter zu behalten. Sodann deckt die Projektion den inneren Grund für die Be­

weise auf, denn wenn der Sachverhalt an einem einfachen Fall anschaulich erkannt ist, dann muß bei der Abbildung das W esentliche er­

halten bleiben. Beim Satz des M e n e l a o s ist der Zusammenhang zwischen den Abstandsver­

hältnissen und der Lage von drei Punkten auf einer Geraden gekünstelt. Man hat zwar die Ueberzeugung, daß der Satz wahr ist, aber man sieht nicht ein, warum es so ist. Endlich ist der projektive Beweis bem erkenswert, weil da­

bei eine neue A rt des Schließens au ftritt, die sonst in der Schulm athem atik nicht vorkommt, die man fast bezeichnen könnte als Schluß vom Besonderen auf das Allgemeine, und dies ist erkenntnistheoretisch von großer W ichtigkeit.

Denn die übliche A rt des mathematischen Be­

weises, die aus bestimmten Voraussetzungen deduktiv neue Sätze ableitet, ist zw ar für das System der M athematik unentbehrlich, aber es ist nicht der W eg, auf dem neue W ahrheiten für gewöhnlich gefunden werden. Bekanntlich sind sehr viele Sätze früher gefunden als die erforderlichen strengen Beweise, und die Forscher, die uns einen Einblick in die A rt ihres Schaffens tun ließen, erklärten offen, wie z. B. H e l m - l i o l t z , daß ihnen „die Lösung von Problemen fast immer durch eine allmählich wachsende Generalisation von günstigen Beispielen, durch eine Reihe glücklicher Einfälle nach mancherlei Irrfahrten gelungen w ar“. Die Induktions­

schlüsse, die der Schüler bisher nur in der Physik kennen gelernt hat, und die im späteren Leben ganz unentbehrlich sind, erweisen sich also auch für die M athem atik als wertvoll.

Endlich findet man noch einen eigenartigen W eg zur A bleitung neuer Sätze, nämlich die D u a l i t ä t , d. h. wenn man in den Lehrsätzen P unkt und Gerade, Pol und Polare, Viereck und Vierseit, P unktreihe und Strahlenbüschel ver­

tauscht, wenn also die Figuren durch andere aus anderen Bestandteilen ersetzt werden, und nur die A rt der Verknüpfung dieselbe bleibt.

Nun w ird aber häufig der Einwand gem acht:

man müsse bei der Euklidischen Geometrie bleiben, denn die projektive Geometrie ist zwar ein Königsweg, aber sie hat für den Schüler, der die räumlichen Verhältnisse nicht hinreichend überschauen kann, keine überzeugende K raft!

Tatsächlich hat auch die Zentralperspektive, trotz vielfacher warmer Empfehlung, nur geringe V erbreitung im U nterricht gefunden. Aber wenn w irklich der Wunsch besteht, die vorhin er­

wähnten pädagogischen Gesichtspunkte für den U nterricht nutzbar zu machen, dann muß sich auch eine geeignete Darstellung finden lassen.

Bisher hat man es wohl dem Anfänger etwas zu schwer gemacht, weil entw eder g ar keine Anweisung zur Ausführung der Zeichnung zu­

gefügt wurde, oder weil mau zu schnell zur allgemeinen Darstellung von Raumfiguren oder ebenen Kollineationen übergeht. Die leichtere V erständlichkeit der Euklidischen Geometrie beruht auf zwei Gründen, erstens arbeitet man wesentlich mit Kongruenzsätzen, d. h. man zeigt von einem Stück nach dem ändern, daß es den Forderungen entspricht, und zweitens geht man erst nach sehr zahlreichen Uebungen in der Ebene zum Raum über; auch in der analytischen Geometrie beschränkt man sich anfangs stets auf die Ebene. Ich möchte also auch in der Z entralperspektive zunächst nur den einfachsten Fall behandeln, nämlich die Abbildung einer ebenen Figur auf eine dazu senkrechten Ebene.

Denn Grund- und Aufriß, sowie das H erunter­

klappen des einen auf den anderen ist ohnehin aus der darstellenden Geometrie bekannt, der Schüler kann sich durch leicht herzustellende Papierm odelle jedesm al die räumliche Lage klarmachen, die Abbildung von Punkten und Geraden g estaltet sich besonders einfach und die Beweise für die obigen Sätze werden eben­

so leicht verständlich und überzeugend, wie in der Euklidischen Geometrie. Die nähere Aus­

führung dieser Gedanken ist in der Aufgaben­

sammlung des Verfassers enthalten (Leipzig 1910, B. G. Teubner, 2. Aufl.).

Noch ein anderes M ittel kann dazu beitragen, der projektiven Geometrie einen festen P latz im U nterricht zuzuweisen, nämlich die Verbindung mit der A rithm etik. Die Konzentration, die Schaf­

fung einer neuen Beziehung zwischen Geometrie und A rithm etik muß für beide Teile frucht­

bringend sein. W ir erhalten damit für die Rech­

nung einfache und naturgem äße Uebungsbeispiele und andererseits können etwaige Mängel der Zeichnung durch die Rechnung geprüft und be­

seitigt werden. Dazu ist nur e in neuer Begriff erforderlich, der sich aber ohne jede Schwierig­

keit einführen läßt, nämlich die K o o r d i n a t e n - T r a n s f o r m a t i o n . Allgemein bekannt ist ja, daß man die Figuren festhalten und das Achsen­

kreuz verschieben kann. F. K l e i n macht aber besonders darauf aufmerksam, daß es viel frucht­

barer ist, die Achsen festzuhalten und den P unkt P (x y) durch die Transform ation

x ' = a x - j- b y-f- c y — ä x —(— e // —j— u

nach P ' (x'

y ')

zu bringen. Besonders anschau­

lich w ird das W esen der Transformation, wenn man sich nicht auf e i n e n P u nk t beschränkt, sondern wenn man vier P u n k te, die auf einer Geraden liegen oder die die Ecken eines Quad­

rats b ild e n , gleichzeitig transform iert. So

liefert z. B.

S. ‘24. UNTERRtCHTSBLÄTTER. Jahrg.

XVII.

No. 2.

x' — x -j- 3, y' = tj — 1

eine Verschiebung,

x ' = 3 x , y' =

2 y eine Streckung,

x' — 3 x - \ - 2 , i f = 3 y 1 eine ähnliche Figur,

x ' = x cos cp — y sin cp, y = x sin <p - |- y cos tp eine

D rehung um (p.

Die allgemeine affine Transform ation liefert jede Parallelprojektion, und eine gebrochene Transform ation die Zentralperspektive. Auch hier ist die nähere Ausführung in der oben erw ähnten Aufgabensammlung, S. 87 — 88, ent­

halten.

Mein Vorschlag geht also dahin, von Ober­

sekunda an die Planim etrie nicht m ehr als Selbstzweck zu betreiben, sondern sie durch P erspektive und darstellende Geometrie zu er­

setzen. W ir erhalten dann ebenso schöne Kon­

struktionsaufgaben wie gegenw ärtig, aber die logische Durchbildung w ird vielseitiger; dabei werden die Beweise einfacher und dringen mehr in das Wesen der Sache ein. Endlich werden die Schüler zu etwas genaueren Zeichnungen gezwungen, sie erhalten also m ehr H andfertig­

k e it und vor allem m ehr ßaum anschauung.

D ie g e o m e t r is c h e B e d e u tu n g d er A u sd r ü c k e

V on W . R o t t s i e p c r (G öttiugen).

Die in der U eb ersch rift genannten A usdrücke cp (x, y ) und cp (x, y, s) kom m en in m anchen R echnun­

gen v o r, die sich au f die Ellipse u nd das Eliipsoid in n o rm aler L age beziehen, z. ß . in dem In te g ra l, welches das P o ten tial eines P u n k tes bezogen au f das hom ogene E liipsoid angibt. E s lieg t nahe, eine bestim m te geo­

m etrische B edeutung dieser A usdrücke zu verm uten.

Zu je d e m P u n k te { x | y der E b en e g eh ö rt ein be­

stim m ter W e rt ip (x, y) — -j- ^ j — 1 und zu jedem R au m p u n k te J x ■ y j £ ein b estim m ter W ert cp (x, ji,z ) — ( f ) " + ( ¿ ) 4 - ( y ) - L E s ist vou v orn­

herein w ahrscheinlich, daß dieser W ert in gew isser Be­

ziehung zu d er K u rv e -p = 1 bezw. zu der F läche ( ■' ) -p 4~ = 1 steht, längs deren

<1 (x, f/) == 0 bezw. cp (x, y , z ) — 0 ist, also zu der E llipse u nd dem Eliipsoid. Im In n e rn dieser G ebilde ist cp negativ, denn z. B. fü r den N ullpunkt, erh alten w ir cp = — 1 ; außen ist cp positiv.

A ehnliehes linden w ir schon bei d e r D eutung des einfachen A usdruckes cl (x, y ) — x cos a -J- y sin a — p (bezw. im R aum e d ( x , y , z ) = x c o s a - \ - y c o s ß - \ - z c o s y —p , u u te r d er V oraussetzung, daß cos-’n -j-c o s2/?-!-cos2y .= l is t) ; hierin bedeutet bekanntlich d (x, tj) — 0 die G lei­

chung ein er G eraden, deren E n tfe rn u n g vom U rsprung p ist, und bei d e r dies L ot m it den Achsen die W in ­

kel a und = 9 0 ° — a bildet. (E ntsprechendes gilt für die E bene d (x, y , z) = 0). Die x //-E b e n e wird durch die G erade in zwei Teile g eteilt. Die G röße d

w ird nun für den E benenteil auf der Seite des U rsprungs negativ, fü r den U rsp ru n g selbst — p, für die andere S eite positiv. D er B e tra g von cl ist der senkrechte A b stan d des P u n k tes j x | y von der G eraden j p j a (entsprechend im R aum e). D er A b stan d der P u n k te in d er G eraden (oder E bene) ist n atü rlich 0. (F ig. 1).

Z u einer ähnlichen D e u t u n g kom m t m an hoi der B etrac h tu n g von

p 4 -1- — 1 = <5 (*, y) und L -i -j. — i = ( 5 (x ,y ,z ).

(5 (x, y) = 0 ist die G leichung einer G eraden m it den A chsenabschnitten a und b. ü w ird w ie cl positiv und negativ. <5 h a t die D im ension 0 ; um <5 d u rch S trecken deuten zu k ö n n en , m ultiplizieren w ir es m it p 1), dem A bstande des U rsprungs von d er G eraden. E s w ird dann

V V

(5 p = . J— x + y — p — cos a • x -p sin a • y - p = d, also < 5 = --. <5 (# ,//) ist m ithin der durch p gem essene A b stan d des P unktes j x | y von d e r G eraden j a \ b.

Ebenso ist im R aum e <5 ( x , y , z ) der durch p gemessene A bstand des P u n k tes \ x \ y \ z von der E b en e | « | ¿» | c m it d er G leichung ä (x , y , z ) = 0.

U m n u n die ganz ähnlichen A usdrücke c p ( x ,y ) und 7 (x, //, Zj zu deuten, wollen w ir zunächst einm al Zu­

sehen, was beim K reise | a ~ b = : >• um den U rsprung h ie rfü r herauskom m t. E s ist d ort

(P (-G y) = ' 4- - 1, »Bo >'- ■ r — 4- V“ ~ >'-■

L ie g t P j x | y außerhalb des K reises, so ist x 2 -p t ß — z - und y~-cp = z - — r - — i‘- = P , d er P otenz des P u n k tes

p

zum K reise. <p = ,,, also die durch r - gem essene Potenz. F ü r einen inneren P u n k t e rg ib t sieh analog das negative Q u ad rat d er A b sch n itte einer Sehne, die auf dem d u rch P j x \ y gezogenen D urchm esser in P sen k rech t steht.

W enn w ir nun den A usdruck cp au f die E llipse anw enden, so lieg t d er G edanke nahe, ^cp als allgem eine P o te n z zu bezeichnen. E in e d erartig e V erallgem eine­

ru n g h a t ab e r n u r dann einen Sinn, wenn das bislang

*) E s ist n ach d e r F ig u r 1 : 1 = cos2 n 4- sin2 a — 'h ( y ) L J U I .

p i Q- fjl

Im Rauiuc e r g ib t sie h an a lo g fü r den A bstand ;> des U rsprungs von d e r F.bcnc | » ! 11 c

1911. No. 2.

Di e g e o m e t r i s c h e Be d e u t u n g d e r Au s d r ü c k e u s w.

S. 25.

m it dem A usdruck B ezeichnete als Souderfall heraus- kom m t, und außerdem die E in fü h ru n g einer besonderen Bezeichnung durch das Besteheu einer bezeiclmeDs- w erten In varianz gegenüber geom etrischen A enderungen beg rü n d et ist.

F ig. 2 . Fig. 3.

Bei dem K reise bestand diese Invarianz in dem konstanten P ro d u k t d er Sehnen- bezw. S ekanten­

abschnitte. Diese G röße wollen w ir nu n bei der E llipse berechnen. W ir m üssen bei d er V erallgem einerung aber noch beachten, daß die herköm m liche P o ten z von der zweiten Dimension is t; cp h a t dagegen die Dimension 0.

W ir schneiden die E llipse (E )

m it der G eraden (G ) y — y — C (? — x), die 1 durch j x | y g e h t u n d m it d er positiven x-A chse den W inkel a bildet, so daß tg a = C ist. F ü r die beiden S c h n itt­

p u n k te { I ?/1 und / fo | )/2 gelten dann die G leichungen

und F e rn e r ist.

Vi —y . r

¡ M

+

.

’>2 ~ v.

— x ' l 2 i Vy k -J ,, 2

i = a . i J h .

‘ n 2 I ¿2-

außerhalb oder a - ' b~ a 2

ganz gleichgültig, ob j x ; //

innerhalb d er Ellipse liegt, fü r die Sekanten- oder Sehnenabschnitte

Sla = ( f t - x )2 + (Vl - ,/)2 - (1 + ( ?) ( f t - x , 2

s a2 = ( l x - ,r)2 -f- (,/a - ,/)» = (1 + C2) (f., - x ) 2

• v V = ( i 4- c - ;- - ■•'■)■ (?2 - s, s2 = + (1 + C2) ( i! - x ) (f., - X)

— + (1 -f- C-) [ y — x -p c2) -p x 2J.

i i und fo ergeben sich nun durch V erb in d u n g der G leichungen (1?) u n d (G), indem m an y aus (G) in (E ) einsetzt. M an erh ält dann nach dem O rdnen nach Potenzen von $

o t C ( C x - y) (C x — y)2 — b-

- } ) y y + - - ( r ^-■

E s m u ß also sein

.

Dann e rg ib t sich fü r

r ( C x — //)2— b2 a „ C ( C x — //)

ei

^{J + *}

■y) , , .. (C x - i t f - P

— und i , to ~

<L2 +

ö2 ' «2

-- C2 1 ' : + F ■ Cp.

E he w ir den F a k to r F , d er im m er positiv ist, deuten, wollen w ir ü b er das V orzeichen verfügen. Bis­

her nahm man nun gew öhnlich das P ro d u k t d er S ehnen­

abschnitte fü r einen In n e n p u n k t n egativ und das P ro­

d u k t der Sokantenabschnitte fü r einen A u ß en p u n k t positiv. Das ist geschichtlich so g ew o rd en . W enn ich m ich ab er fü r das um gekehrte V orzeichen entscheide, so h a t das folgenden G ru n d :

D er natürliche A usgangspunkt fü r eine derartige Festsetzung b ild et die T eilung einer positiven S trecke A B durch einen zwischen A und D gelegenen T eilpunkt C. W enn h ier das G anze gleich der Sum m e seiner Teile sein soll u nd außerdem gleichgerichtete S trecken nach den R egeln der V ektor-A nalysis, der R echnung m it g erichteten S trecken, dasselbe V orzeichen haben m üssen, so m uß m an setzen A B — A C -p C B ■ ( C A - p CR, wie m an die Teile einer in C geteilten Seim e A B bis­

h er las, geben n ich t als Sum m e A B , wenn m an diese Regel d er V ektor-A nalysis beachtet). A C und C B sind beide positiv, da sic m it A B gleichgerichtet sind, also is t auch ih r P ro d u k t (oder die P otenz) u nd ih r Q uotient (oder ih r Teilverhältnis) positiv.

U m einen einheitlichen A usd ru ck fü r die V erh ält­

nisse im In n ern und im A enßeren zu gew innen, m uß m an die S ekante A C als eine in C' außen geteilte Sehne A B auffassen. E s ist dann analog zur inneren T eilung A B = A C -p C' B , w orin der zw eite Teil C ’ B = — B C ' , also negativ ist. Das P ro d u k t der Teile (oder die P otenz) und ih r Q uotient (oder ihr T eilverbältnis) m uß dann negativ sein. (E ine derartige F estsetzung üb er das V orzeichen des T eilverhältnis findet sich in K a m b l y - T h a e r I I I B, S. 32.)

Da d er F a k to r F im m er p o sitiv u nd cp im In n e rn negativ ist, s t • s., d o rt ab er positiv sein soll, so m uß m an — F - c p setzen. D asselbe V orzeichen er­

heischt ein ä u ß erer P u n k t. M ithin ist allgem ein s2 = — F ■ cp. E s ist belehrend, zu sehen, daß im F alle eines äußeren P u n k tes d a s P r o d u k t d e r S e h n e n a b s c h n i t t e i m m e r r e e l l w ird, auch wenn sieh S ekante u nd E llipse n ich t schneiden und die A b sch n itte bis zu den kom plexen S chnittpunkten gerechnet w erden.

Die D eutung des n u r von der R ichtung abhängigen F aktors F e rg ib t sich leich t aus einem besonderen Falle. F ü r je d e n P u n k t des parallelen Durchm essers erhält m an denselben W ert F, also auch für den M ittel­

p u n k t der Ellipse. N ennt m an den parallelen H a lb ­ m esser r , so ist fü r den M ittelp u n k t

«j • s2 = r" = — F ■ — 1, also ist F — r 2 und allgem ein

A sl • s2

Sj • s2 = — r - -cp oder <p==--- .

Diese F orm el ist d er K reisform el durchaus analog. Es ist also cp = “P — 1 J a s n e g a t i v 0 d u r c h d a s Q u a d r a t d e s p a r a l l e l e n H a l b m e s s e r s g e m e s s e n e P r o d u k t d e r S e h n e n - b e z w . S e k a n t e u a b s c h n i t t c d u r c h d e n P u n k t < j x ; y a n d i e E l l i p s e <p = 0. M an kann also cp als a l l ­ g e m e i n e P o t e n z (num erische od er bezogene P otenz) auffassen.

Die G röße von F läß t sich auch leich t u n m ittel­

b ar ausrechnen. Z ieh t m an den zur Sehne parallelen D urchm esser, so schneidet der die E llipse in einem P u n k te <j ? | >/• E s ist dann

S. 26.

U N T E R R IC H T S B L Ä T T E R .

Jahrg . XVII. No. 2.

C = , also F ? + > r -

i*

a- ' \ b S j \ a J "T" \ 6 /

M an kann F ’ auch a u f andere W eise deuten. W enn

■j i j >)i ein P u n k t d er E llip se ist, so ist

;^c*N

dann kann m an ' 1 = cos y und -y = siu y setzen, wo

a b

y die zum P u n k te -j f , j i/j gehörige exzentrische A no­

m alie ist oder der zugehörige K onstruktionsw inkel. Die T an g en te in -j f j, y i h a t die G leichung

S f r , v 'h _ x _ £ 009y i ’i 8in y — | , v

a~ a b “ /cos / Vs in y

D er A bstand p dieser G eradeu vom N ullpunkte ist dann Q zu bereclm en aus

■*2/, E s ist nun

cos-j- 1 ^'2/sin 2 ■

cos- j> sin- /

: T 2“ + l 2“’

1 -f- C 2 1 -j- tg 2 a cos2 a -(- sin2 a

L Z _{„2 W 7,2}

^{1 t g 2 a}

«2

+

co s- a . s iu - a

"~~2 _öt < l 2~er

cos2 a A 2 ■

sm- « 62

= / y

F stellt also auch das Q uadrat des A bstandes d er­

jen ig en T an g en te vom N u llpunkte dar, die man in a gehörigen P u n k te an dem zum K ohstruktionsw inkel

die E llipse legt.

D aß d er A usdruck Q 2 konstant ist, le h rt übrigens auch eine kurze geom etrische U eberlegung. W enn m an einen K reis durch p arallele S trahlen au f eine ge­

neigte E b en e p ro jiziert, so erh ält m an im allgem einen eine E llip se; eine K reissehne s ', durch P ' in zwei A b­

schnitte s j und s.2' g eteilt, und ein dazu p aralleler H albm esser de3 K reises bilden sich ab als Ellipsen­

sehne s, durch einen P u n k t P in die A b sch n itte und So geteilt, u nd ein ebenfalls zu ih r p aralleler E llipsen­

halbm esser r . W egen des G leichlaufs der Projektions- Strahlen und d er dad u rch erm öglichten H erstellung

1 = — u n d e b e n s o , also

i r s., r

= L od er =

Sj So 7’- r - j—

sehne durch ]'

ähnlicher D reiecke ist — S|

Da f ü r je d e andere Kreis- v-

sowohl das P ro d u k t d er A b sch n itte als

auch r- den selb en W crt hat, so ist auch in der E llipse Ah*2 konstant. D er P ro p o rtio n alitätsfak to r cp erg ib t sich geo­

m etrisch, wenn m an fü r einen äußeren P u n k t das V er­

hältnis d er T angente und fü r einen inneren P u n k t das V erh ältn is der G leichseim e zum parallelen H albm esser q uadriert. U n ter G leichsehne verstehe m an dabei je n e Sehne, d eren A b sch n itte gleich sind, die also zu dem D urchm esser parallel läu ft, d e r dem d u rch -j a:j y gehen­

den D urchm esser k o n ju g ie rt ist. E in e der gegebenen ähnliche E llipse um P - j x | y als M itte lp u n k t m it A chsen, die denen d er gegebenen parallel laufen, durch die E n d p u n k te d er G leichsehne schneidet a u f allen S ehnen durch P zwei gleiche S tücke ab, deren Q uadrat gleich dem jew eiligen P ro d u k t der A bschnitte ist. M an sieht auch hieran deutlich, daß d er H öchst- bezw.

M indestw ert des A bschnittsproduktes a u f Sehnen parallel zur g roßen bezw. kleinen A chse erreicht wird.

97 is t k o n stan t au f Ellipsen, die zu d e r gegebenen ähnlich sind u n d ähnlich liegen, aus ih r also durch A ehnlichkeitstransform ation hervorgehen, denn

L "

stellt eine E llipse d ar m it den H albm essern «V i J A u n d b | 1 -¡-/c. Die von P u n k te n dieser ähnlichen E llipsen an die G rundellipse gelegten T an g en ten sind also pro p o rtio n al den parallelen H albm essern dieser Ellipse. Die ähnliche Ellipse, die dem R ech teck der T angenten an den vier Scheiteln d er G rundellipse um ­ beschrieben ist, h a t die besondei'e E igenschaft, daß die von ih ren P u n k te n an die G rundellipse gelegten T an ­ genten den parallelen H albm essern gleich sind, denn

- 1 = lc

Fig. 5.

die P o ten z ih re r P u n k te ist

cp (a, b) ■

f K ; — *■>■

F e rn e r e rg ib t sich, daß die E ck en aller jen er, der G rundellipse um beschriebenen P arallelogram m e, deren S eiten k o n ju g ierten D urchm essern parallel sind, auf dieser E llipse 95 ( x , y ) = 1 gelegen sind (Fig. 5). Diese Sätze können auch u m g ek eh rt zur zeichnerischen H erstellu n g ähnlicher E llipsen v erw an d t w erden. — A naloge Sätze g elten auch fü r das In n e re d er E llipse. E ine äußere konzentrische E llipse schneidet näm lich au f den T a n ­ g en ten au die G rundellipse gleiche S tücke ab, denn beide S tücke sind p ro p o rtio n al zwei gleichen H a lb ­ m essern. B e tra c h te t m an eine solche äußere konzen­

trische E llip se als G rundellipsc u nd diese als innere konzentrische, so kann m an sagen, daß alle den H a lb ­ m essern einer E llipse parallelen u nd proportionalen

2) a' = a] 2, 6' = 6 | ' 2.

1911. No. 2.

Di e g e o m e t r i s c h e Be d e u t u n g d e r Au s d r ü c k e u s w.

S. 27.

Sehnen eine ähnliche E llipse einhüllen, und zw ar sind die M itten der Sehnen die B erührungspunkte.

A ll diese Sätze können ohne w eiteres au f das E llipsoid verallgem einert w erden, so z. B. d er folgende auch h ergehörige S a tz : Da die beiden von einem äußeren P u n k te an die E llipse gelegten T angenten den parallelen H albm essern proportional sin d und beide G eradenpaare w egen ihres G leichlaufs gleiche W inkel einschließen, so ist die B erührungssehne der Yerbin*

dungssehne d er parallelen H albm esser auch p a ra lle l;

w eiterhin w erden diese beiden G eraden von dem durch

| cc | ;?/ gehenden D urchm esser halbiert. A u f das E llip ­ soid ü b ertrag en w ürde dies bedeuten, daß die T angenten von einem P u n k te außerhalb an das E llipsoid den parallelen H albm essern p roportional sind und daß die E llipse der B erüh ru n g sp u n k te d er E llipse der E n d ­ pun k te der H albm esser parallel und ähnlich ist und die S ekante durch den M ittelp u n k t die A chse der beiden K egel ist.

D a das P ro d u k t P der beiden Sehnen- oder Sekanten­

abschnitte, P = — r'1 <j, von zwei F ak to ren abhängt, so kann eine vollständige In v arian z n u r fü r vollständige U ebereinstim m ung von r und rp bestehen, also fü r alle parallelen Sekanten oder Sehnen, die von P un k ten kon­

zentrischer E llipsen (bezw. Ellipsoide) ausgehen. V oll­

ständige In v arian z bekom m t m an aber auch beim Ver- gleich je zweier P rodukte,

Pa

die erstens zu allen paarw eise parallelen Sekanten od er Sehen gehören, welche von je einem P u n k te derselben beiden konzen­

trischen E llipsen au sg e h e n , die zw eitens zu allen Sekanten- od er S ehnenpaaren g e h ö re n , die von zwei P un k ten derselben konzentrischen E llipse ausgohen und zwei festen R ichtungen p arallel sind. Insbesondere bekom m t m an konstantes P roduktverhältnis fü r alle parallelen Sekanten- oder Sehneupaare, die von zwei festen P u n k ten aus an die E llip s e ' gezogen w erden

E ig. 6.

(N ewton), u nd fü r alle Sekanten- oder Sehnenpaare, die von beliebigen P u n k ten aus parallel zu zwei festen R ichtungen gezogen w erden.

F ü r die H yperbel e rg ib t sich "ganz ähnlich

1 — j— C2

-b _f

02 Ir

i

und, wenn w ir den zur Sehne parallelen H albm esser w ieder r nennen u nd </ = ^ setzen,

Sj So — — • Cf.

H ie r t r it t ab er noch hinzu, daß ^ip= — 1 n ich t nur tür den N ullpunkt, sondern fü r beide A sym ptoten. Daraus ergeben sich eine ganze R eihe von interessanten Sätzen.

vor allem für die gleichseitige H yperbel, das Bild eines K reises m it im aginären O rdinaten. D iese Sätze lassen sich dann sinnentsprechend auf die Flächen zweiten G rades m it H yperbelschnitten ü bertragen.

F ü r die Parabel

2 p .

1 = 0 erg ib t sich (der V ollständigkeit wegen) noch

u nd w enn m an diesm al u n te r r die E n tfe rn u n g des P unktes V -j x \ y von der H auptachse, au f der Sehne gemessen, v ersteht und q ^{I p x} -1 setzt, so ist wieder

s2 — -f- r^{•2. ,}

M it H ilfe d er G röße q kann m an den anfangs erw ähnten A usdruck fü r das P o ten tial eines P unktes P<j x | y | z bezogen auf ein E llipsoid j a| b ] c um den N ullpunkt u nd von d er gleichm äßigen D ichte 5 geom e­

trisch deuten un d einfacher schreiben. Es ist nach D i r i c h l e t z. B. fü r einen A u ß en p u n k t das P o ten tial V

0 9 0

o o ar , y- , z~

V- ■U+ c2 + ü ■

1

: d U.

H ierin b ed eu tet der Z äh ler des In teg ran d en die Potenz q> des P u n k tes P bezogen auf das zum gegebenen kon- fokale E llipsoid m it den

a = ) n2 ^ 17, b'--

Achsen

62 + U, c' = )c2-\- Ü und d er N enner v das V olum enverhältnis dieses E llip- soids zu dem gegebenen. D ie G renzen zeigen an, daß die In te g ra tio n ü b er alle äußeren konfokalen Ellipsoide zu erstrecken ist, ausgehend von dem durch P gehen­

den. E s ist also kurz und behaltlicher

y = - .T Ü J ' ~ ä U

m it den erw ähnten Grenzen.

Sow-eit es dem V erfasser b e k an n t gew orden ist, h a t F a u r e in Nouv. A nn. 1866, P aris, fü r

m f (

den N am en „indice“ vorgeschlagen und ist von N euberg in Nouv. A nn. 1870 die Theorie dieser G rößen näher ausgebaut u nd auf G eraden u nd E ben en erw eitert w orden, in etw as and erer W eise, wie dies oben, davon unabhängig, geschehen ist.

-

1

S. 28,

Ü N T E E itlC H 1SBLÄ.T T liR .

Jahrg . XVII. No. 2.

T a n g e n te n - u n d A c h s e n k o n s tr u k tio n e n fü r E llip s e u n d H y p e r b e l

m it H ilf e v o n B r e n n p u n k t u n d L e itg e r a d e . V on

Prof. M . W a c k e r an der H um boldtschule (K arlsruhe) und O berlehrer M o u d o n am R ealgym nasium (Kassel).

W i e n e r v erw endet in seiner „D arstellenden G eo­

m e trie “ zum N achw eis des Satzes, daß die T an g en te eines K egelschnitts den W inkel d er B rennstrahlen ihres B erührungspunktes halbiert, unendlich kleine D rei­

ecke, b en u tzt also eine A rt geom etrischen D ifferentials.

Die gleiche M ethode erw eist sich fru ch tb rin g en d , wenn m an die B eziehungen der K eg elsch n ittstan g en te zu B rennstralil un d L e itstra h l ihres B erührungspunktes untersucht.

D er B rennstralil P F — f eines K urvenpunktes P (F ig . 1) w erde um ein beliebiges S tü ck m bis V, d er

also

daraus fo lg t:

L e itstra h l P P = l um ein S tück n, dessen G röße noch bestim m t w erden soll, bis U verlängert. S chlägt man n un um F m it F V den K reisbogen und zieht durch U die P arallele zu d e r L eitg erad en E L , so w ird die L än g e von n so gew ählt w erden können, daß P arallele und K reisbogen sich in einem K u rv e n p u n k t P , schneiden.

F ü r Pi ist d er B rennstrahl f -j- in, der L eitstrah l l -j- n, es m uß dem nach

f

-f w —

f 1 + ii l f -j- m / -}- »i

~ ~ r~ ~ r ~ ;

m _ f n l '

D adurch ist die G röße v o n « eindeutig b estim m t;

d. h. n m uß, falls ein K u rv en p u n k t erhalten w erden soll, nach o b ig er G leichung k o n stru iert w erden.

Die V erbindungslinie P P , ist eine Sekante. W ählt m an nu n tn (und d am it n) unendlich klein, so rü c k t P , nach P , und die V erbindungslinie w ird T augente.

D er unendlich kleine K reisbogen P ' V kann als S en k ­ rech te zu V F b e tra c h te t -werden, deshalb g eh t P ' V P in ein rechtw inkliges D reieck über, das m it dem D rei­

eck P ' U P ' als gem einsam e H ypotenuse die T an g en te in P h at. E rric h te t m an nun in V zu V F die S enk­

rechte, die l)Pl in P 2 schneidet, so ergeben sich zwei rechtw inklige Dreiecke, die zu den oben erw ähnten unendlich kleinen D reiecken perspektiv ähnlich sind in bezug auf P als A ehnlichkeitszentrum . P2 lieg t dem ­ nach auf der T augente. D. h . :

V erlängert (oder verkürzt) m an B ren n strah l und L eitstrah l eines K urvenpunktes um S trecken, die im selben V erh ältn is stehen wie die S trah len , und errich tet

im E n d p u n k t die S enkrechten, so schneiden sich diese au f d er T an g en te des K urvenpunktes.

W ä h lt m an als Strecke, um die m an den B ren n ­ strah l verkürzt, den B rennstralil selbst, so m uß man den L eitstrah l ebenfalls um sich selbst verkürzen. Die Senkrechten sind dann in F und R zu errichten und schneiden sich in S auf der T angente. D araus folgt die bekannte B eziehung:

E rric h te t m an im B ren n p u n k t au f dem B rennstralil eines K urvenpunktes die Senkrechte, so schneidet sie sich m it der L eitg erad en au f der T an g en te des K u rv en ­ punktes.

Bezeichnet m an den W inkel der T an g en te m it dem B rennstralil ihres B erührungspunktes m it a. den m it dem L eitstrah l m it ß, so is t:

C°8f< = IW

™»ß = Y S cos a f cos ß 1 '

Die T an g en te te ilt den W inkel zwischen B renn­

strahl u n d L eitstrahl ihres B erü h ru n g sp u n k tes d erart, daß der Q uotient der cos der T eilw inkel konstant gleich der num . E x z e n triz itä t ist.

Da bei der P arab el f — I, also a = ß ist, so er­

geben die oben ab g eleiteten B eziehungen nichts Neues für die P a r a b e l; fü r E llipse und H yperbel dagegen er­

geben sich T angenten- und A chsenkonstruktionen z .T . sehr einfacher N atur.

A ) T a n g e n t e n k o n s t r u k t i o n e n ( W ).

1. T angente in einem K urvenpunkt.

I s t B ren n p u n k t u n d L eitlin ie gegeben (Fig. 2), so

b estim m t ein w eiterer P u n k t die A rt der K urve, und zw ar lie g t eine E llipse, P arab el oder H y p erb el vor, je

P F <

nachdem =

P B > Die A r t d er K urve ist fü r die K o n stru k tio n belanglos. M an b estim m t den S c h n itt S d er Senkrechten F S (_L P F ) m it d er L e itg e ra d e n u nd v erb in d et N m it P.

I s t bei gegebenem B ren n p u n k t und L eitlin ie noch die E x z e n triz itä t gegeben, so kann d er K u rv en p u n k t n ich t b elieb ig angenom m en w erden, sondern es m uß bei (in gew issen G renzen bei der E llipse) beliebig an­

zunehm endem A b stan d von d er L e itlin ie der B renn­

p u n k tsab stan d gefunden w erden und um gekehrt. I s t d er P u n k t b estim m t, so v e rlä u ft die K o n stru k tio n wie oben.

D ie Grenzen, innerhalb deren d er B rennpunkts­

abstand fü r die E llipse zu wählen ist, ergeben sich aus folgender U eberlegung.

S etzt m an (Fig. 1) F L — d u nd die num . E x z e n tri­

z itä t gleich E , so erh ält m an leicht, da

A F , B F

A L ~ r Und B L = F

1911. No. 2.

T a n g e n t e n u n d A c h s e n k o n s t r u c k t i o n f ü r E l l i p s e u n d H y p e r b e l .

S. 29.

die Beziehungen

B F = - , - f - und A F = - / ' 1 .

1 E 1 --- F.

Es m uß dem nach der B renupuuktsabstaud so gew ählt w erden, daß

n t . > n t 1 — r 1 -{- r

2. T an g en te von einem P u n k t außerhalb.

A nalysis: Da n u r L e itg e ra d e und B ren n p u n k t, aber kein K urv en p u n k t gegeben ist, m uß die A rt der K urve durch die num . E x zen trizität gegeben sein, am einfachsten durch den Q uotienten zweier gegebenen S treck en p u nd q. I s t P (Fig. 3) ein P u n k t d er Tan-

3. T an g en ten parallel einer G eraden.

A nalysis: E s seien wiederum n u r B ren n p u n k t und L eitgerade gegeben, die A rt der K urve ab er durch die num. E x zen trizität bestim m t. Da für die T angenten n u r die R ichtung, n ich t die L ag e d er gegebenen Ge­

raden in B etrac h t kom m t, kann die G erade durch den gegebenen B ren n p u n k t g eleg t w erden. Sie b ild et dann (Fig. 1) m it der R ich tu n g d er H au p tach se den Teilw inkel ß , m it dem B rennstrahl des B erü h ru n g s­

punktes den W inkel «. Da nu n C° S so kann bei cos ß q

bekanntem ß auch u gefunden w erden. D adurch w ird ab er w ieder der P u n k t S gefunden, der die T angente bestim m t.

K o n s tru k tio n : Man trä g t (Fig. 5) auf der H au p t-

F ig. 4.

schlägt um den M itte lp u n k t M m it P F den K reis d u rch P u nd fällt das L o t P i t . N un bestim m t man P Z aus

P Z _ p P R ~~ q

und tr ä g t P Z von P aus in den K reis ein bis V, und V2- P i F schneidet die L eitgerade in S j, V.,F in S2.

D ann sind P S X u nd PSo die gesuchten Tangenten.

E P , _j_ F S i und F l \ J_ F S 2 ergeben m it den Tangenten die B erührungspunkte,

F ig. 3.

geilte P P ,, so ist

F V _ p U R - q

und da P IQ = V F u nd JJR\ — P l i ,

Da P R b ek an n t ist, kann P ] \ gefunden w erden. N un kann das rechtw inklige D reieck P F V i k o n stru iert und d am it d er P u n k t S gefunden werden. D am it ist die T angente P S bestim m t. D er B erührungspunkt P x er­

g ib t sich als S c h n itt von V F A. F S m it der T angente.

K o n s tru k tio n : M an v e rb in d e t (Fig. 4) P m it F ,

F ig. 5.

achse von F aus q ab bis 0, e rric h te t OJJ J _ O F und schlägt über U F als D urchm esser den Kreis. D er K reis um F m it p e rg ib t die P u n k te Vl und V2.

Z ieh t m au nun FSi J_ E1P ’ u nd FS2 J._ N Eo, so sind die gesuchten T angenten die Parallelen d u rch S i und S2 zu der gegebenen G eraden Gv Die B erührungs­

pun k te 1 \ und P 2 ergeben sich als S ch n itt von F V i und F V ,2 (bezw. ih re r V erlängerungen) m it den ge­

fundenen T angenten.

B) A c h s e n k o n s t r u k t i o n e n (M).

1. A chsenkonstruktion der Ellipse.

R ü c k t P (F ig. 1) nach dem N ebenscheitel C, so wird ß — 0, da die T angente p arallel d er H auptachse läuft. D er B rennstrahl von C b ild et also m it der H auptachse den W inkel a. Da

cos a p cosß q ' so ist fü r ß = 0

cos a = -V g

Fig. 6.

S. 30. U

N T E R R IC H T S B L Ä T T E R .

Jahrg.

X V i r .

No. 2.

kann also g efunden w erden. I s t B ren n p u n k t, L e it­

gerade und num . E x z e n triz itä t gegegen, so ko n ­ stru ie rt m an das rechtw inklige D reieck P X Y (Eig. 6) aus p und q, b estim m t den S c h n ittp u n k t R der L e it­

g erad en m it F i t J_ F Y un d zieht J l C j / F X ■ So e r­

g ib t sich d er N ebenschcitel C. D as L o t von C auf F X erg ib t als S c h n itt m it dem K reis um F m it F C den zw eiten N ebenscheitel D . D a C F die L änge der großen H albachse is t, so können auch die H a u p t­

scheitel A und B leicht gefunden w erden.

2. A chsenkonstruktion der H yperbel.

R ü c k t P (Fig. 7) ins U nendliche, so w ird die

Fig. 7.

T angente P S zur A sym ptote. Da dann F P U M i t , w ird a = 0 und d er B rennstrahl Pco F b ild e t m it d er H a u p t­

achse den W inkel ß. Da cos a p cos/ï q ’ so ist für a = 0

cos ß == —. ' P

I s t ß m it F als S cheitel gefunden, so erh ält m au S und d am it einen A sy m p totenpunkt. Die A sym ptote is t dann, da sie m it der H au p tach se ebenfalls den W inkel ß b ild et, bestim m t.

Is t also B rennpunkt, L eitlin ie u nd E x z e n triz itä t

| = —j gegeben, so k o n stru ie rt man das rechtw inklige D reieck i \ X Y aus p u nd q (Fig. 8), b estim m t den

F ig. 8.

S c h n ittp u n k t N d er L eitgeraden m it J ' \ S j P \ Y und zieht durch S die P arallele zu p \ X . D am it ist eine A sym ptote bestim m t, die m it der H auptachse den M ittelp u n k t M liefert. D er S ch n ittp u n k t Nj des K reises um M m it M S m it d er L eitgeraden bestim m t die

zw eite A sym ptote M S ,. D erselbe K reis schneidet auch au f d er H au p tach se die H au p tsch eitel B und A aus.

Das letztere fo lg t leich t aus der K ongruenz der D reiecke M S F t un d M W B . M ach t m an näm lich M W = M F , so schneidet das L o t W B auch die H a u p t­

achse, den H auptscheitel aus. A us d er K ongruenz fo lg t aber, daß M B = MS. Es ist also das A sy m p to ten ­ stück zwischen L e itg e ra d e und M itte lp u n k t gleich der g roßen H albachse.

(TU) Bei der H erleitu n g d e r A chsenkonstruktion fü r die E llipse w urde die T atsache b en u tzt, daß die T angenten in den N ebenscheiteln der H auptachse p arallel laufen. W ill m an die A chsenkonstruktion lediglich aus den B eziehungen zwischen B rennstrahl und L e itstra h l h erleiten, so ist zunächst die L ag e der T an g en te im N ebenscheitel zu untersuchen.

A us den u n te r A ) 1. aufgestellten G leichungen er­

g ib t sich (Fig. 9) :

Fig. 9-

M F — . ., ; M L = 3 £ A = —

1 F - 1 --- F - I — F -

Da fern er C F- - = f, so ist

\ j l \ j

C F = (==a) und C M = ^{* Ä} -

1 — £- ]■ 1 £—

B erü ck sich tig t m an die A eh n lich k cit der D reiecke C F M und F S L , so e rg ib t sich u n te r Z uhilfenahm e des pythagoreischen L ehrsatzes als A b sch n itt der T an g en te auf d er L eitgeraden

S L =

.

V 1 - * * A lso ist S L = C M = L l l .

D ie T an g en te in C fällt also m it dem L eitstrah l von C zusam m en und W inkel ß ist som it gleich 0. Daraus w erden dann dieselben Schlüsse gezogen w ie u n te r B) 1

C) A u f g a b e n (W ).

Die am Schluß von B) 2. angegebene B eziehung

— das A sym ptotenstück zwischen M ittelp u n k t und L eitg erad e is t gleich d er g roßen H albachse — g e sta tte t eine einfache L ösung einiger A ufgaben:

V on einer H yperbel sei gegeben :

1. der M ittelp u n k t, ein H au p tsch eitel und der S c h n ittp u n k t d er L eitg erad en m it d e r H a u p t­

achse. A sym ptoten und B ren n p u n k t sind zu finden ;

2. die H au p tach se (d er R ic h tu n g nach) eine A sym ­ p to te und eine L eitgerade. G esucht sind H a u p t­

scheitel u nd B ren n p u n k t;

3. d er M ittelpunkt, ein B ren n p u n k t und d er S c h n itt der L eitg erad en m it der H auptachse. G esucht siud die A sym ptoten und d er H auptscheitel.

A u fgabe 1. und 2. sind m it H ilfe d e r angegebenen B eziehung ohne w eiteres lösbar. Z u r L ösung von

A ufgabe 3. fü h rt folgende Beziehung. S etzt man (Fig. 8)

M F l — e, M H = a, M L — v, L A = n, . , , B F , c c — d e

1 9 1 1 . N o . 2 ._________________ Be r i c h tüb e r da s

i a ~

und i: — ,

c

da e und e gegeben sind, ist a bestim m t durch a = 1 u • c.

D am it ist A ufgabe 3. zu rü ck g efü h rt au f A ufgabe 1.

B e r ic h t ü b er d a s B r e is a u s s c h r e ib e n (1910, S. 9 0 ).

V o n P. v. S c h a e w e n (N aum burg a. S.) E in L ie b h a b e r d er M athem atik h a tte einen Preis von 100 M fü r die rich tig e und vollständige Lösung d er A u fg ab e ausgesetzt:

A u f w i e v i e l e v e r s c h i e d e n e A r t e n k a n n i n d e u t s c h e n M ü n z e n e i n T a l e r g e w e c h s e l t w e r d e n ?

D ieses Preisausschreiben hat, w ie die zahlreichen Z uschriften zeigen, w eite K reise au f das lebhafteste interessiert. Ic h h abe m ir n ich t träu m en lassen, daß es so viele F reu n d e d er M athem atik gibt. V on vielen Seiten is t d er "Wunsch ausgesprochen w orden, d aß eine solche m athem atische P reisaufgabc doch ö fte r gestellt w erden m öchte. A n geeigneten A ufgaben ist w ahr­

h aftig kein M angel. Es w ird auch n ich t an L euten fehlen, die gern b e re it sind, die eingehenden Lösungen zu bearbeiten. A b er schw ierig ist es, einen Maecen zu finden, der den P re is stiftet.

Bis zum S chlußterm ine liefen im ganzen 968 Z u ­ schriften ein. D aru n ter is t viel albernes und dum m ­ d reistes Z eug, ab er auch eine g ro ß e Z ahl vortrefflich er A rb eiten . N ach so rg fältig er P rü fu n g genügten 185 Lösungen den B edingungen des Preisausschreibens. Die L ö ser gehören den verschiedensten B erufen an. Es sind Offiziere, V olksschullehrer, A rb eiter, G eistliche, K au fleu te, S tu d en ten usw. D er ausgesetzte P reis fiel H e rrn M a x L a n g e in A u g u s t u s b u r g ( E r z g e b .) durch das L os zu. H e rr L a n g e ist ein schlichter A rb eiter, d er in seiner .Tugend offenbar eine sehr be­

scheidene S chulbildung erh alten hat. D aher ist die von ihm eingesandte L ösung leid er nicht druckfertig.

A b er sie ist rich tig u nd vollständig. E s ist keines­

wegs die einzige d erartig e L ösung, die aus A rb e ite r­

kreisen stam m t. H e rr L a n g e te ilt die ach t Miinz- sorten, in denen ein T a le r gew echselt w erden kann, in zwei K lassen, die er m it G roßgeld und K leingeld bezeichnet. E s w ird dad u rch dasselbe erreicht, was b ei alg ebraischer L ösung des Problem s eine Substitution leistet. H e rr L a n g e o p eriert nun rech t geschickt m it diesen beiden G ruppen von M ünzen und gelangt durch eine scharfsinnige Schlußw eise sicher zu dem richtigen R esultate. Die L ösung so manches M athem atikers m u ß te von der P reisbew erbung ausgeschlossen w erden, w eil bei d er A usführung d e r num erischen R echnung F e h le r und Ir rtü m e r vorkam en und daher ein falsches R e su lta t erzielt wurde. Je d e m L öser d e r Preisaulgabe ste h t seine L ösung zur V erfügung,- w enn er einen fran k ierten u nd m it voller A dresse versehenen U m schlag einsendet.

A ngesichts des lebhaften Interesses, welches das Preisausschreiben in w eiten K reisen hervorgerufen hat,

will ich eine L ösung der A ufgabe geben. E s liegt nahe, d aran zu denken, eine der übrigen befriedigenden L ösungen zu w ählen. Das ist ab er g a r nicht so leicht.

D enn bei einer großen Zahl von L ösungen haben sich die L ö ser das R e c h t d er V eröffentlichung ausdrück­

lich V orbehalten. D ann sind viele Lösungen viel zu um fangreich, um h ier abg ed ru ck t w erden zu können.

D reizehn L ösungen konnten von der P o st n u r als P ak et b efö rd ert w erden. W ieder andere Lösungen sind so knapp gehalten, daß ich einen K om m entar liefern m üßte, d am it sie von jed em ric h tig verstanden w erden. Ich will d ah er die Lösung geben, die ich w ahrscheinlich eingesandt haben würde, wenn ich mich an dieser Preisbew erbung h ä tte beteiligen dürfen. D a­

m it en tfällt auch je d e B evorzugung eines einzelnen Lösers. E s ist gleichgültig, w elche deutsche Münze gew echselt w erden soll, stets b ra u c h t m an zur E rzielu n g des rich tig en R esultates ein und dieselben Z ahlen­

größen. E s soll berech n et w erden, wie o ft ein F üuf- m arkstiiek gew echselt w erden kann.

D ie Stückzahl der verschiedenen M ünzsorten sei a, 5, c, . . ., so ist die G leichung

« -{— 2 —j— 5c+ lOri -j— 25e + 50/-}—100<jr — 200/t —j— 3 0 0 / = 5Ö0 in positiven ganzen Zahlen einschließlich der N ull zu lösen. E ntw eder ist t = 1 oder i — 0. D aher ist zu untersuchen, wie viele ganzzahligen L ösungen je d e der beiden G leichungen

a -}- 25 + 5 c + 1 0 c f + 2 5 e + 5 0 / '+ 1 0 0 g | + 2007i= 2 0 0 I) a + 25 + 5 c + 1 0 d + 25c + 5 0 /- f l O O g - f 2005 = 500 I I ) besitzt. S etzt man

« - ( - 2 b — 5 p, c - \ - 2 d = q, c -{— 2 f — r, g - f 2 / i = s , so g eh t die G leichung I) über in

j> + <J -f- 5 r -}- 20 8 = 40.

Die 245 L ösungen dieser G leichung lassen sich sehr einfach angeben. E s ist n u r S ch reib arb eit, die n ich t vollständig ausgeführt zu w erden b rau ch t und daher n u r w enige M inuten beansprucht. Die L ösungen sind P r e i s a u s s c h r e i b e n - , ■

S. 31.

v 0 ; o 0 1 61 01 1 10 0. 1 115! 0 11

q 0; 0 5 4 0 10 9 0 15 14 020: 19

r \ 0 4: 3 3 3 2 2 2 1 1 " " 1 0 0

«1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

P 20 i o; 01 ■ 51 0: 1 10 0 1 15 0 1

q\ 01 0 5 0.1(1 9 0 1514 0 20 19

r \ 0 81 7 7 6 6 6 5 5 " 5 4 4

$ i! 0 0 0 0, 0 0 0 0 0 0 o|

p 20! 0: 1 ¡25 0 1 30 0 1 35 0 1 40

q 0 25 24 0 30;29 0 35 34 0 40 39 0

r 4 3 3 " ‘ i 3' 2 2 " " 2 1 1 1 0 0 " 0 s 0 0 0 I 0 0 0 0 0, 0 0 0 0 0 N un besitzt je d e der beiden G leichungen

x + 2 y = 2 n und x + 2 y = 2 n -)- 1 n -|- 1 positive ganzzahlige L ösungen einschließlich der Null. D aher erh ält m an 245 P ro d u k te, deren B ildungs­

gesetz so fo rt einleuchtet. Die Sum m e dieser P ro d u k te ist die Z ahl der L ösungen der G leichung I). Die P ro ­ dukte sind 1 -1 -1 -2 ; M - 3 - 1 ; 1 - 3 - 2 1 ; 3 - 3 - 2 - 1 ; - - - 1 3 • 1 • 2 • 1; 1 - 6 - 2 1 ; 3 - 5 - 2 1 ; - - 2 6 - 1 - 2 - 1 usw.

bis 1 0 1 - 1 1 - 1 .

M an b rau ch t keineswegs die säm tlichen 245 P ro ­ dukte einzeln zu bilden und dann zu addieren. W ie eine einfache U eberlegung lehrt, h a t m an nur die folgenden Sum m en zu b ilden:

+ = 1 • 3 + 3 - 3 + 6 - 2 + 8 - 2 + 1 1 - 1 - } - 13 - 1

= • 1 • 6 + 3 • 5 -4 -6 • 5 + • • • + 2 3 - 1 + 2 6 - 1 A z — 1 • 8 + 3 - 8 + 6 • 7 + • - • + 36 • 1 + 3 8 - 1

! ? , = 1 -11 + 3 -10 + 6 10 + ••• + 4 8 - 1 + 5 1 - 1 A 3= 1 13 + 3 1 3 + 6 . 1 2 + - - - + 6 1 - 1 + 6 3 - 1