Unterrichtsblätter für Mathematik und Naturwissenschaften, Jg. 17, No. 3

Jah rga n g X V II.

U nterrichtsblätter

1911. No. 3.

f ü r

Mathematik und Naturwissenschaften.

Organ des Vereins zur Förderung des m athematischen und naturwissenschaftlichen Unterrichts.

B egründet u n ter M itw irkung von B ernhard S ch w alb e und F ried ric h P ietzk er,

von diesem geleitet bis 1909, zurzeit herausgegeben von

Prof. Dr. A . Thaer,

D ire k to r d er O b eirealsc liu le vo r dem H o lste n to re in H am b u rg . V e r l a g v o n O t t o S a l l e i n B e r l i n W. 5 7.

Redaktion: A lle fü r d ie R e d a k tio n bestim m ten M itteilungen und S en d u n g en w erden n u r an die A dresse des D ir. T h a e r , H a m b u rg 3tf, erb eten .

V erein: A nm eldungen und B e itra g sz a h lu n g e n fü r den V erein (5 Mk. Ja h re s b e itra g ) sind a n den S ch atzm eiste r, P ro fesso r P r o s l e r in H annover, K ö n ig sw o rth e rstra ß e 47, zu rich ten .

Verlag: D er B e z u g s p r e i s fü r den J a h rg a n g von 8 N um m ern ist 4 M ark, fü r einzelne N um m ern 60 P f. Die V erein sm it­

g lied er e rh a lte n die Z e itsc h rift u n e n tg e ltlic h ; frü h e re J a h r ­ g än g e sind du rch de n V e rla g bez. eine B u c h h d lg . zu beziehen.

A n z e i g e n k o s te n 25P f. fü r die3-gesp. N o n p ar.-Z eile; bei A ufgabe h a lb e ro d . g a n z e r S eiten, sow ie bei W iederholungen E rm äß ig u n g . — B eU agegebühren n ach U eb erein k u n ft.

N ach d ru ck d e r e in zeln en A rtik e l ist. w enn ü b e rh a u p t n ic h t besonders ausgenom m en, n u r m it g e n a u e r A n g ab e d er Quelle und m it d er V erp flich tu n g d e r E in se n d u n g eines B elegexem plars a n den V erlag g e s ta tte t.

I n h a l t : X X . H auptversam m lung des V ereins z u r F ö rd eru n g des m athem atischen und naturw issenschaftlichen U n ter­

richts in M ünster i. W est f. (S. 41). — G renzgänge eines Biologen. Von P ro f. Dr. S c h w a r z e in H am b u rg (S. 43). — D ie In te g ra lre c h n u n g an Gymnasien. Von P ro f. Dr. E m i l S c h u l z e in B erlin (S. 49). — A llgem eine N orm alengleichung der K egelschnitte. Von C. H o f f m a n n in S chorndorf (S. 52). — Notiz zur stetigen T eilung einer Strecke. Von 0 . H o f f m a n n in S chorndorf (S. 53). — B ildung kubischer G leichungen m it ratio n alen W urzeln. Von D irek to r D r. 0 . S c h n ei d e r in D ortm und (S. 54). — Ein B eitrag zur L eh re von den F iguren auf K ugelflächen. Von R . L i e d e r in Schw edt (S. 55). — M inisteriälerlaß vom 4. N ovem ber 1910 ü b er den naturgeschichtlichen U n terrich t in den oberen K lassen höherer L eh ran stalten (S. 56). — B ücherbesprechungen (S. 57). — Z u r B esprechung ein ­ getroffene B ücher (S. 60). — Anzeigen.

XX. Hauptversammlung

des Vereins zur Förderung des m athem atischen und naturw issenschaftlichen Unterrichts in M ü n s t e r i. W estf. vom 5. bis 8. Juni 1911.

Der O r t s a u s s c h u ß unter dem Vorsitz des H errn Geheimen .Regierungsrates Prof.

Dr. K i 11 i n g gliedert sich folgenderm aßen:

1. E h r e n a u s s c h u ß .

H err W irklicher Geheimer Ober - R egierungsrat A s c h e r , Präsident der General - Kommission; H err Prof. Dr. D i e k a m p , d. Z. R ektor der W estfälischen W ilhelm s-U niversität;

H err Dr. ju r. e tp h il. H a m m e r s c h m i d t , Landeshauptm ann; H err Regierungspräsident v, J a r o t z k y ; Herr Geheimer R egierungsrat Prof. Dr. H i t t o r f ; H err Oberbürgermeister Dr. J u n g e b l o d t ; H err L andesrat K a y s er , Stadtverordneten-V orsteher.

2. G e s c h ä f t s a u s s c h u ß . Obmann: H err Geheimer R egierungsrat Prof. Dr. K i l l i n g.

M itglieder: H err Prof. Dr. B u s z ; H err Prof. Dr. C o r r e n s ; H err Bürgerm eister D i e c k m a n n * H err Prof. Dr. K a ß n e r ; H err Geheimer R egierungsrat Prof. Dr. K ö n i g ; H err Oberlehrer Dr. L i n n e b o r n ; H err Prof. Dr. M e i n a r d u s ; H err Prof. Dr. P I a ß m a n n ; H err Prof. Dr. P ü n i n g ; H err Prof. Dr. R o s e m a n n ; H err Geheimer R egierungsrat Prof. Dr.

S a l k o w s k i ; H err Provinzialschulrat Dr. S c h i c k h e l m ; H err Prof. Dr. G e r h . S c h m i d t ; H err Prof. Dr. S t e m p e l ! - ; H err Baugew erbeschul-Direktor V o n d e r l i n n ; H err Prof. Dr.

W a n g e m a n n .

3. P r e s s e a u s s c h u ß . Obmann: H err Prof. Dr. P I a ß m a n n .

M itglieder: H err Prof. Dr. W a n g e m a n n ; H err H auptredakteur T h . W a r n e c k e als

V ertreter des Pressevereins Münster und der vier in Münster erscheinenden Zeitungen.

S. 42.

^Un t e r r i c h t s b l ä t t e r.

Jahrg. XVII. No. 3.

4. B e s i c h t i g u n g s a u s s c h u ß.

Obmann: H err Prof. Dr. P ü n i n g .

M itglieder: H err Stadtverordneter B a l t z e r ; H err Regierangsbaum eister H e n s e n ; H err Regierungsbaum eister J ü r g e n s in H enrichenburg; H err P rivatdozent Dr. K o c h ; H err B erg­

w erksbesitzer C l e m e n s M i t t e l v i e f h a u s in Recklinghausen; H err S tad tbau rat T o r m e i n , D irektor der städtischen B etriebsw erke; H err Privatdozent Dr. W e g n e r .

5. F e s t a u s s c h u ß .

Obmann: H err Geheimer R egierungsrat Prof. Dr. K i l l i n g.

M itglieder: H err Prof. Dr. B u s z ; H err Prof. Dr. H o v e s t a d t .

T ages-O rd nu ng.

M ontag, den 5. Juni, 8 Uhr abends: B egrüßung im H o t e l M o o r m a n n . D ien sta g , den 6. Juni, 9 Uhr vorm ittags: 1. allgemeine Sitzung.

9 Uhr : Begrüßungen.

9 3/ 4 U hr: Geheimer R egierungsrat Prof. Dr. K l e i n : A ktuelle Problem e der Lehrerbildung.

11 U hr: Frühstückspause.

111/ 2 U hr: Prof. Dr. B e c h e r : Raum und K ausalität.

1 2 1/4 U hr: Prof. Dr. D e h n : Ueber Inhaltslehre.

I U hr: M ittagspause.

3 Uhr nach m ittag s: 2. allgemeine Sitzung.

3 Uhr : Prof. W a l t e r S c h m i d t - D ü r e n : Vertiefung oder sogenannte allgemeine Bildung?

3 3/, U hr: Diskussion über die Vorträge von Geheimrat Klein und Prof. Schmidt.

5 U hr: Besichtigungen.

8 U hr: Bierabend im Rathaussaal auf Einladung der Stadt Münster.

M ittw och , den 7. Juni, 8 Uhr vorm ittags: Abteilungssitzungen.

A) M athematisch-physikalische Abteilung.

S U hr: Prof. Dr. P I a ß m a n n : Der heutige Stand der Lehre vom Lichtw echsel der Fixsterne.

8 3/., Uhr : Prof. Dr. v. L i l i e n t h a l : B erücksichtigung der politischen A rithm etik im U nterricht.

9 L/‘> U h r: Oberlehrer S c h m e l z e r : Ueber Busmanns K egelschnittzirkel.

10 U hr: Prof. Dr. G e b h a r d t : Ein einfacher Schulapparat zur Sichtbarm achung der Schallwellen nach Toeplers Schlierenmethode.

B) Biologische Gruppe.

8 Uhr : Prof. Dr. v. H a n s t e i n : Behandlung des Planktons im Schulunterricht.

9 Uhr : Prof. Dr. R o s e m a n n : Versuche über Biologie, die sich für den Schulunterricht eignen.

9 3/ 4 Uhr: Dr. S c h o e n i c h e n : Die Pilzkunde als Gegenstand der biologischen Uebungen der Oberstufe.

1 0 V2 Uhr : Frühstückspause.

11 U hr: 3. allgemeine Sitzung.

I I U h r: Prof. Dr. S t e m p e l l : U eber die Verwendung m ikrophotographischer Lichtbilder beim naturwissenschaftlichen U nterricht.

12 U hr: Geschäftssitzung.

1 Uhr : Mittagspause.

3 U hr: 4. allgemeine Sitzung.

3 U hr: Prof. Dr. K o n e n : Ueber einige Problem e und Ergebnisse der Spektroskopie (mit Versuchen).

3 8/ 4 U hr: Prof. Dr. T h i e l : Illustrationsversuche zur chemischen Mechanik.

4 x/ 2 U h r: Besichtigungen.

8 U hr: Festessen im Hotel Moormann (3 M. Ueberrock).

191 i. No. 3.

Gr e n z g ä n g e e i n e s Bi o l o g e n.

S. 43.

D onn erstag, den 8. Ju n i: W issenschaftliche Exkursionen.

A) Technische Exkursion.

7 U hr 58 M in.: A bfahrt nach Recklinghausen zur fachmännischen Besichtigung einer Zeche.

M ittagessen im Hotel Engelsburg (ohne W einzwang). F a h rt nach H enrichenburg zur Besichtigung des Schiffshebewerks und der im Bau begriffenen Sparsclileuse (von 14 m Höhe).

B) Geognostisehe Exkursion (Kosten 8 bis 9 M).

8 Uhr 19 Min.: A bfahrt nach Lengerich. B esichtigung der in petrographisclier und te k ­ tonischer Beziehung interessanten Aufschlüsse in der Zem entgrube. Kurze W ande­

rung, dann W agenfahrt.

12 U hr 30 M in.: F rühstück in Lommers am R otenberge bei Haßbergen.

2 U h r: W anderung, dann W agenfahrt.

6 Uhr : M ittagessen in Osnabrück.

8 U hr 49 Min.: Ankunft in Münster.

51 i t t e i 1 u n g e n . D ie H erren V ereinsm itglieder w erden d a ra u f aufm erksam gem acht, daß in den Provinzen, in denen die Pfingstfericn sich n ich t au f die ganze Pfingstw oche erstrecken, nach S eite 23 der preußischen D ienstanw eisung U rlaub fü r die V ersam m lung bei dem b e tr. Provinzial-Schulkollegium nachgesucht w erden kann. E s em pfiehlt sich, diese U rlaubsgesuche m öglichst frühzeitig einzureichen. A u f E ingaben des V orstandes an die Provinzial-Schulkollegicn ist teils eine w ohlw ollende P rü fu n g und m öglichste B erücksichtigung zugesagt, teils eine E rgänzung d u rch 51itteüung d er T agesordnung verlangt. Es ist dem nach zu hoffen, daß die G enehm igung der G esuche n ich t au f Schw ierigkeiten stoßen wird.

A enderungen und E rgänzungen der T agesordnung w erden Vorbehalten.

Das B ureau befindet sich am N ach m ittag und A bend des 5. J u n i im H otel 5Ioorm ann, A m 6. Ju n i, von 8 U hr an, im U niversitätsgebäude, wo auch die S itzungen stattfinden.

A nm eldungen zur T eilnahm e, insbesondere auch lü r das Festessen und die E xkursionen, b itten die U nterzeichneten tunlichst vor dem 1. .Tuni an den V orsitzenden des Ortsausschusses zu rich ten , d er auch A us­

k u n ft üb er W ohnungen usw. v erm itteln w ird.

Geh. R egierungsrat Prof. Dr. K i l l i n g Prof. Dr. T h a e r

V orsitzender des Ortsausschusses. d. Z. V orsitzender des V ereins.

„G ren zgän ge e in e s B io lo g e n “.

V on P ro f. D r. S c h w a r z e (H am burg).

V ortrag, gehalten im naturw issenschaftlichen V erein in H am b u rg am 22. M ärz 1911.

Im nächsten H erbst werden es zehn Jahre, daß von Hamburg, man könnte sagen von diesem Saale aus, die Bewegung für die W iederein­

führung des biologischen U nterrichts in die oberen Klassen der höheren Schulen ihren W eg in die Oeffentlichkeit nahm.

F ü r uns F achlehrer waren diese zehn Jahre eine Zeit der Versuche und des Suchens, wobei die Vorgesetzten Behörden uns in dankenswerter W eise völlige F reiheit in der Ausgestaltung des U nterrichts gelassen haben.

Bis dahin bew irtschafteten wir schlecht und recht ein kleines, aber wohlumgrenztes Gebiet, die Schulnaturgeschichte für die unteren und m ittleren Klassen, wobei uns die Auswahl und Behandlung* des Unterrichtsstoffes kein beson­

deres Kopfzerbrechen verursachte.

Durch die Neuordnung der Dinge wurde der biologische F achlehrer in die eigenartige Lage eines Mannes versetzt, der zu seinem kleinen ererbten Besitz plötzlich ein sehr viel größeres Gebiet zugewiesen erhält und dieses Gebiet, das ihm sehr interessante, aber auch sehr schwierige Aufgaben stellt, nach freiem Ermessen bew irtschaften soll.

Die ganze W elt des Lebendigen, von der Amöbe bis zum Menschen m it seinem körper­

lichen und den Grundlagen seines geistigen Lebens wurde dem U nterricht eröffnet; aber leider standen die B etriebsm ittel, die man uns für die B ew irtschaftung dieses großen und schwierigen Arbeitsfeldes zur Verfügung stellte, ich meine besonders die Stundenzahl, in einem schreienden M ißverhältnis zur Größe der Auf­

gabe. Auch die häusliche A rbeitskraft der Schüler dürfen wir, wenigstens an einigen An­

stalten, nicht in Anspruch nehm en, sondern man erw artet von uns, daß w ir an statt ehrlicher A rbeit Anregung und andere Ersatzm ittel mit schön klingenden Namen, aber geringer Z ugkraft vor den Pflug spannen, mit dem w ir unser Ge­

biet beackern sollen.

Ueber diese Schwierigkeiten und die Vor­

schläge zu ihrer B eseitigung, die von dieser Stelle aus wiederholt gemacht sind, wollte ich heute nicht sprechen, sondern über andere, die sich aus den Grenzverhältnissen des uns zuge­

wiesenen Gebietes ergeben.

Durch die G ebietserw eiterung sind w ir näm­

lich Grenznachbarn von anderen Besitzern g e­

worden, die zum Teil ältere Rechte auf dieses Gebiet geltend machen, und m it denen wir uns so gu t wie möglich einigen müssen.

Ich bitte Sie also, mich auf einem Grenz­

S. 44.

^Un t r r r i c h t s b l ä t t e r.

Jah rg . XVII. No. 8.

gange um das Gebiet des biologischen Schul­

unterrichts zu begleiten und m it m ir zu über­

legen, wie sich Grenzkonflikte vermeiden lassen, und wie sich das N achbarschaftsverhältnis für uns möglichst angenehm und fruchtbringend gestalten läßt.

Als Nachbarn kommen in B etracht einmal der H ochschulunterricht und zweitens die übrigen Schulfächer, und unter diesen hauptsächlich die exakten Naturwissenschaften, die Geographie, Geologie und die Religionslehre.

Am w ichtigsten und schwierigsten ist die Frage der G r e n z r e g e l u n g z w i s c h e n d e m II o c h s c h u l - u n d d e m S c h u l u n t e r r i c h t . Die Hochschulen beackern seit langer Zeit das­

selbe G ebiet und dürfen von uns erw arten, daß w ir ihre älteren R echte respektieren und mög­

lichst m it ihnen Hand in Hand arbeiten.

Es würde m. E. ein verhängnisvoller Fehler sein, wenn wir versuchen wollten, den Hoch­

schulunterricht, wenn auch nur in einzelnen Teilen des Gebietes, zu ersetzen oder überflüssig zu machen. W ir würden weder den Hoch­

schulen, noch unseren Schülern dam it einen Ge­

fallen t u n ; und wenn manche Hochschullehrer sich über den Fachunterricht auf den Schulen sehr skeptisch geäu ßert haben, so ist das z. T.

jedenfalls in der Besorgnis vor solchen Ueber- griffen begründet. Außerdem w ürde ein solcher Versuch schon wegen der unzureichenden Mittel, m it denen w ir arbeiten, ich meine wieder hau p t­

sächlich die Zeit, von vornherein wenig Aus­

sicht auf Erfolg haben. Allerdings dürfen wir dafür von den Hochschullehrern erw arten, daß sie ihre Vorlesungen nicht ausschließlich nach dem W issensstände der Gym nasialabiturienten einrichten, sondern mit der Vorbildung rechnen, welche die Realgymnasien und Oberrealschulen ihren Zöglingen m it auf den W eg geben. Es ist nicht einzusehen, weshalb in dieser Beziehung die naturwissenschaftlichen Vorlesungen anders behandelt werden sollen, als die philologischen.

W ill man zu einer vernünftigen Regelung des Grenzverhältnisses gelangen, so muß man d i e g r u n d l e g e n d e n U n t e r s c h i e d e z w i ­ s c h e n d e m H o c h s c h u l - u n d d e m S c h u l ­ u n t e r r i c h t scharf ins Auge fassen.

Diese liegen in der Verschiedenheit der Ziele und der zur Verfügung stehenden Mittel und K räfte begründet.

Der H o c h s c h u l l e h r e r will F a c h l e u t e für sein Gebiet ausbilden, die dieses Gebiet so vollständig wie möglich beherrschen und m it den Arbeitsm ethoden genügend v ertraut sind, um selbständige wissenschaftlicheUntersuchungen auszuführen. E r kann aus dem Vollen schöpfen und hat genügend Zeit zur Verfügung, um den Gegenstand seiner Vorlesungen m it system atischer Gründlichkeit und V ollständigkeit zu erledigen.

Andererseits kann er seine Lehraufgabe nach

Belieben spezialisieren. Liest er z. B. über vergleichende Anatomie, so nimmt es ihm nie­

mand übel, wenn er sich nur auf die Morphologie einläßt und die Physiologie und die Entw icklungs­

geschichte nebst der Gewebslelire der Organe einem anderen Kolleg überläßt. E r darf auch da­

m it rechnen, daß seine H örer imstande sind, das, was sie in verschiedenen Kollegs über verwandte W issensgebiete hören, ohne seine Hilfe in Zu­

sammenhang zu bringen und zu verarbeiten.

Der Dozent kann sich daher auch im Kolleg auf das Dozieren beschränken und braucht sich nicht zu überzeugen, ob die H örer den Lelir- gegenstand richtig' aufgenommen haben.

Im G e g e n s a t z z u r U n i v e r s i t ä t w i l l d i e S c h u l e k e i n e F a c h b i l d u n g , s o n ­ d e r n A l l g e m e i n b i l d u n g , allerdings m it den Hilfsm itteln der Fachbildung geben; denn jedes wissenschaftliche Unterrichtsfach kann nur durch die ihm eigenen Arbeitsm ethoden und Gedankengänge eine W irkung erzielen.

Die Bildung, die w ir den Schülern m it auf den W eg geben, ist um so höher zu bew erten, je fester und harmonischer ihre einzelnen Bestand­

teile m iteinander verbunden sind. Das ist eine Forderung, von deren Erfüllung unsere Schulen weit entfernt sind, und zwar die modernen noch mehr als die humanistischen. D er N atur­

wissenschaftler h at die M öglichkeit, diese F orde­

rung in bezug auf die einzelnen Teile seines Gebietes zu erfüllen. B espricht er z. B. in der Prim a die M u s k u l a t u r , so muß er neben der topographischen Anatomie die Gewebebildung, die mechanische W irkungsweise, den Stoff- und Energiewechsel und die Beziehungen zum Skelett, zum Kreislauf und zum Nervensystem berück­

sichtigen. E r w ird daneben auch noch die Hebelgesetze und den chemischen Nachweis der Säurebildung im arbeitenden Muskel zur Erklärung m it heranziehen. DerH ochschuldozent kann sich dagegen auf die topographische Ana­

tomie beschränken, diese um so eingehender behandeln und die Physiologie und H istologie einem ändern überlassen.

W ährend hier ein deutlicher Unterschied zwischen Schul- und U niversitätsunterricht zu­

tage tritt, stehen sie sich in bezug auf d i e

A u s w a h l u n d d i e A n w e n d u n g d e r

H i l f s m i t t e l f ü r d e n p r a k t i s c h e n U n t e r ­ r i c h t viel näher. Auch wir müssen unsere Schüler in die Denkweise und die A rbeits­

methoden der N aturforschung hineinführen, wenn auch nur an einigen Stellen, und w ir können dabei Mikroskop und Lupe, Messer und Schere nicht entbehren.

W ir dürfen nicht vergessen, daß auch auf dieser U nterrichtsstufe der richtige W eg von der B eobachtung und Beschreibung zur Begriffs­

und Urteilsbildung geht, und daß für die Beob-

I achtung das lebende Objekt besser ist als das

tote und dieses wieder besser als Abbildungen und Modelle. Selbstverständlich bleibt bei aller A ehnlichkeit zwischen einem Schul- und einem U niversitätspraktikum ein sehr erheblicher gra­

dueller U nterschied zwischen ihnen bestehen.

W enn die Schule eine allgemeine Bildung geben soll, so liegt darin für den Biologen auch die N otw endigkeit begrün det, die reiferen Schüler an die E rörterung derjenigen Fragen und Problem e heranzuführen, an denen jeder denkende Mensch Anteil nimmt, die für unsere moderne geistige K ultur von allgemeiner Be­

deutung sind, und von deren B eantw ortung die W eltanschauung des einzelnen bedingt wird.

W ie und in welchem Umfange solche E rörte­

rungen in der Schule behandelt werden sollen, das soll später noch untersucht werden. Jeden­

falls ist das auch ein Punkt, worin sich der S chulunterricht von der fachwissenschaftlichen Vorlesung unterscheidet, denn der Spezialist auf dem K atheder wird selten geneigt sein, der­

artige Forderungen zu berücksichtigen.

Und nun t r i t t uns die F rage entgegen, wie w ir diese Aufgaben in der außerordentlich kurzen Zeit, die uns zur V erfügung steht, und m it Schülern, deren häuslichen Fleiß wir nicht belasten dürfen, lösen sollen: daß eine auch nur annähernd befriedigende Lösung in der einen W ochenstunde nicht möglich ist, die das Real­

gymnasium dafür übrig h a t, haben w ir hier schon mehr als einmal fest gestellt.

Selbst die doppelte Stundenzahl würde nicht genügen, wenn w ir den U nterrichtsstoff nicht sehr stark einschränken würden. Stehen doch dem U niversitätsdozenten für die vergleichende Anatomie der Tiere allein mehr Stunden zur V erfügung, als den Oberrealschulen für die ganze N aturgeschichte des Tier- und Pflanzen­

reichs m it Einschluß der Physiologie, E ntw ick­

lungslehre, Psychologie, Anthropologie und der praktischen Uebungen.

W i r m ü s s e n a l s o d e n U n t e r r i c h t s ­ s t o f f k ü r z e n , i n d e m w i r a u f d i e s y s t e ­ m a t i s c h e V o l l s t ä n d i g k e i t v e r z i c h t e n . W ie soll diese Einschränkung nun erfolgen? Soll man überall gleichm äßig kürzen und von jedem K apitel einen bestimmten Teil fortlassen? Dann würde man jed er gründlichen Erörterung aus dem W ege gehen müssen, und das Ergebnis würde ein Kolleg im Depeschenstil sein, woran weder Schüler noch Lehrer Freude haben dürften. Es bleibt also nichts übrig, als aus dem Gesamt­

gebiet einige K apitel herauszugreifen und diese dafür um so gründlicher zu behandeln.

H andelt es sich um d i e a l l g e m e i n e r e n P r o b l e m e , z. B. u m d i e E n t w i c k l u n g s ­ l e h r e , so wird man sich in der Auswahl der Einzeltatsachen eine starke Beschränkung auf­

erlegen müssen und nur die Belege geben

1 9 1 1 .

No.

3 . ___________________________ Gr e n z g ä n g e e

können, die für das zu erörternde Problem von besonderer W ichtigkeit sind.

Diese Auswahl und Gruppierung von T at­

sachen, die als Beweism ittel für Hypothesen dienen so llen, ist aber eine sehr bedenkliche Sache, denn auf diese A rt lassen sich die unwahrscheinlichsten und widersprechendsten Dinge beweisen. Ich brauche zum Belege wohl nur auf die S treitschriften für und gegen D a r ­ w i n , auf W e i s m a n n und F l e i s c h m a n n z. B., hinzuweisen.

Es gibt nur einen W e g , um aus diesem Dilemma herauszukom m en: man darf überhaupt Hypothesen und Fragen, um die noch gestritten wird, nicht in dem einen oder ändern Sinne beweisen wollen, sondern muß das F ü r und W ider unparteiisch abwägen und darf dabei die unbequemen Tatsachen nicht übergehen. W enn es sich z. B. um das P r o b l e m d e r S t a m m e s ­ e n t w i c k l u n g handelt, so darf man nicht ver­

schweigen , daß man von den endlosen Z eit­

räumen, die den kambrischen Ablagerungen vor­

angingen, und ihrem organischen Leben so g u t wie gar nichts weiß, und daß die paläontolo- gischen Dokumente für die spätere Stammes- entw icklung der Tiere und Pflanzen ganz außei- ordentlich lückenhaft sind. Ein derartiges k ri­

tisches Abwägen der Gründe und Gegengründe läß t zwar hein so schönes und abgerundetes Bild entstehen, wie manche phantasiebegabten Phylogenetiker es von der Stammesgesehichte entwerfen, aber es g ib t uns die einzige Mög­

lichkeit, als ehrliche V ertreter einer ehrlichen W issenschaft vor unseren Schülern zu bestehen.

W ir sind damit von unserem Thema, dem Verhältnis des Schul- zum U niversitätsunterrichts, etwas abgeschweift, und ich darf daher vielleicht die H auptpunkte noch einmal hervorheben:

D e r S c h u l u n t e r r i c h t i n d e r B i o l o g i e v e r z i c h t e t a u f s y s t e m a t i s c h e V o l l ­ s t ä n d i g k e i t d e s L e h r s t o f f s . E r w i l l k e i n e e i g e n t l i c h e F a c h b i l d u n g , s o n ­ d e r n e i n e m ö g l i c h s t e i n h e i t l i c h e A l l ­ g e m e i n b i l d u n g m i t d e n H i l f s m i t t e l n d e r F a c h b i l d u n g g e b e n . U n t e r d e n w i s s e n s c h a f t l i c h e n P r o b l e m e n b e r ü c k ­ s i c h t i g t e r n a m e n t l i c h d i e j e n i g e n , d i e f ü r d a s g e i s t i g e L e b e n u n s e r e r Z e i t e i n e a l l g e m e i n e r e B e d e u t u n g h a b e n .

Und nun lassen Sie mich diese Leitsätze noch an einem B e i s p i e l a u s d e r U n t e r ­ r i c h t s p r a x i s erläutern.

Es möge sich um die v e r g l e i c h e n d e A n a t o m i e u n d P h y s i o l o g i e d e r T i e r e handeln, wofür, abgesehen vom P raktikum , in welchem natürlich auch manche Fragen der vergleichenden Anatomie zur Verhandlung kom­

men, etw a 30 U nterrichtsstunden verfügbar sind.

(Nebenbei bem erkt ungefähr der sechste Teil der

:i n e s Bi o l o g e n.

S.

4 5 .

S. 4(5.

Un t e r r i c h t sb l ä t t ii r .

Jah rg . XVII. No. 3.

Zeit, die der Hochschuldozent für diese beiden Gegenstände verwenden kann.) W as soll man aus dem ungeheuren Material aus wählen? Das nlichstliegende ist das S k e l e t t , einmal, weil auf diesem Gebiete die Ergebnisse der Forschung am sichersten sind, 2. weil es dem Schüler ein im wörtlichen Sinne g r e i f b a r e s und in den Sammlungen meistens gut vertretenes A n ­ s c h a u u n g s m a t e r i a l bietet und 3. weil der Schüler für diesen Teil des tierischen Organismus am meisten Vorkenntnisse aus den unteren Klassen m itbringt.

Nun heißt es aber w eiter auswählen! Die niederen Typen können nur kursorisch behandelt werden, zumal da sie gewöhnlich in der II b kurz vorher durchgenommen sind; aber auch die vergleichende Anatomie des Skeletts der W irbeltiere und des Menschen b ietet noch viel zu viel Stoff, als daß w ir alles gleich gründlich behandeln könnten.

Ich persönlich bin schließlich dahin gelangt, d i e W i r b e l s ä u l e u n d d i e G l i e d m a ß e n eingehender als das übrige vorzunehmen. Die W i r b e l s ä u l e , weil sich an ih r das B e ­ h a r r u n g s v e r m ö g e n , d . h . die B eständigkeit des Grundplanes innerhalb eines Tierstamm es am besten zeigen läßt, und weil sich bei ihr alle Entw icklungszustände vom K norpelrohr der Neun­

augen bis zur W irbelsäule des Menschen in leicht faßlicher W eise aneinanderreihen. Auch die m itogenetische Entw icklung läß t sich hier ohne Bedenken m it der phylogenetischen vergleichen.

Neben der W irbelsäule verdienen aber auch die Gliedmaßen besondere B erücksichtigung, denn an ihnen lä ß t sich das andere gestaltende Prinzip, die A n p a s s u n g a n ä u ß e r e L e b e n s ­ b e d i n g u n g e n , besonders klar nach weisen.

„ A n p a s s u n g “ ist hier ohne kausale und finale Nebengedanken als einfache Beziehung zwischen Form mul Funktion zu verstehen.

Daneben kom mt auch hier das Festhalten an einer Grundform in schönster W eise zum Aus­

druck, zumal wenn man die Organisation aus- gestorbener Zwischenglieder, z. B. des A rchä­

opteryx, m it in B etracht zieht. Nach dem Gesagten brauche ich wohl nicht zu erörtern, weshalb ich die übrigen Teile des Skelette, besonders den Schädel und das Epidermoidal- skelett, w eniger hoch als Unterrichtsgegenstände einschätze. Sie mögen für den Fachmann ebenso wichtige Problem e darbieten wie die W irbel­

säule und die Gliedmaßen; für den U nterricht sind sie weniger ergiebig, weil die Beziehungen bei ihnen w eniger klar und einfach liegen. Das schließt nicht aus, daß man z. B. die Goethesche Schädeltheorie des historischen Interesses halber kurz bespricht und würdigt.

Soviel über die Behandlung des Skelette.

W as nun die übrigen Organsysteme anbe- iangt, so erscheint mir neben dem Skelett die

vergleichende Anatomie und Physiologie des N e r v e n s y s t e m s und der S i n n e s o r g a n e der wichtigste Gegenstand für den Schulunterricht zu sein und zwar, weil sie uns auf dem nächsten W ege zu den Grundfragen der Psychologie führen, die den A usgangspunkt aller empirischen P hilo­

sophie bilden.

W ährend bei der Durchnahme des Skeletts die vergleichende Anatomie im engeren Sinne hauptsächlich zu W orte kommt, t r itt hier die Physiologie in den Vordergrund. Bei der Be­

sprechung der Sinnesorgane empfiehlt es sich vielleicht, den gewöhnlichen Lehrgang umzu­

kehren, d. h. von der Analyse der Vorstellungen und Empfindungen auszugehen und ihr die physikalische oder chemische E rk lärun g der Vor­

gänge folgen zu lassen. Auf diese A rt kann man den Schülern am besten k lar machen, daß nicht Aetherschwingungen, M olekularbewegungen und Schwerkraft, sondern unsere Empfindungen die unm ittelbar gegebenen Tatsachen sind.

W as nun noch von der vergleichenden Ana­

tomie und Physiologie übrig bleibt, also in erster Linie die Organe des Stoffwechsels und des Kreislaufs sowie die M uskulatur, das lä ß t sich z. T. im Anschluß an die zootomischen Uebungen, z.T . auch im chemischen U nterricht unterbringen.

Auch auf diesen Gebieten ist es m. E. wichtiger, die physiologischen Vorgänge, besonders die Erscheinungen des Stolf- und Energiewechsels im Tierkörper, gebührend hervorzuheben, als die Verschiedenheiten im Bau der Organe bei den einzelnen Klassen und Ordnungen bis ins einzelne hinein festzustellen.

Dieses Beispiel soll zeigen, wie mau in der vergleichenden Anatomie einerseits durch E in­

schränkung des Tatsachenm aterials, andererseits durch Verbindung der M orphologie m it der Physiologie und m it den Grundlehren der Psy­

chologie einen modus vivendi zwischen Schul- und U niversitätsunterricht finden kann, bei dem beide Teile zu ihrem Rechte kommen würden.

W ir kommen auf unserem Gi'enzgange nun zu Nachbarn, m it denen w ir Biologen schon seit langem in einem freuudnaclibarlichen Ver­

hältnis stehen, denen w ir aber durch die Aus­

dehnung des U nterrichts auf die Oberklassen viel näher gerückt sind. Ich meine d i e e x a k ­ t e n N a t u r w i s s e n s c h a f t e n , C h e m i e u n d

P h y s i k .

Die Biologie ist ihnen insofern zu besonderem Dank verpflichtet, als sie ihr das W erkzeug für die Forschung liefern, w ährend um gekehrt die Physik der Biologie viele ihrer interessan­

testen Problem e verdankt. Auf dem G ebiete der Physiologie zumal können die Nachbarn n u r durch gemeinsame A rbeit Erfolge erzielen.

Es tu t der Freundschaft keinen Abbruch,

wenn die Exakten auf alle Lebenserscheinungen,

die sich nicht klipp und klar in das g. c. s.-

1911. No. 3.

Gr e n z g ä n g e e i n e s Bi o l o g e n.

S. 47.

System einreihen lassen, zuweilen m it einer ge­

wissen Geringschätzung herabsehen, z. B. auf solche Dinge wie H unger und Liebe der K reaturen und alles Gefühlsmäßige, was doch für die Bio­

logie von höchster W ichtigkeit ist. Sie wissen ja andererseits sehr w ohl, daß Materie und Energie nur A bstraktionen von biologischen Tatsachen, nämlich von Bewußtseinsvorgängen, sind, und daß von den Dingen, m it denen sie es zu tun haben, nicht viel übrig bleibt, wenn die Em pfindungsqualitäten von ihnen abgezogen werden.

Auch zu der G e o g r a p h i e und der G e o ­ l o g i e ist die Biologie durch die E rw eiterung des U nterrichts in ein nachbarliches Verhältnis getreten. Manche W issensgebiete, z. B. die Pflanzen- und Tiergeographie, die Paläontologie und die Stammesgeschichte können die Biologen nur zusammen m it den Geologen und Geo­

graphen beackern.

Es ist Sache des S chulunterrichts, diese Beziehungen zwischen benachbarten Fächern möglichst zu pflegen. Die beste Gelegenheit dazu bietet die naturw issenschaftliche Heim at­

kunde auf Grund eigener Anschauung, wie sie auf Unterrichtsausflügen zu erwerben ist.

W ir kommen nun schließlich auf unserem Grenzgange in ein schwieriges Gelände. Schwierig insofern, als die W ege, die von uns zu den Nachbarn hinüberführen, den heimisch-gewohn­

ten Boden der Erfahrung verlassen und in das Gebiet der Spekulation einbiegen. Außerdem aber müssen wir uns an dieser Stelle besonders vor Grenzverletzungen hüten, da die Flurnach­

barn, m it denen w ir es hier zu tun haben, nicht immer die wohlwollende Gesinnung für uns hegen, wie die, von denen w ir kommen.

Ich spreche von dem Gebiete der R e l i g i ­ o n s 1 e h r e u n d d e r P h i l o s o p h i e und nenne die beiden zusammen, weil dieNaturwissenschaften, abgesehen von einigen untergeordneten Fragen, nur durch die Philosophie zur Religionslehre in Beziehung treten können.

Ehe w ir dieses G renzgebiet betreten, müssen w ir uns fragen, ob w ir nicht allen Schwierig­

keiten, die uns hier begegnen, besser aus dem W ege gehen und das ganze Gebiet den Nach­

barn überlassen sollen.

W as sagen die von der Naturforscherver­

sammlung vor zehn Jahren einstimmig ange­

nommenen Thesen Uber diesen P unkt?

D ort heißt es: „ F ü r m e t a p h y s i s c h e S p e k u l a t i o n e n h a t d i e B i o l o g i e a l s s o l c h e k e i n e V e r a n t w o r t u n g u n d d i e S c h u l e k e i n e V e r w e n d u n g “ .

Die B erechtigung dieser These ist allge­

mein anerkannt und wird von seiten der N atur­

wissenschaftler auch sicher niemals bestritten werden.

Aber M etaphysik und Philosophie sind nicht gleichbedeutend. P h i l o s o p h i e i s t f ü r u n s z u n ä c h s t d i e A l l g e m e i n w i s s e n s c h a f t , die die von den einzelnen wissenschaftlichen Disziplinen gelieferten Begriffe und Gesetze w eiter entw ickelt und zusammenzufassen ver­

sucht.

Solche Begriffe, wie M a t e r i e , E n e r g i e , E n t w i c k l u n g , gehören schon nicht m ehr den einzelnen Fächern, sondern der Philosophie an, und wir philosophieren, wenn w ir uns ein zu­

sammenhängendes Bild von der Entw icklung der A rten zu machen versuchen oder über die Entstehung der Gesichtsvorstel langen nacli- denken. Es spricht sich darin einfach das elementare Bedürfnis nach Vereinheitlichung und Zusammenfassung unseres W issens über die Grenzen des Faches hinaus oder der W ille zur geistigen H errschaft aus. Jedes wissenschaft­

liche Denken füh rt daher schließlich zu philo­

sophischen Problemen, und daraus ergibt sich für unsere modernen Schulen die Nutzanwendung, daß, wenn wir zu einer Vereinheitlichung der Schulbildung gelangen wollen, diese nur auf dem Gebiete der Philosophie liegen kann.

Nun liegen aber gerade auf dem Gebiete der Biologie, insbesondere der Psychologie, die K notenpunkte der W ege, die aus dem Gebiete der Fachwissenschaften in das der Philosophie hinüberführen; denn nicht nur das körperliche Dasein, sondern auch die Grundlagen des seeli­

schen Lebens des Menschen sind O bjekt der biologischen Forschung. Und daraus folgt weiter, daß 1. d i e B i o l o g i e a l s B i n d e g l i e d i m U n t e r r i c h t d e r O b e r k l a s s e n n i c h t z u e n t b e h r e n i s t , und daß 2. d e r b i o l o ­ g i s c h e U n t e r r i c h t d e r E r ö r t e r u n g p h i 1 o s o p h i s c h e r F r a g e n n i c h t a u s d e m W e g e g e h e n d a r f , soweit diese in der Richtungslinie der biologischen Forschung liegen.

Es sind besonders vier Fragen, denen wir immer wieder b eg eg nen :

1. Die Frage nach dem Zusammenhänge zwi­

schen physischen undBewußtseinsvorgängen, die zugleich die Frage nach der B erechti­

gung des Materialismus in sich schließt.

2. Die Frage, wie die Bewußtseinsvorgänge, die w ir als Empfindungen, Vorstellungen, Begriffe, Gefühle und W illen bezeichnen, m iteinander Zusammenhängen. (Erkenntnis­

theorie).

3. Die Frage nach dem Ursprung und der Entw ickelung des organischen Lebens und 4. die Frage nach der Stellung des Menschen

in der Natur.

Auf die beiden ersten Fragen stö ß t man bei der Durchnahme der Physiologie des Nerven­

systems, besonders aber der Sehtheorie. Sie

sind gar nicht zu umgehen, wenn man z. B. die

S. 46.

Un t e rRi c h t sB L Ä T TeR.

Jahrg. XVII. No. 3.

E ntstehung von Gesichtsvorstellungen und ihre Bedeutung für Mensch und T ier erklären will.

Die dritte und vierte Frage aber drängt sich uns auf, wenn w ir versuchen, die Befunde der Paläontologie, der Ontogenie und der mor­

phologischen Verwandtschaft unter allgemeineren Gesichtspunkten zu ordnen. Is t nun bei den Prim anern wirklich ein Bedürfnis nach philo­

sophischer Belehrung vorhanden? Die A ntw ort geben jene uns oft selber durch ihre Fragen.

W ir beurteilen sie gewiß nicht selten falsch, indem wir ihr Interesse an den allgemeinen Problemen der Menschheit unterschätzen und dasjenige an wissenschaftlichen Spezialfragen zu hoch veranschlagen.

W ie sollen w ir nun jene Probleme be­

handeln ?

W ürden w ir versuchen, sie in system atischer A usführlichkeit zu erörtern, so würde aus der biologischen Stunde ein philosophisches Kolleg werden, und wir würden außerdem genötigt sein, den Boden der Erfahrungswissenschaften zu verlassen und das verbotene Gebiet der M eta­

physik zu betreten.

F ü r uns kann es sich m. E. nur darum handeln, dem Schüler zu zeigen, wie w eit in bezug auf diese Fragen die sichere Erfahrung reicht, wo die naturw issenschaftliche Hypothese, d. h. das G ebiet der möglichen und indirekten Erfahrung beginnt, und was jenseits aller möglichen E r­

fahrung liegt und dam it niemals Gegenstand der E rfahrung sein kann.

W enn w ir unsere Aufgabe dieserart be­

schränken, läß t sie sich in wenigen Stunden erledigen, und so vermeiden w ir die Gefahr, uns in Spekulationen zu verlieren, die m it ehrlicher N aturforschung nichts zu tun haben. Zugleich aber geben w ir dem Prim aner, was er von uns erw arten darf, nämlich einen Ausblick vom Standpunkte des N aturforschers auf die Probleme, welche seit Jahrtausenden die Menschheit be­

schäftigt haben.

Und nun zu der letzten F rage: w i e s t e l l t

s i c h d e r b i o l o g i s c h e U n t e r r i c h t z u m

R e l i g i o n s u n t e r r i c h t ?

W ir müssen uns im Interesse der Schule und der Schüler dam it abfinden, denn w ir müssen immer darauf gefaßt sein, daß die Schüler selber eine A ntw ort von uns verlangen.

B etrachten w ir die Frage zunächst einmal von der rechtlichen Seite: der S taat kann von den V ertretern der verschiedenen U nterrichts­

fächer verlangen, daß sie es verm eiden, die Schüler in ethischen Grundfragen durch autori­

tativ vorgetragene und dabei sich widersprechende Lehrmeinungen in Gewissenskonflikte zu bringen.

W ir dürfen keine unbedingte Lehrfreiheit bean­

spruchen, da deren K orrelat, die Hörfreiheit, an den Schulen fehlt. W enn einem Studenten die Richtung des Dozenten nicht gefällt, so kann

er sich einen anderen aussuchen, während der Schüler uns anhören muß.

Schon diese Ueberlegung n ö tig t uns, ethische und religiöse Fragen da, wo sie sich m it n atu r­

wissenschaftlichen berühren, vorsichtig und m it Taktgefühl anzufassen.

Das ist eine äußere Notwendigkeit, der w ir uns unterw erfen müssen. Aber selbst, wenn w ir von dieser äußeren N otw endigkeit absehen und nur clas Interesse unserer Schüler in Be­

trach t ziehen, kommen w ir zu dem Schluß, daß w ir als ehrliche Biologen nie versuchen dürfen, ihnen eine W eltanschauung zu suggerieren, die den allmächtigen Schöpfer durch die allmächtige Materie oder sonst irgend eine andere m eta­

physische Allm acht ersetzt. W ir würden nur für ein Dogma ein anderes geben, das für uns genau so unbeweisbar ist wie jenes.

Das Lebensalter der Prim anerzeit ist be­

sonders empfänglich für derartige Suggestionen.

Der flügge gewordene Geist reg t seine Schwingen und lehn t sich im jugendlichen K raftgefühl gegen Herkommen und A u to rität jeder A rt auf.

„Erfahrungsw esen — Schaum und Dust!

Und m it dem Geist nicht ebenbürtig!

Gesteht, was man von je gew ußt, Es ist durchaus nicht wissenswürdig“ , sag t der sehend gewordene Schüler zu Mephisto, und es sind nicht die schlechtesten, allerdings auch nicht die für uns bequemsten Schüler, die so empfinden wie er. Da aber in diesem A lter der kritische Blick für die Schwächen dogma­

tischer Lehrgebäude noch nicht genügend en t­

w ickelt zu sein pflegt, so ist es nicht zu schwer, einen Prim aner für ein wissenschaftlich dra­

piertes Dogma zu gewinnen, wenn es sich nur gegen die Ueberlieferung und A utorität richtet.

H ier ist es unsere Aufgabe, eine unserer wich­

tigsten Aufgaben, dem Schüler klar zu machen, daß die Gottesidee ein ethisches P o stu lat ist, das jenseits jed er möglichen E rfahrung liegt, und dessen B erechtigung von seiten der N atur­

wissenschaft w eder bewiesen, noch w iderlegt werden kann. Anders g esagt: w er das B edürf­

nis des Glaubens an einen persönlichen G ott fühlt, b raucht sich diesen auf Grund natur­

wissenschaftlicher E rfahrung nicht wegdisputieren zu lassen.

Ich weiß sehr wohl, daß wir m it diesem Satz unsere Schüler nicht über allen W id erstreit zwischen Kirchenglauben und W issenschaft hin­

wegheben, aber w ir haben ihnen dann wenigstens den Blick für den K ernpunkt der Frage geschärft und ihn gew arnt, ethischen Besitz fortzuwerfeu, ehe er weiß, ob er etwas Besseres dafür ein­

tauscht.

Damit ist unser Grenzgang beendet. Das

was ich Ihnen zeigen konnte, h at nur den W ert

persönlicher Anschauungen und Erfahrungen,

aber ich bin überzeugt, daß jeder, der m it dem

19i 1 - N o - 3 - ___ Di e In t e g r a l r e c h n u n g a n Gy m n a s ie n. S . 4 9 .

biologischen U nterricht in den Oberldassen be­

tra u t is t, auf ähnliche Fragen gestoßen ist, und daß eine Aussprache darüber nicht schaden kann. Zugleich zeigen diese Gedankengänge aber, was für eine ungemein w ichtige Stelle dieser U nterricht in dem Lehrplan einnimmt oder doch einnehmen sollte, und wie tief die biologischen Problem e in das geistige Leben des Einzelnen eingreifen.

w elchen K ö rp erteil die Scheibchen in ih re r G esam theit darsteilen. M an m uß noch zum A usdruck bringen, zwischen welchen G renzflächen d er K ö rp erteil liegt.

H a t die eine G renzfläche A A ' von dem beliebig ge-

D ie I n te g r a lr e c h n u n g an G y m n a sien . Von P ro f. D r. E m i l S c h u l z e (Berlin).

A n den m eisten G ym nasien h a t sich zw ar die D ifferentialrechnung ein bescheidenes P lätzchen erobert, dagegen findet die In teg ralrech n u n g aus M angel an Z eit selten B erücksichtigung. U nd doch ist dringend zu raten, wenigstens einen V ersuch zu m ach e n , denn w enige S tunden g e n ü g e n , um ein V erständnis fü r dies so w ichtig gew ordene R üstzeug des M athem a­

tik ers bei den Schülern zu erzielen. U ebung im In teg rie ren ihnen beizubringen, dazu ist freilich keine Z eit, es ist ab er schon viel erreicht, wenn sie z. B.

fü r die in Scheibchen zerschnittene H albkugel mühelos

r O

den "Wert f x ( r - — x-) d x = — .t V! ableiten können,

1) o

w elchen W e rt sie frü h er au f U m w egen m it H ilfe des C a v a l i c r i sehen Satzes erm ittelt haben, ln dieser Z eitsch rift (Ja h rg . 16, K r. 1 und 3) h a t H e rr D irektor T h a e r einen A ufsatz „Z ur E in fü h ru n g in die I n te g ra l­

rech n u n g “, fü r O berrealschulen bestim m t, erscheinen lassen. Bei d er W ich tig k eit des G egenstandes dürfte es erw ünscht sein, wenn auch V orschläge, fü r G ym nasien bestim m t, gem acht w erden, in denen das M indestm aß dessen, was an G ym nasien zu bieten ist, angegeben w ird. D er Zweck dieses A ufsatzes ist erreicht, wenn durch ihn d er eine oder andere L e h re r am Gymnasium v eran laß t w ird, selbst einen V ersuch zu m achen.

In R ücksicht auf die knappe Z eit em pfiehlt es sich, n u r bestim m te In te g ra le in B e tra c h t zu ziehen;

von d er E xistenz u n b estim m ter In te g ra le b rau ch t der G ym nasialschüler g ar nichts zu erfahren. A m schnell­

sten d ü rfte das Ziel e rre ic h t w erden, wenn die In tegral- b etrach tu n g en au den in S cheiben zerschnittenen K örper an g ek n ü p ft w erden, denn sic sind aus den zum C a v a ­ l i e r i sehen Satze gegebenen E rläu teru n g en noch frisch im G edächtnis. U m zum A usdruck zu b ringen, w orauf der U n te rric h t sich am G ym nasium nach m einer M ei­

nung zu beschränken habe, will ich das D iktat, das ich m einen Schülern biete, h ie r wiedergeben.

1. D a s I n t e g r a l . Z erleg t m an einen K ö rp er durch P arallelsch n itte in Scheibchen (Fig. 1), so läßt sich jed es Scheibchen P P ' 0 0 ' — ZV K als Differenz zw eier K ö rp erteile P P ' N N ' — Q Q' N N ' auffassen, und d ah er stellt je d e r zwischen zwei Schnittflächen liegende K ö rp erteil A A ' B B ' eine Differenzensumme ä = 2’ (A -K ) dar. W ä h lt m an die Scheibchen unend­

lich dünn, d. h. w erden die Differenzen Ä K zu Diffe­

ren tialen d 1{, so besteht die Sum m e, in diesem Fall In teg ralsu m m e od er kurz In te g ra l genannt, aus unend­

lich vielen und unendlich kleinen Sum m anden, und man sc h re ib t: K — f d K . E benso ist die F läche F = f d F , die L in ie L — f d L , die Z eit l = J d l .

2. D i e G r e n z e n d e s I n t e g r a l s . Das neu eingeführtc Integralzeichen / d K lä ß t n ich t erkennen, I

F ig . 1.

w ählten P a ral 1 el s ch n i t t W N ' den A b s ta n d « , die andere B B' den A bstand b, so ist der K ö rp erteil

A A ' B B ' = { K ) l u

durch die B ezeichnung f d K eindeutig bestim m t. W ie b

je d e m einzelnen Scheibchen, so kann m an auch dem K örperteil selbst die F orm einer Differenz geb en :

( K ) l — K„ - Kb = A Ä N N ' — B B ' N N ' .

S. 50.

Un t e r r i c h t s b l ä t t e r.

Jahrg. XVII. No. 3.

Ebenso b e d e u te t das In te g ra l J' d F das Flächen-

b

stück (/')" = F„ — F h (Fig. 2). I s t f eine F u nktion

a

von x , so bedeute das In te g ra l f d f ( x ) die O rdinaten-

b

differenz (f (a:))“ = f ( a ) — f (b).

3. D a s I n t e g r a l f i p ( x ) d x . I s t f eine F unktion

b

von x , so ist es auch f ^ . B ezeichnet m an letztere m it d x

a ft

w (x), so nim m t das In te g ra l / d f ( x ) die F orm f cp (x) d x

b b

an. In der D ifferentialrechnung ist die F u n k tio n f ( x ) g eg eb en , u nd die F u n k tio n rp (x) = ^li f soll durch D ifferentiation gesucht w e rd e n ; in der In teg ralrech n u n g ist um gekehrt die F unktion cp(x) gegeben, und die

a

F unktion ( f (x))“ — f q (x) d x soll durch In te g ra tio n in

b

den Grenzen a u nd b e rm itte lt werden.

4. E i n i g e I n t e g r a l f o r m e l n . In der In te- a

gralsum m e / m ■ rp (x ) d x e n th ält je d e r S um m and m als

b

F a k to r ; klam m ert m an letzteren aus, so erg ib t sich die Form el

fl ft

J' in ■ rp (x) d X — in ■ J' tp (a;) d x.

b b

E ine andere Form el la u te t:

u ft fl

f (<r + >r)ft x = f <r d * + / v il -o

b_________________b__________b________

denn

f (V + V (* )) d x — 'f ( , p (x) ■ il X + V (*) • d x ) —

b b

= (rp(a-i)• d x x + V’(3'i ) • d * ,) + Ul (x.,) dx., + y>(x2) ■ d x 2) + ■■■

--- (rp (* ,)ixpA- (p («2) d x 2+ - • •) + (y> (x{) y> (a-2)d .r 2+ • • •)

— f cp (*j d x - f / ip (x) d X.

b b

E ine d ritte Form el is t:

~ m +______

denn

d x m + 1 1

r — (in 4 - 1 1 • x m, x " ‘ d x = -

d x in -f- I

C 1 1 a

f x ”' d x = l , ■ d x " + l = . . f l l x m+' = b ./ *11 “t“ 1 sl -j~ J ti

h

— ■ . (a:* + , i " = ^ («’" + 1— ¿ " + 1).

»1 + 1 ^ » in - \ - l y

A lle drei Form eln komm en z. B. zur A nw endung bei L ösung des In teg rals

/ ( 2 , 1 4 - 2a- - 0,1 ad)da; = (2,1 — 0,02*»)* , = 11,52.

- l

S tellt m an die F unktion y = 2 , 1 + 2 a: — 0,1 ad g ra ­ phisch dar (Fig. 2), so b ed eu tet obiges In te g ra l die von der K urve und der a:-Achse begrenzte F läche

A M B — ( ij • d x = f d F — (E ) ? .

- i _ i

5. V e r w e n d u n g d e r I n t e g r a l r e c h n u n g . Die In teg ralrech n u n g h a t w egen ih rer A nw endungen au f zahlreiche P roblem e d e r M athem atik u nd P hysik hohe B edeutung erlangt. Als Beispiel diene die A b ­ leitung d er K ugelform el. Das K ugelscheibchen P F QQ’

(Fig. 1) ist ein Z ylinder von d er H ö h e d x , dessen

G rundkreise den In h a lt t ■ ( r 2 — x 2) haben, sein V olum en ist d a h e r d K — :r • (r2 — x 2) • d x . F ü r die H albkugel e rh ält m an also die F o rm e l: H albkugel

= / d K — f i t (t -2 — x 2) d x = zi ■ (r2 ■ J' d x — f x 2 d x ) =

0 0 0 0

Dies D ik ta t dürfte für das G ym nasium vollständig ausreichend sein. Z w ar verm ag d er S chüler n u r I n te ­ grale von d er F orm / (a x"‘ -f- b x ”) d x zu lösen, im m er­

hin reichen seine K enntnisse zu, um die F orm eln fü r K ugel un d K ugelsegm ent. K egel und K egelstum pf, fü r U m drehungs-E llipsoid und -Paraboloid, für die P arab el­

fläche, fü r das W eg-Zeit-G esetz u. a. durch In te g ra tio n zu finden. V or allem ist der H auptzw eck e rr e ic h t: der Schüler h a t fü r das neue R üstzeug der In teg ralrech n u n g ein hinreichendes V erständnis erhalten. D as G ebotene lä ß t sich, die A nw endungen m itgerechnet, in 6 U n ter­

richtsstunden erledigen.

W e r m ehr Z eit auf die In teg ralrech n u n g verw enden will, könnte die B eziehungen des bestim m ten In teg rals zum unbestim m ten erläutern, eine Form elsam m lung an- legen lassen und den Schülern U ebung im In teg rie ren b e ib rin g e u ; nützlicher ab er d ü rfte die Z eit angebracht sein, die V erw en d b ark eit des neuen R üstzeuges an einigen besonders geeigneten M usterbeispielen zu er­

proben.

U m zu zeigen, daß das G ebotene den G ym nasial­

schüler b efäh ig t, auch schw ierigere P ro b lem e m it E r folg in A ngrill' zu nehm en, m ögen zwei Beispiele folgen.

Das eine aus der G eom etrie g ib t die A b leitu n g der F orm eln für E llipsensektor und E llipsenfläche, das andere aus d er P hysik b eh an d elt die B ew egung des elliptischen Pendels.

1. E 11 i p s e u s e k t o r u n d E 11 i p s e j n f 1 ä c h e D er K reissektor A .1191, (Fig. 3) h a t bekanntlich den Wert,

f l .

'3 6 0 0= = • arc cos N un ist

1911. No. 8.

_{Di e I}n t e g r a l r e c h n u n g a n Gy m n a s i e n.

S. 51.

. - i =

a q m% +a

gati =

- j - Va- — a r d x

't und daher ist

f \ ' a - — x 2 ■ d x = arc cos ~

J- ^

Es is t hier gelungen, au f geom etrischem AVege ein In te g ra l abzuleiten, dessen d irek te A b leitu n g dem G ym nasialschüler n ich t m öglich ist. Doch kom m t es h ierau f w enig an, die H au p tsach e ist die A nw endung.

D ie K enntnis des In teg rals lä ß t sich verw erten, um fü r den E llipsensektor A M A t eine Form el zu gewinnen.

E s ist

1 . b . A M A ^ A Q M A i + A Q A i

H ieraus fo lg t:

-j— f Ya- — x - d x.

E llipsonsektor A 1 / A, = A a b • arc cos 1

2 a

• r 2 +

und daher Ellipsenfläche : a b.

2. D a s e l l i p t i s c h e P e n d e l . E ine an einem langen Faden aufgehängte Pendelkugel brau ch t, wie d er Versuch lehrt, zu einem U m lauf im m er dieselbe Z eit, welche K u rv e sie auch beschreiben möge, voraus­

gesetzt, daß die Schw ingungen sehr klein sind. Es lieg t nahe, diese auffallende T atsache theoretisch zu b egründen, zu zeigen erstens, daß die R aum kurve, die u n te r der V oraussetzung sehr kleiner Schw ingungen als eben aufgefaßt w erden d arf, eine E llipse ist, zweitens, daß fü r je d e E llipse die U m laufszeit dieselbe ist, näm lich

\ f i 9

Fassen w ir die B ew egung der P endelkugel als Z entralbew egung auf, so h a t die Z e n tra lk ra ft annähernd den W e rt k — —— ■ r. Die L ösung des Problem s könn­

ten w ir durch L ösung der D ifferentialgleichungen d 2 x

"* 7/7-' :

in (l d 2 v m g

■ • x m , = — . ■ y

1 ~ d t 2 ~ l

h erbeiführen (z. B. K i r e h h o f f , m ath. Physik), doch ist es fü r Schulzw ecke fru ch tb rin g en d er, das E nergiegesetz zur L ösung heranzuziehen. I s t d er P endelkugel in der A nfangslage A (Fig. 4) die G eschw indigkeit c senkrecht zu A M e rte ilt w orden, und n e n n t m an v ihre Ge­

schw indigkeit in I ’, so h a t sie durch die Sum m e der E lem en tar-A rb eiten f k ■ d r in g a r-

zunahm e j ^ i n v 2 -

1.. 1 o

— 2 *“ e'

l 2

c2 erhalten, und es ist in g a2 ■— r-

die AVucht-

und daher

1) v2 — r- 4* («'- — r'-).

S tellen w ir uns vor, daß s ta tt d er einen K ra ft k zwei K räfte, die beiden K om ponenten m g

und m g

•?/>

I : l

zusam m en die Bew egung hervorrufen, so liefert das E nergiegesetz die G leichungen

f _ _ x - d x = ~ m

r m ff , j y . d y ,

v 1 m c-.

w oraus fo lg t:

2) = 9{- (a2 — x 2) 3) v = «2 - f y 2 Daß v- — Vjt -\- v,j2 ist, ist leicht zu zeigen.

Da vx — vv = ist, so e rg ib t sich aus 2) u n d 3)

4) t = ) / i r , i 4 - I 9 J f a 2 — x 2

X

wo zur A bkürzung b = c ■ 5) t-.

' l

¡l_ t d y g j Yb2 - y 2

9 gesetzt ist.

H ie r scheiden sich die W ege, die der O berreal­

schüler und d er G ym nasialschüler zu gehen haben.

E rsterem gelingt die In te g ra tio n ohne Schw ierigkeit, er erh ält

6) t = 1/ arc cos ■ 7) < = | / — arc sin 9 .

) g a I g b

D ie G leichsetzung b eid er AVerte liefert die G leichung

8) S +

p

» 1’

d. h. die K u rv e ist eine Ellipse. F ü r die U m laufszeit folgt aus (i) oder 7)

A uch der G ym nasialschüler kom m t nach kleinem Umwege zum Ziele. A us der G leichung 4) ist ersicht­

lich, daß t von c unabhängig ist, die PeDdelkugel legt also die AVcge A P , A l \ , A /b , A P 3 (Fig. 4) in der-

fi’

^{un d da-}

selben Z eit zurück. Von einem dieser AVege k en n t er die zugehörige Z eit, näm lich wenn d er W eg eine K reis­

linie is t; fü r diesen F all h a t die Z en tra lk raft k — ■ r 4 v

den W ert , woraus folgt: T = 2:

her ist l = j/ - cp, wo rp der in d er Z eit t zurückge- legte AVinkel ist. Da cos <p — ' , so ist bei der K reis­cc bew egung und infolgedessen bei je d e r Bewegung

i / / x

/ = -a rc c o s . H iern ach ist auch dem G ym nasial-

| g a

schüler die L ösung des In teg rals arc cos

S. 52.

Un t e r r i c h t s b l ä t t e r.

Jah rg . XVII. No. 3.

gelungen. D adurch ist er instand gesetzt, auch fü r das In te g ra l d er G leichung 5) eine L ösung zu fin d e n :

b

f f

d u y

,

— — = arc cos ; ±ol

, 2 _ y 2 b

/ p f e - f ...

da = 'h j is

. / 1'//■— ?/- !/- J N J - y 2

ist, so e ig ib t sich

.7

-t - — arc cos , y

2 /;

l ^ :“ r o

H ie rm it ist auch G leichung 5) gelöst und d er w eitere G ang is t der oben angegebene.

le b hoffe, an einem interessanten Beispiel e rlä u te rt zu haben, wie die G ym nasialschüler auch ohne tiefere K enntnisse der In teg ralrech n u n g ihre hohe B edeutung schätzen lernen können.

Zum Schluß sei m ir g estattet, ein E x p erim en t an­

zugeben, obgleich es m it dem T hem a nichts zu tun hat. M ir ist k ein V ersuch zur B estätigung des F läch en ­ satzes b ekannt. U nser P endelversuch lä ß t sich hierzu re c h t g u t verw erten. M an lege u n te r die K ugel eines F o u c a u l t s c h e n P endels ein B la tt P a p ie r m it der Zeichnung F ig . 3. D er K reis sei d urch die P u n k te 9Ils 3Io, 2I3! ■ • • in n gleiche Teile geteilt. H a t m an ein Bletronom so eingestellt, d aß nach n Schlägen ein U m lauf vollendet w ird, so e rg ib t d er V ersuch, daß die an d er K ugel unten angeschraubte Spitze die durch M., 81* « s. sen k rech t zu A M gezogenen G eraden nach 1, 2, 3, • ■ • S chlägen d u rch q u ert. Da je d e r der E llipscnsektoren z lI L l j. H2M--I3. ' ' den W ert

— a b h at, so d u rch streich t d er L e itstra h l in gleichen

ii

Zeiten gleiche Flächen.

A llg e m e in e N o r m a le n g le ic h u n g der K e g e ls c h n itte . V on C. H o f f m a n n (Schorndorf),

a) P a r a b e l .

D ie P arab el P y2 — 2 p x = Q w ird, wie bekannt, von der G eraden d er G leichung

(

1

^{) y = m}

b e rü h rt, und zw ar h a t der B erü h ru n g sp u n k t die K o o r­

dinaten

(2) * = o i)z> ? = £,'’

(2) g ib t eine P aram eterd arstellu n g von P u n d weil (1) in m vom 2. G rad ist, so folgt daß P 2. K lasse ist. E s soll n un die zu (1) analoge G leichung einer N orm alen von P m it gegebenem R ich tu n g sfak to r aufgestellt w er­

den*). Die N orm ale im P u n k t (2) h a t die G leichung:

p 1 / P

y — _m - _in setzt m an hierin

(3) p = — *

so e rh ä lt m an die gew ünschte G leichung in der F o r m :

*) G leich u n g (1) findet sich in den m eisten L eh rb ü ch e rn und F orm elsam m lungen angegeben, d ag eg en habe ich d ie e n t­

sprechende N orm alen g leich u n g , die f ü r m anche A ufgaben v e r­

w endet w erden kann, n ic h t vo rg efu n d e n . A llerdings is t die Z ah l d er B ücher, die m ir h ie r am O rte z u g ä n g lic h w aren , n ic h t allzu g ro ß : d a h e r w ä re es n ic h t au sg esch lo ssen , daß sic h die G leichung d a o der d o rt findet, tro tz d em d ü rfte die v orliegende A bleitung und A nw endung a u f B estim m ung d e r E v o lu te n ic h t u n n ü tz fü r den U n te rric h t sein. B esonders die einfache 1.1er- lc itu n g d e r G leichung d e r R a d i a l e n ist bem erkensw ert.

(

4

⁾ y = p x — ^ p ( 2 + /t2).

x = f p - , y — — Pih

p

D a (I) in ii vom 3. G rad ist, so folgt, daß die E volute von P als E nveloppe von (4) von der 3. K lasse ist;

für den F u ß p u n k t der N orm alen e rg ib t sich aus (2) und (3):

(

5

⁾

also eine heue P aram eterd arstellu n g von P.

B rin g t m an zwei N orm alen fü r die P a ra m e te r /q und /io zum S ch n itt, so lä ß t sich bei B estim m ung von x aus (4) der F a k to r /q — y 2 w egheben u nd es w ird

)) M

x — q (2 + . " r 4* /T /'s 4 */'22)i //— o /'i /'2 (.") 4~ t'-i)- L ä ß t m an je tz t

y2 — /q

w erden u nd bezeichnet den S c h n ittp u n k t in d er G renzlage m it ( f , »;), so kom m t nun

( 6 )

{ = £ ( 2 + 3 /fl), v = P / r l \

dies ist eine P aram eterd arstellu n g der E volute 'j?, die som it 3. O rdnung ist. E lim in ie rt m an p aus den G leichungen fü r £ und x bezw. »/ u nd //, so resultieren

f/3

die bekannten W erte £ — p + 3aq i/ = — el i mi niert m an /i aus den G leichungen (6), so g ib t dies die be-

g

kan n te E volutengleichung »;2 = ( f — p )3. F ü r den 3 K rüm m ungsradius q bekom m t m an Q = p (1 + p 2) 2 ; da ii = t g ß , wo ß der R ichtungsw inkel d er N orm alen ist, so ist auch

^ ' cos3/?’

w om it eine sehr bequem e K o n stru k tio n von q erm ög­

lich t ist. G leichung (7) kann aber auch als die G lei­

chung der R a d i a l e n V ir von P in P o lark o o rd in aten au fgefaßt w erden; in senkrechten K oordinaten erh ält m an w egen cos ß = ..:

\ * - + y -

b) E l l i p s e u n d H y p e r b e l .

A n d ie E llipse E = b- x 2 + o2 y 2 — a2 b2 — 0 ist die G erade der G leichung

(8) y — in x ± l'a 2 in2 + b2

T angente und ih r B erüh ru n g sp u n k t h a t die K oordinaten

a2 m b2

(9) |. - , y = -!: ---— -•

|'« 2 nfl + b2 )Ufi »fl + b2 Die N orm ale in (9) h a t die G leichung:

b2 1 / (fl in \

y ~Y- - r = : = * -Jt .. - .. ).

|

(fl nfl

⁺

Ifl m

^{\ l}

(fl nfl b-J

die m ittels der S ubstitution (3) in die F o rm ü b e rg e h t:

( n 2 — b 2 ) / i

(10) y = p x Y ..

] a 2 + b2 ,fl

Dies ist die allgem eine N orm alengleichung von E bei gegebener R ich tu n g , sie ist hinsichtlich u vom 4. G rad, die E volute @ von E also 4. K lasse; fü r den F u ß p u n k t re s u ltie rt aus (3) u nd (9):

«2 V- u

(11) * = ri- - , y . = z t ,

1 (fl + b2 /fl I «2 + b2 /fl

so daß (9) und (11) zwei verschiedene P aram eterd ar­

stellungen von E sind.

*) Diese K urve findet sic h fü r p — 1 a ls A ufgabe 5Ut> bei B ü r k l e n , A u fgabensam m lung z u r a n a ly tisc h e n G eom etrie d e r E bene (L eipzig 1905, S am m lung Göschen N r. 256), a b e r ohne A ngabe ih r e r B e zieh u n g z u r P arabel.