ZESZYTY NAUKOWE POLITECHNIKI SL4SKIEJ S e r i a : ATJTOŁiACKKA z . B4
_______ -i 966 itr k o l . 894
- J e r z y Klamka P o l i t e c h n i k a Ś lą s k a
• STEROWALNoŚĆ DYSKRETNYCH UKŁA.DOW DYNAMICZNYCH - PRZEKŁAD PROBLETOW3*
S t r e s z c z e n i e . A r t y k u ł s ta n o w i p r z e g l ą d problem ów s t e r o w a l n o ś c i d y s k r e t n y c h uk ład ó w d y n a m ic z n y c h o p raco w an y na p o d s ta w ie p u b l i k a c j i z o s t a t n i c h l a t . P r z e d s ta w io n o w a ru n k i s t e r o w a ln o ś c i d la lin io w y c h , n i e l i n i o w y c h o r a z b i l i n i o w y c h u k ład ó w d y s k r e t n y c h . U kłady ty p u 2-D s ą ró w n ie ż r o z p a t r y w a n e . Omówiono z a l e ż n o ś c i p o m ięd zy różnym i rodzaw ja m i s t e r o w a l n o ś c i o r a z s te ro w a n ie m m in lr o a ln o - e n e r g e ty c z n y a .
1 . W stęp
S te r o w a l n o ś ć u k ład ó w d y n a m ic z n y c h j e s t jed n y m z p o d staw o w y ch p o ję ć t e o r i i s t e r o w a n ia . Z a g a d n ie n i e s t e r o w a l n o ś c i z o s t a ł o po .o z p ie r w s z y s f o r m ułow ane. p r z e z R .E . K alm ana na K o n g r e s ie IFAC w M oskwie w 1960 r . [28] . W c i ą g u ć w ie r ć w ie c z a j a k i e u p ły n ę ło od te g o c z a s u n a s t ą p i ł b u r z liw y rozw ój t e o r i i s t e r o w a l n o ś c i , o czym n a j l e p i e j ś w ia d c z y i l o ś ć p r a c naukow ych na t e n t e m a t, o p u b lik o w a n y c h w l i t e r a t u r z e ś w ia to w e j .
R ó w n o le g le z rozw ojem t e o r i i s t e r o w a l n o ś c i c i ą g ł y c h u kładów d y n am icz
n y ch p o w s ta w a ły p r a c e d o ty c z ą c e z a g a d n ie ń s t e r o w a l n o ś c i d y s k r e tn y c h u k ła dów d y n a m ic z n y c h zarów no n i e l i n i o w y c h j a k i lin io w y c h .
N i n i e j s z y a r t y k u ł s ta n o w i p r z e g l ą d p roblem ów s t e r o w a l n o ś c i w o d n i e s i e n i u do r ó ż n y c h typów d y s k r e tn y c h u k ład ó w d y n a m ic z n y c h . R o z p a tr u j e s i ę uk
ł a d y l i n i o w e s t a c j o n a r n e i n i e s t a c j o n a r n e , u k ła d y n i e l i n i o w e , b i l l n i o w e o r a z u k ła d y ty p u 2 -D . P o d an e z o s t a n ą podstaw ow e d e f i n i c j e s t e r o w a l n o ś c i o r a z s fo rm u ło w a n e z a s a d n i c z e k r y t e r i a j e j b a d a n i a . W s z y s tk ie tw rie rd z e n ia i w n io s k i s ą p r z y t o c z o n e b e z dowradów, j e d y n i e z o d n o śn ik a m i do t y c h p o z y c j i l i t e r a t u r o w y c h , w k t ó r y c h z a m ie s z c z o n e s ą p e łn e dow ody. A r ty k u ł z a w ie ra rów m ież s z e r e g k o m e n ta rz y 1 uwag d o ty c z ą c y c h z a g a d n ie ń b e z p o ś r e d n io z w ią z a n y c h z e s t e r o w a l n o ś c i ą o r a z m o ż liw o ś c i pew nych u o g ó ln ie ń .
2 . S te r o w a l n o ś ć l i n i o w y c h u k ład ó w d y s k r e tn y c h
W n i n i e j s z y m p o d r o z d z i a l e z o s t a n ą p o d a n e podstaw ow e d e f i n i c j e s t e r o w a ln o ś c i o r a z k r y t e r i a i c h b a d a n ia w o d n i e s i e n i u do li n io w y c h , d y s k r e tn y c h układów d y n a m ic z n y c h o p is a n y c h ró żn ico w y m i ró w n an iam i s t a n u p o s t a c i n a s t ę p u j ą c e j [55] s
x(k+1) » A(k) x (k) + B(k)„u (k) ;k * k 0 / 2 *1/
iś p r a c a b y ł a c z ę ś c io w o f in a n s o w a n o p r z e z R P * I» 0 2 ‘'T e o r i a s t e r o w a n i a i o p ty m a l i z a c j a c i ą g ł y c h u k ła d ó w d y n a m ic z n y c h i p ro c e s ó w d y s k r e t n y c h “
J .K l e a k a g d z i e ; k £ Z - z b i ó r l i c z b c a ł k o w i t y c h ,
x ( k ) £ Rn je 3t w ek to rem s t a n u u k ła d u , u ( k ) £ R m J e s t w ektorem s t e r o w a ń , A (k) J e s t n x n - w ym iarową m a c i e r z ą , B (k ) J e s t n x m - w ym iarow ą m a c i e r z ą .
P o d o b n ie J a k w p rz y p a d k u c i ą g ł y c h u k ła d ó w d y n a m ic z n y c h , d l a u k ła d u dys
k r e t n e g o p o s t a c i / 2 . 1 / można sfo rm u ło w a ć d e f i n i c j e r ó ż n y c h ro d z a jó w ste
rowa In o ś c i [2 5 ] , [55] •
D e f i n i c j a 2 . 1 . U cład / 2 , 1 / nazyw a s i ę ste ro w a ln y m w p r z e d z i a l e [k o . k ^ ] , J e ż e l i d la k a ż d e g o s t a n u p o c z ą tk o w e g o x [ k o ^ £ R n o m z k a ż d e ;p w e k to ra x^ e i s t n i e j e s e k w e n c ja s te r o w a ń u (k o ] , u ( k Q + l ) , . . u(k- - 2 ^ , u ^ k ^ -1 ) t a k a , ż e o d p o w ia d a ją c a t e j s e k w e n c ji t r a j e k t o r i a u k ła d u / g . 1 / s p e ł n i a w arunek : x ( k ^ ) ° x.j
D e f i n i c j a 2 . 2 . U kład / 2 . 1 / nazyw a s i ę s te ro w a ln y m w c h w i l i k Q, J e ż e l i i s t n i e j e > k^ t a k i e , ż e u k ła d / 2 . 1 / J e s t s t e r o w a ln y w p r z e d z i a l e I V k i ^ •
D e f i n i c j ą 2 , 5 . U kład / 2 . 1 / nazyw a s i ę sterow alnym i J e ż e l i J e s t o n s te r o w a l n y w d o w o ln e j . c h w i l i k Q 6 Z .
S z c z e g ó ln y m p rz y p a d k ie m u k ła d u / 2 . 1 / J e s t s t a c j o n a r n y , l i n i o w y , d y s k r e t n y u k ła d d y n am iczn y p o s t a c i
x ( k + l) o A x (k ) + B u (k ') f k > 0 / 2 . 2 /
d la k t ó r e g o b e z u t r a t y o g ó ln o ś c i można p r z y j ą ć c h w ilę p o c z ą tk o w ą k o = 0 . W p r z y p a d k u s t a c j o n a r n e g o u k ła d u d y s k r e t n e g o ¡ 1 . 2 1 p o j ę c i a s t c r o w a l - n o ś c i w c h w i l i ko o r a z s te r o w a In o ś c l p o k r y w a ją s i ę z e s o b ą .
P o n i ż e j z o s t a n ą sfo rm u ło w a n e w a ru n k i k o n i e c z n e 1 w y s t a r c z a j ą c e s t e r o - w a lrs o śc i d l a u k ład ó w / 2 . 1 / 1 ¡ 2 . 2 / .
T w ie r d z e n ie 2 .1 [55] W arunkiem k o n ie c z n y m i w y s ta r c z a ją c y m s t e r o w a l
no ś c i w p r z e d z i a l e [k p f k ^ ] i& ła d u d y n a m ic z n e g o / 2 . 1 / J e s t ab y
r z ą d [ B ( k 1- l ) U ( k 1- l ) B (k r 2 ) | A O ^ - i ) A (k 1- 2 ) 8 ( ^ - 3 ) . ' . . .
. . . } A ( y i ) A (k r 2 ) . . . A (k0 + 2 ) A (k0 + 1 ) B ( k ) j - n / 2 . 3 /
W niosek 2 . 1 * [2 9 ] . J e ż e l i B ( k ) a b ( l t ) 6 R n , t z n . m - 1 , wówczas warunkiem koniecznym i w y sta r c z a ją c y m s t e r o w a l n o ś c l w p r
2
e d z l a l e [ k o »ko +n]u k ła d u d yn am iczn ego / 2 , 1 / j e s t aby
d e t [b (k o +n~l) ! A(k0 + n - l) b ( k o +n-2 ) j A(k0 + n -1 ) A (ka +n-2 ) b (k 0* n -3 )j . . .
. . . . j A[k0 *n-1) A[k0 « i - 2 ) . . . A(k0 +2) A(ke +1) f 0 / 2 . V
S te r o w a ln o ś ó d y s k r e t n y c h u k ład ó w . 105
Na p o d s ta w i e t w ie r d z e n i a 2 .1 o r a z w n io sk u 2 .1 n o żn a sform ułov.ać k r y t e r i a s t e r o w a l n o ś c i d l a s t a c jo n a r n y c h u k ład ó w d y s k r e tn y c h p o s t a c i / 2 . 2 / .
W niosek 2 . 2 . Vía ru n k ie m k o n iecz n y m i w y s ta r c z a ją c y m s t e r o w a l n o ś c i w p r z e d z i a l e [ O .k .J u k ła d u dyn am iczn eg o / 2 . 2 / j e s t ab y
2 k -1
r z ą d [ B | AB j A b ¡ . . . j A ”* B ] ° n / 2 . 5 /
Y inlosek 2 . 3 . [55] J e ż e l i B ■=> b £ R n , t z n . m =■ 1, wówczas w arunkiem k o n ie c z n y m i w y s ta r c z a ją c y m s t e r o w a l n o ś c i w p r z e d z i a l e [O n ] u k ła d u d y n a
m icznego / 2 . 2 / j e s t a b y
d e t [ b ¡' Ab I A2 b ¡ . . . ¡ An' \ ] r O / 2 . 6 /
Vínlosek 2 . A. [29] J e ż e l i u k ła d dynam iczny / 2 . 2 / j e s t s te r o w a ln y w p r z e d z i a l e [ O j k ^ t o j e s t ró w n ież s t e r o w a ln y w p r z e d z i a l e [ 0 , k 2 ] d la k a ż d e g o k 2 > . k , .
V /y n ik an ic o d w ro tn e do p rz e d s ta w io n e g o we w n io sk u 2 .4 na o g ó ł n i e j e s t p ra w d z iw e . N a to m ia s t b e z p o ś r e d n i ą k o n s e k w e n c ją t w i e r d z e n i a C a y le y a -
- H a n i l t o n a j e s t n a s t ę p u j ą c y w n io se k -
W niosek 2 . 5 . [4 ] . ^ e i e l i s t a c j o n a r n y u k ła d dy n am iczn y / 2 , 2 / n i e j e s t s te r o w a ln y w p r z e d z i a l e [ 0 , n ] , to n i e j e s t o n s t e r o w a ln y w żadnym p r z e d z i a l e .
W o p a r c i u o w n io s k i 2 . 2 o r a ż 2 . 4 . ' sen so w n e j e s t o k r e ś l e n i e d la s t a c j o n a r n y c h u k ład ó w d y s k r e tn y c h / 2 . 2 / , n a j k r ó t s z e g o p r z e d z i a ł u CO<'cn i_n^’
w k tó ry m d an y u k ła d j e s t s t e r o w a l n y . L ic z b a ' n a t u r a l n a k ^ n n o s i nazw ę in d e k s u ' s t e r o w a ln o ś c i . i można j ą o sz a c o w a ć w s p o s ó b n a s t ę p u j ą c y [ 4 ] :
rain ^ n - r + 1 , ñ ) / 2 . 7 /
g d z i e ;
r « r z ą d B,
ñ -■ s t o p i e ń m in im aln eg o w ie lo m ia n u z e r u j ą c e g o , , m a c ie r z y A , ( ń i n )
W l i t e r a t u r z e p o ś w ię c o n e j s t e r o w a l n o ś c i li n i o w y c h u kładów d y s k r e t n y c h s p o ty k a s i ę c z ^ 3 t o . p o j ę c i e s t e r o w a l n o ś c i do z e r a [2 9 ] , [59] . J e s t ono rów - - n i e ż równoważne' o d p o w ie d n ia p o ję c io m s t e r o w a l n o ś c i sform ułow anym w d e f i n i c j a c h 2 . 1 , 2 .2 o r a z 2 . 3 ¿ e d y ń ie w p rz y p a d k u b r a k u d e g e n e r a c j i uk
ł a d u , t z n . w p r z y p a d k u , gdy m a c ie r z e A (k ) s ą n i e o s o b l l w e d l a k £ 2 -[29], i s t o t n y m p roblem em j e s t z b a d a n i e wpływu o g r a n i c z e ń n a ło ż o n y c h na s t e ro w a n ie na s te ro w a In o śó u k ł a d u . W p r a c y [9] r o z p a t r z o n o t o z a g a d n i e n ie
106
J «K lam kad la u kładów s t a c j o n a r n y c h / 2 , 2 / z Jednym w e jś c ie m (m *= 1 ) 1 d o d a tn im s te ro w a n ie m , a w p u b l i k a c j i [ 1 ] ze s te ro w a n ie m c a łk o w it o - l ic z b o w y a i,
W p rz y p a d k u g dy u k ła d d y s k r e t n y o tr z y m u j e s i ę b e z p o ś r e d n io na d ro d z e - d y s k r e t y z a c j i u k ła d u c i ą g ł e g o , wówczas s t e r o w a ln o ś ć u k ła d u c i ą g ł e g o n i e zaw sze g w a r a n tu j e s t e r o w a ln o ś ć u k ła d u d y s k r e t n e g o . D la u k ład ó w s t a c j o n a r - . n y c h z a l e ż n e j e s t to w s p o s ó b i s t o t n y od w a r t o ś c i w ła s n y c h u k ła d u c i ą g ł e go [2]» 0 1 * '
S te r o w a ln o ś ć u k ład ó w d y s k r e t n y c h z o p ó ź n ie n ia m i zarów no we w s p ó łr z ę d n y c h s t a n u j a k i w s t e r o w a n iu ro z p a try w a n a b y ła w p r a c a c h [ 3 J , [21] , [ 2 9 ] , [31] ,
[ 3 8 ] , [ 4 2 ] , N a to m ia s t s te r o w a ln o ś ć z ło ż o n y c h u k ład ó w d y s k r e t n y c h p r z e d s t a w iona j e s t w p u b l i k a c j a c h . [ 4 6 ] o r a z [47] ,
Z a le ż n o ś ć w ła s n o ś c i s t e r o w a l n o ś c l od z m ia n p a ra m e tr ó w u k ła d u a n a liz o w a n a b y ła s z c z e g ó ło w o w p r a c y [54] .
P o d o b n ie j a k d la c i ą g ł y c h u k ład ó w d y n a m ic z n y c h t a k ż e w p r z y p a d k u u k ła dów d y s k r e t n y c h można p r z y z a ł o ż e n i u s t e r o w a l n o ś c l w p r z e d z i a l e [ k ^ r k ^ ] e f e k t y w n i e r o z w ią z a ć p ro b le m s t e r o w a n ia z m in im a ln ą e n e r g i ą , p o l e g a j ą c y na w y z n a c z e n iu s e k w e n c ji s te r o w a ć u (k 0 ) , u (k 0t l ) > • • • » 0 ( ^ - 2 ) , u ( k ^ - 2 ) p r z e p r o w a d z a j ą c e j u k ła d z e s t a n u p o c z ą tk o w e g o x ( k 0 ) d0 ż ą d a n e g o s t a n u końcow ego x ( k 1) o r a z m in im a liz u ją c e g o e n e r g i ą s t e r o v a n i a . A n a lit y c z n a p o s t a ć s t e r o w a n ia m ln im a ln o - e n e r g e ty c z n e g o o r a z o d p o w ia d a ją c a J e j m in i
m alna w a r to ś ć e n e r g i i s t e r o w a n ia s ą p o d an e w p r a c a c h [30] o r a z [5 0 ] , R o z s z e r z e n i e r e z u l t a t ó w d o ty c z ą c y c h s t e r o w a l n o ś ć ! li n io w y c h u kładów d y s k r e t n y c h na p r z y p a d e k u k ład ó w z d e f i n io w a n y c h w n ie s k o ń c z e n ie - w y m ia ro w y c h p r z e s t r z e n i a c h H i l b e r t a i B anacha o r a z a n a l i z ą w y n ik a ją c y c h s t ą d p r o b l e mów z a w i e r a j ą n a s t ę p u j ą c e p o z y c je l i t e r a t u r o w e [16 ] , [1 7 ], [ 1 8 ] , [22] , [31] ,
[ 3 8 ] , [4 9 ] « S to su n k o w o d u żo uw agi p o ś w ię c o n o w n i c h d y s k r e tn y m układom d y nam icznym z o p e r a to r e m p r z e s u n i ę c i a , a t a k ż e p r o b l e m a t y c e i c h r e a l i z a c j i z w y k o rz y s ta n ie m p o d p r z e s t r z e n i n ie z m ie n n i c z y c h o p e r a t o r a p r z e s u n i ę c i a o r a z w e k to ro w y c h o p e r a t o r ó w H an k e la [1 6 ] , [1 7 ], [18] .
S z e re g d a l s z y c h r e z u l t a t ó w d o ty c z ą c y c h w zajem n y ch zw iązków p o m ięd zy s t e r o w a l n o ś c i ą , o b s e r w o w a ln o ś c ią i s t a b i l l z o w a l n o ś c i ą u k ła d ó w d y s k r e t n y c h p r z e d s ta w io n y c h j e s t w p r a c a c h [24] , [2 5] [ 4 0 ] , [4 3 ], [44] , [ 4 5 ] , [49] , [ 50] ,
[55] .
3 . S te r o w a ln o ś ć n i e l i n i o w y c h u k ła d ó w d y s k r e t n y c h
T e o r ia s t e r o w a l n o ś c l d la n i e l i n i o w y c h d y s k r e t n y c h u k ła d ó w d y n a m ic z n y c h n i c J e s t t a k s p ó j n a i j e d n o l i t a j a k w p r z y p a d k u u k ła d ó w li n i o w y c h . W ię k s z o ść u z y s k a n y c h k r y t e r i ó w s t e r o w a l n o ś c l ma c ł e r a k t e r l o k a l n y , l u b o d n o s i s i ę J e d y n i e do p ew n ej w ą s k ie j k l a s y u k ła d ó w . Z a s a d n ic z ą p r z y c z y n ą t r u d n o ś c i w y s tę p u j ą c y c h p r z y b a d a n i u s t e r o w a l n o ś c l n i e l i n i o w y c h d y s k r e t n y c h
S te r o w a l n o ś ć d y s k r e t n y c h u k ład ó w . . . 107
u k ład ó w d y n a m ic z n y c h , J e s t b r a k o g ó ln y c h m etod ro z w ią z y w a n ia n ie l i n i o w y c h rów nań r ó ż n ic o w y c h i w y z n a c z a n ia a n a l i t y c z n y c h p o s t a c i i c h r o z w ią z a ń . W yklucza t o m o żliw o ść z a s t o s o w a n ia do b a d a n ia s t e r o w a l n o ś c i m etod o p a r t y c h na a n a l i z o w a n i u ja w n y c h p o s t a c i r o z w ią z a n i a , j a k to m ia ło m ie js c e w p r z y p a d k u u k ład ó w li n io w y c h .
N a j c z ę ś c i e j s to s o w a n ą 1 d a j ą c ą n a j l e p s z e w y n ik i j e s t m etoda b a d a n ia s te — r o w a ln o ś c i n i e l i n i o w y c h d y s k r e t n y c h u k ład ó w d y n a m ic z n y c h w o p a r c i u o i c h p r z y b l i ż e n i e li n i o w e w danym p u n k c ie p r a c y u k ła d u . P o n iż e j p rz e d s ta w im y p o k r ó t c e z a s a d n i c z e r e z u l t a t y w y n ik a ją c e z z a s to s o w a n ia t e j m etody w o d n i e s i e n i u do o g ó l n e j k l a s y n i e l i n i o w y c h , n i e s t a c j o n a r n y c h , d y s k r e tn y c h u k ład ó w d y n a m ic z n y c h o p is a n y c h rów naniem różnicow ym p o s t a c i :
x ( k + l) «■ f (k , x ( k ) , u [k )) } k » k Q / 3 . 1 /
g d z ie « x ( k ) £ Rn j e s t w ek to rem s t a n u u k ł a d u } u (k ) 6 Rro j e s t w ek to rem s te ro w a ń
f s . R x Rn x Rm ► rP,
D la n ie l i n i o w e g o u k ła d u d y s k r e t n e g o / 3 * 1 / można sfo rm u ło w ać k i l k a różnych
■ d e f i n i c j i s t e r o w a l n o ś c i . .
D e f i n i c j a 5 . 1 . [39] , [ 5 3 ] U k ład / 3 . 1 / nazyw a s i ę ste ro w a ln y m z e z b i o r u D^ C Rn do z b i o r u D^ C Rn w p r z e d z i a l e [ k Q, k ^ j , j e ż e l i d la k a ż d e g o
s t a n u p b c tą tk o w a g o x ( k Q) £ Dq i k a ż d e g o w e k to ra x^ € D^ i s t n i e j e s e k w e n c ja s te ro w a ń u ( k Q) , u ( k Q+ l) , , u ( k ^ - 2 ) , u ( k ^ - l ) t a k a , że odpo
w ia d a ją c a t e j s e k w e n c ji t r a j e k t o r i a u k ła d u ./3 » 1 / s p e ł n i a w aru n ek : x ( k 1 ) - x n .
D e f i n i c j a 3 - 2 . [3 9 ] , [5 3 ] U c łe d / 3 . 1 / nazyw a s i ę s te ro w a ln y m z o z b i o r u D C Rn do z b i o r u D. C Rn w c h w a li k , j e ż e l i I s t n i e j e
O. 1 o
k . > k , t a k i e ż e u k ła d / 3 . 1 / j e s t s t e r o w a ln y z D do D w p r z e -
1 0 ° l
d z i a l e [ k Q. k . ] •
D e f i n i c j a 3 . 3 . [ 3 9 ] , C5 5 ] U kład / 3 . 1 / nazyw a s i ę ste ro w a ln y m ze z b i o r u Dq C Rn do z b i o r u D1 C Rn f j e ż e l i d la k a ż d e g o s t a n u p o c z ą t k o wego x ( k Q) € Dq i k a ż d e g o w e k to ra x 1 ó D^ i s t n i e j e > k^ o r a z s e k w e n c ja s te r o w a ń u ( k Q) » u 0 co'4' 1 ) • **• » u (k 1" 2j> u( k 1“ '*} t a k a » że o d p o w ia d a ją c a t e j s e k w e n c ji t r a j e k t o r i a u k ła d u / 3 . 1 / s p e ł n i a w arunek
x ( k i ) = x 1 . ■ .
j e ż e l i D «■ D^- D , t o z a m i a s t " s t e r o w a l n o ś c i z Dq do D^ " mówimy w s k r ó c i e o " s t e r o w a l n o ś c i w D J e ż e l i n a t o m i a s t Dq = r" o r a z D^ - 0 ,
108 J .Klamka
t o nów im y-o " s t e r o w a l n o ś c i do z e r a " , W p r z y p a d k u gdy [ o j j e s t p u n k tem w ew nętrznym z b i o r u D = E>o *, używamy t e r m i n u " l o k a ln a s te r o w a ln o ś ć " .
Zauważmy, ż e " s te r o w a ln o ś ć z Dq do w p r z e d z i a l e [ k 0 »k 1 ] " i m p l i k u je
" s te r o w a ln o ś ć z Dq do w c h w i l i k^" f k t ó r a z k o l e i i m p l i k u j e " s t e r o w a l n o ść z I>o do " , W y n ik an ie w s t r o n ę p r z e c i w n ą n i e zaw sze z a c h o d z i .
T w ie r d z e n ie 3 . 1 . [5 3 ] J e ż e l i f u n k c j a f j e s t ró ż n ic z k o w a n a w o t o c z e n i u z e r a w zględem d r u g ie g o i t r z e c i e g o a rg u m e n tu o r a z
f ( k , 0 , 0 ) . 0 d la k > k o /.3 .2 /
A ( k ) - ~ - (k ,0 , 0; B ( k ) . - 2 £ - ( | C |0 ,.O ) , d l a . k > k 0
a x o u
/ 3 . 3 /
t o w aru n k iem w y s ta r c z a ją c y m l o k a l n e j s t e r o w a l n o ś c i w p r z e d z i a l e [ k Q, k ^ ] n i e l i n i o w e g o u k ła d u / 3 . 1 / j e s t s t e r o v a l n o ś ć w p r z e d z i a l e u k ła d u lin io w e g o / 2 . 1 / o m a c i e r z a c h A ( k ) i B (k ) d a n y c h w2 orera / 3 - 3 / .
W p r a c y [51 ] p r z e d s ta w i o n o m eto d ę o k r e ś l a n i a z b io r ó w o s i ą g a l n y c h d la c k ła d u / 3 . 1 / o p a r t ą na t w i e r d z e n i a c h o p u n k ta c h s t a ł y c h o d w zo ro w ań .
O s t a t n i o do b a d a n ia s t e r o w a l n o ś c i p ew n y ch k l a s n i e l i n i o w y c h u k ład ó w d y s k r e t n y c h w y k o r z y s tu je s i ę m eto d y a l g e b r y d e c y z y j n e j p o z w a la j ą c e w sk o ń c z o n e j i l o ś c i o p e r a c j i s t w i e r d z i ć c z y d a n y u k ła d j e s t s t e r o w a l n y
[
39]
.D o ty c z y to g łó w n ie sto su n k o w o s z e r o k i e j i w a ż n e j z p u n k tu w id z e n ia z a s t o sowań k l a s y d y s k r e t n y c h u k ła d ó w w ie lo m ia n o w y c h
x ( k + l ) » A ( u ( k ) ) x ( k ) + b ( u ( k ) ) y 0 / 3 * V
g d z ie .- A (u) i b ( u ) s ą o d p o w ie d n io n x n - w ym iarow ą n a c i o r z ą i n -w y m ia- rowym w e k to re m , k t ó r y c h w s p ó ł c z y n n i k i s ą w ie lo m ia n a m i w zględem s k a l a r n e g o s t e r o w a n i a u .
T w i e r d z e n i e 3 * 2 . .[39] J e ż e l i w ie lo m ia n o w y u k ła d je d n o r o d n y
x (k-M ) <= A (u(k>) x ( k ) j k ^ 0 / 3 . 5 /
j e s t s t e r o w a ln y w Rn ^ j o } , t o i
h / d la k a żd eg o x € Ra ' ' j 0 } i s t n i e j e k ^ d la k tó r e g o suma a lg e b r a i c z n a p o d p r z e s t r z e n i
S te r o w a ln o ś ć d y s k r e t n y c h u k ład ó w
109
l i n i T T A ( u ( k ) ) x [
l k = O J
po w s z y s t k i c h u ( 0 ) , u (1), . . . , u ( k 1“ 1) j e s t równa Rn . / 2/ i s t n i e j ą k 2 o r a z s e k w e n c ja s te ro w a ń u ( 0 ) , u ( l ) , . . . , u ( k 2“ l ) t a k i e , ż e m a c ie rz
A (u (k ))
nią r z e c z y w i s t ą w a r to ś ć w ła s n ą o m odule m n ie js z y m od j e d n o ś c i , r ó ż n ą od z e r a .
S z e re g d a ls z y c h r e z u l t a t ó w i a lg o ry tm ó w d o ty c z ą c y c h z a s to s o w a n ia m etod a l g e b r y d e c y z y j n e j do b a d a n i a s t e r o w a l n o ź c l u kładów w ielo m ian o w y ch p o d a n y c h j e s t w p r a c y [39] .
4 . S te r o w a l n o ś ć b i l l n i o w y c h u k ład ó w d y s k r e tn y c h
. S z c z e g ó l n ie i s t o t n ą z p u n k tu w id z e n ia z a s to s o w a ń k l a s ą n ie l in i o w y c h u k ład ó w d y s k r e t n y c h s ą b i l i n i o w e , s t a c j o n a r n e u k ła d y d y s k r e t n e ,
- je d n o r o d n e
x (k + l)= ( A + B u(k )) x ( k ] , k > 0 A . 1 /
- o r a z n i e j e d n o r o d n e
x(k+ 1) = (A + B u(k)) x ( k ) + b u ( k ) , k » 0 / A . 2 /
g d z i e : x ( k ) £ R11 j e s t w e k to re m s t a n u , u ( k ) € R j e s t s k a la rn y m s te r o w a n ie m , A j e s t n x n - w ym iarow ą m a c i e r z ą ) B j e s t n x n - w ymiarowym i m a c ie r z a m i, b e Rn .
D e f i n i c j e ró ż n y c h r o d z a jó w s t e r o w a l n o ź c l sfo rm u ło w an e w t r z e c i m j o z - d z i a l e o d n o s z ą s i ę ró w n ie ż do u k ład ó w b i l l n i o w y c h . Z a g a d n ie n ia s t e r o w a l - n o ś c i do z e r a o r a z s t e r o w a l n o ś c i w Rn d y s k r e tn y c h u k ład ó w b i l l n i o w y c h ro z w a ż a n e b y ły w l i c z n y c h p u b l i k a c j a c h [7 ] , [S]> [10] , 019] > [20] , [ 2 3 ] , [32] ,
[5 2 3 . W p r a c y [20] p r z y z a ł o ż e n i u , ż e r z ą d B ° 1 , sfo rm u ło w a n o p r o s t e . w a ru n k i k o n ie c z n e a l e n i e w y s t a r c z a j ą c e o r a z w a ru n k i w y s t a r c z a j ą c e
k- £
tr„
110 J . K lam ka
a l e n i e k o n ie c z n e s t e r o w a l n o ś c i do z e r a u k ła d u je d n o r o d n e g o / 4 . 1 / .
T T
T v l e r d z e n l e 4 . 1 . [2 0 ] Z ałó żm y , ż e p a r y m a c ie r z y (A ,B ) i (A ,B ) s ą s t e r o w a l n e o r a z d e t A /, o i r z ą d B « 1 . W tedy
/ i / J e ś l i u k ła d / 4 . 1 / J e s t s te r o w a l n y do z e r a , t o
BA~1B i 0 / 4 . 3 /
J e ś l i BA jf à i tf c ła d / 4 . 1 / J e s t s te r o w a l n y w Rn b | o } t o J e s t '" '- s te r o w a ln y do z o r a j
/ 3 / u k ła d / 4 . 1 / J e s t s t e r o w a l n y do z e r a w p r z e d z i a l e [ 0 , n ] w te d y i t y l k o
-w tedy, g dy . .
BA_1B - O d la i = 2 , 3 , . . . , n / 4 . 4 /
S te r o w a l n o ś ć u k ła d u ' / 4 . 1 / w Rn ^ j o [ ro z w a ż a n a b y ła w p r a c a c h [ 8 ] , [10] o r a z [19] . W p r a c y [19] p o k a z a n o , ż e można o g r a n i c z y ć 3 i ę do p r z y p a d k u d e t A /i 0 . Wówczas u k ła d / 4 . 1 / można p r z e k s z t a ł c i ć do p o s t a c i
x ( k + l ) *» A [ i + u ( k ) c hT ) x ( k ) , U 0 / 4 , 5 /
g d z ie ,- c e R1* o r a z h e Rn .
T w i e r d z e n i e 4 .2 « [ 8 ] N ie c h , r b ę d z i e n a jw ię k s z y m w spólnym p o d z i e l n i k iem z b i o r u l i c z b n a t u r a l n y c h j j ć N : hTA ^c i- 0 , 0 < J ë n 2 } . U kład J e d n o r o d n y / 4 . 5 / J e s t s t e r o w a l n y w ^ ' " ‘ [o } w ted y 1 t y l k o w te d y , gdy J e d n o c z e ś n i e z a o h o d z ą p o n i ż s z e w a ru n k i :
r z ą d [ c , A c, A2 c , . . . , An“ 1c ] « n . / 4 , 6 / .
r z ą d [ h , A h , (A ) h , . . . ,(A ) n _ 1 h ] » n / 4 . 7 /
r ° 1 / 4 . 8 /
W y k o r z y s tu ją c w y n ik i u z y s k a n e d l a u k ła d u J e d n o r o d n e g o / 4 . 5 / w p r a c y [10] sfo rm u ło w a n o w a ru n k i k o n ie c z n e i w y s t a r c z a j ą c e s t e r o w a l n o ś c i w Rn u k ła d u n ie j e d n o r o d n e g o p o s t a c i
x ( k - n ) ■ A ( i + u ( k ) c h T ) x ( k ) + c u ( k ) , k > 0 / 4 . 9 /
T w i e r d z e n ie 4 . 3 . [1 0 ] U k ła d n ie j e d n o r o d n y / 4 . 9 / J e s t s t e r o w a l n y w Rn w ted y i t y l k o w te d y , g d y z a c h o d z ą J e d n o c z e ś n i e p o n iż s z e w a ru n k i
S te r o w a ln o ś ó d y s k r e t n y c h u k ład ó w . . . 1.11
i • • • » / 4 . 1 0 /
r z ą d 1 h A
T r
» q + 1 / 4 . 1 1 /1 hTA ^r _
g d z i e ; q - 1 * r z ą d [ h , ATh , (aT) 2 h , . . . , (a1 ) 11- 1 h ]
W p r a c y [3 9 ] p r z e d s ta w io n o a lg o r y tm y b a d a n ia s t e r o w a l n o ś c i b l l in i o w y c h u k ład ó w d y s k r e t n y c h o p a r t e o m etody a l g e b r y d e c y z y j n e j . N a to m ia s t p u b l i k a c je ¡14] i [15] p o r u s z a j ą p r o b le m a ty k ą s t e r o w a l n o ś c i układów; b l l i n i o w y c h z d e f i n io w a n y c h w n ie s k o ń c z e n i e -w y m iaro w y ch p r z e s t r z e n i a c h H i l b e r t a .
5» S te r o w a ln o ś ó u k ład ó w ty p u 2-D
W o s t a t n i c h l a t a c h w l i t e r a t u r z e t e o r i i s t e r o w a n ia u k a z a ło s i ę w ie le p r a c d o ty c z ą c y c h s t e r o w a l n o ś c i t z w . u k ład ó w ty p u 2 -D , t z n . li n io w y c h u k ł a dów d y s k r e t n y c h o dwóA z m ie n n y c h n i e z a l e ż n y c h [ 6 ] , [11] , [1 2 ] , [1 3 ] , [27] , [3 3 ] ,
[3 5 ] , [3.6]j [ 4 1 ] , [ 4 8 ] , o r a z u k ład ó w ty p u 3-D [2 6 ] , [27] a t a k ż e układ ów ty p u K-D [ 2 7 ] , [ 3 4 ] , [37] . Z w ią z a n e t o J e s t b e z p o ś r e d n io z s z e r o k im z a s to s o w a n ie m u k ład ó w t y p u 2-D 1 o g ó l n i e ty p u M-D w a n a l i z i e o b ra z ó w i te c h n i c e w o jsk o w e j .
V n i n i e j s z y m p o d r o z d z i a l e z o s t a n ą p o d a n e w a ru n k i k o n ie c z n e i w y s t a r c z a j ą c e l o k a l n e j s t e r o w a l n o ś c i l i n io w e g o , s t a c j o n a r n e g o u k ła d u ty p u 2-D o p is a n e g o tz w . modelem R O e s se ra p o s t a c i [ 6 ] , [27] » [3 3 ] , [4 8 ] :
y ( i * 3 + 1 ) «■ A3* ( i . ; j ) + A4y ( i , j ) + b2 u ( i , j )
z w aru n k am i b rzeg o w y m i x ( 0 , j ') » x c[ j ) , o r a z y ( i , 0 ) ■ y ° ( t) , g d z i e ; i £ Z+ ,■ J £ ' Z* , Z * - z b i ó r n ie u je m n y c h l i c z b c a ł k o w i t y c h ,
x ( i + 1 , j ) = Al X ( i , j ) + A2y [ i , j ) + B1u ( l , j )
/ 5 . 1 /
ę» 2 ' 3 » ą* 1 » 2
112 J .K lam ka
N ie c h sy m b o le ( h ,k ) o r a z ( r , s ) o z n a c z a j ą p a r y l i c z b c a ł k o w i t y c h , d l a k t ó r y c h h < r f k < s , a sym bol [ ( h , k ) , ( r , s ) J p r o s t o k ą t o w ie r z c h o ł k a c h :
( h ,k ) , ( r , k ) , ( h , s ) , ( r , s ) .
D e f i n i c j a 5 * 1 . [ 6 ] , [ 2 7 ] , [37] , [A S ], U k ład / 5 . 1 / nazyw a s i ę s te ro w a ln y m w p r o s t o k ą c i e [ ( 0 , 0 ) , ( r , s ) ] J e ż e l i d l a k a ż d y c h w arunków b rz e g o w y c h x ( i , 0 ) , 0 < l ś r , y ( 0 , j ) , O i j s s o r o z k a ż d e g o w e k to r a 1 ć Rn+P i s t n i e j e
s
se k w e n c ja s te ro w a ri u ( i , j ) , ( i , j ) ć [ ( 0 ,0 ) , ( r , s )) t a k a , że o d p o w ia d a ją c a r w _ _ M r _ i
j e j t r a j e k t o r i a u k ła d u /5 » 1 / s p e ł n i a w a ru n e k : x ( r , s ) 1 X . y ( r , s ) _
•y 1J
W prow adzając m a c i e r z b lo k o w ą A = - - i - — o r a z d e f i n i u j ą c o d p o - Aj 1 A ą -
w ie d n lo m a c i e r z t r a n z y c j i A *’ *^ [ 6 j , [ 2 7 ] , [ 3 7 ] , [A 8 ] , J a k o :
Ai ’ J - A1 »0 A1" 1 '«5 * A0 ' 1 A1 ^ -1 / 5 . 2 /
g d z i e : A1, 0
A A
Ar 2
r A/
. 3 i 4
można sfo rm u ło w a ć w a ru n k i k o n ie c z n e 1 w y s t a r c z a j ą c e s t e r o w a l n o ś c i u k ła d u / 5 , 1 / w p r o s t o k ą c i e [ ( 0 , 0 ) , ( r , s ) ] .
T w i e r d z e n i e 5 . 1 . [ 2 7 ] , [A 8j U k ład / 5 . 1 / J e s t s t e r o w a ln y w p r o s t o k ą c i e [ ( 0 ,0 ) , ( r , a")] w te d y i t y l k o w te d y , g d y
r z ą d [ H ( 1 ,0 ) j H ( 0 , l ) j . . . ! M ( i , J ) I . . . ¡ M ( r , s ) ] - n + p
g d z i e H ( i , j ) - A 1 - 1 »;) B1 ' ° + A 1 »5- 1 B ° ’ 1
/ 5 . 3 /
/ 5 . V
M a c ie rz e M ( i , j ) z d e f i n io w a n e w zorem / 5 . 4 / s ą m a c ie r z a m i (n + p )x m - - wymiarowym i , a z a te m m a c i e r z w y s tę p u j ą c a p o le w e j s t r o n i e ró w n o ś c i / 5 » 3 / J e s t m a c i e r z ą (n + p ) x m ( ( r + 1 ) ( s + 1 ) - 1) - w y m iaro w ą. N o s i ona nazw ę ma
c i e r z y s t e r o w a l n o ś c i u k ła d u ty p u 2-D . '
W niosek 5 . 1 . [ 2 7 j , [łłS ] J e ż e l i u k ła d / 5 . 1 / J e s t s t e r o w a l n y w p r o s t o k ą c i e [ ( 0 , 0 ) , ( r , s ) ] , t o J e s t on r ó w n ie ż s t e r o w a l n y w każdym p r o s t o k ą c i e
[ ( 0 , 0 ) , ( v , v ) ] , g d z ie ( v , w ) > ( r , s ) .
W y n ik a n ie o d w ro tn e do p r z e d s ta w io n e g o we w n io sk u 5 .1 * J e s t n a o g ó ł n ie p r a w d z iw e .
O p ró c z s t e r o w a l n o ś c i p r o s t o k ą c i e o k r e ś l o n e j d e f i n i c j ą 5 . 1 . * óle-
S te r o w a ln o ś ć d y s k r e t n y c h u k ł a d ów . 113
u k ład ó w ty p u 2-D d e f i n i u j e s i ę ró w n ie ż in n e r o d z a j e s t e r o w a l n o ś c i , t a k i e j a k : s t e r o w a ln o ś ć h o r y z o n t a l n ą i w e r ty k a l n ą [ 6 ] , [27] , [ 3 3 ] , [4 1 ] , g l o b a l n ą
[2 7 ] , [4 l] o r a z m o d aln ą [5 ] . [6 ] 1 [27] , [ 4 l ] . R o z s z e rz e n ia ty c h d e f i n i c j i na p r z y p a d e k u k ład ó w t y p u 3-D i o g ó l n i e u k ład ó w ty p u K-D o r a z odpow iednie k r y t e r i a b a d a n ia s t e r o w a l n o ś c i z n a j d u j ą s i ę m iędzy in n y m i w p r a c a c h [26J ,
[27] , [34] o r a z [3 7 ]« S te r o w a ln o ś ć u k ła d u ty p u 2-D o k r e ś lo n e g o w n ie s k e ń - c z e n ie -w y m ia ro w y c h p r z e s t r z e n i a c h H i l b e r t a a n a liz o w a n a j e s t w p r a c y [ 3 5 ] .
P o d o b n ie j a k d l a u k ład ó w d y n a c ic z n y c h ty p u 1-D a n a liz o w a n y c h w d ru g im p o d r o z d z i a l e n i n i e j s z e j p r a c y , ta k ż e w p rz y p a d k u u k ład ó w ty p u 2-D i o g ó l
n i e ty p u K-D, można p r z y z a ł o ż e n i u s t e r o w a l n o ś c i w o d p o w ie d n ia p r o s t o k ą c i e ro z w ią z a ć e f e k ty w n i e z a g a d n i e n ie s t e r o w a n ia z m in im a ln ą e n e r g i ą [26] , [27] ,
[35] , [36] , [3 7 ] . W r o z w ią z a n i u p o d a je s i ę zarów no a n a l i t y c z n ą p o s t a ć s e k w e n c ji s te ro w a ń z m in im a ln ą e n e r g i ą , j a k i o d p o w ia d a ją c ą t e j s e k w e n c ji mi
n im a ln ą w a r to ś ć e n e r g i i . N a le ż y p o d k r e ś l i ć , że r e z u l t a t y d o ty c z ą c e s t e r o w a n ia z m in im a ln ą e n e r g i ą u k ł a d a n i ty p u 2-D i o g ó l n i e ty p u K-D z o s t a ł y u z y s k a n e w o p a r c i u j e d y n i e o podstaw ow e w ła s n o ś c i normy i il o c z y n u s k a l a r n e g o w p r z e s t r z e n i e u k l i d e s o w e j , b e z s to s o w a n ia zaawan.w-wanego a p a r a t u t e o r i i s t e r o w a n i a . U z a s a d n ie n ie te g o i h k t u j e s t id e n t y c z n e j a k v/ p rz y p a d k u u k ład ó w ty p u 1-D a n a li z o w a n y c h w d ru g im p o d r o z d z i a l e .
V l i t e r a t u r z e p o ś w ię c o n e j układom ty p u 2-D o p ró c z m o d elu R o e s s e r a danego ró w n a n ia m i / 5 .1 / s p o ty k a s[f ró w n ie ż in n e m odele u k ład ó w 2-D , w s z c z e g ó l
n o ś c i m o d ele A t t a s i e g o [27] o r a z k i l k a m o d e li F o r n a s in ie g o K a r c h e s in ie g o [1 1 ] , [ 1 2 ] , [ 1 3 ] . Wzajemne z w ią z k i p o m ięd zy p o s z c z e g ó ln y m i n o d e la m l a n a l i z o w a n e -s ą s z c z e g ó ło w o w o b s z e r n e j m o n o g r a f ii [ 2 7 ] .
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CONTROLLABILITY OP DISCRETE. DYNAMICAL SYSTEMS - A SURVEY
S u m m a r y
The p a p e r p r e s e n t s a s u r v e y o f p ro b lem s a s s o c i a t e d w it h th e c o n t r o l l a b i l i t y o f d i s c r e t e - t i m e d y n a m ic a l s y s t e m s . I t h a s b e e n p r e p a r e d -o n t h e b a s i s - o f r e c e n t p u b l i c a t i o n s . The c o n t r o l l a b i l i t y c o n d i t i o n s f o r l i n e a r , - n o n l i n e a r and b i l i n e a r d i s c r e t e d y n a m ic a l s y s te m s a r e g i v e n . 2-D s y s te m s
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a r e a l s o ' c o n s i d e r e d . R e l a t i o n s h i p s among v a r i o u s k in d s o f c o n t r o l l a ' b i l i t j and m in im a l-e n e r g y c o n t r o l a r e d i s c u s s e d .
