Ci¡gi liczbowe

dr Krzysztof ›yjewski IP›; S-I⁰.in». 11 pa¹dziernika 2018

Ci¡gi liczbowe

Informacje pomocnicze

Granice niektórych ci¡gów:

a) lim

n→∞

a

n = 0, b) lim

n→∞

1

n^α = 0, α > 0 c) lim

n→∞n^α = +∞, α > 0 d) lim

n→∞aⁿ = 0, |a| < 1 e) lim

n→∞aⁿ= ∞, a > 1 f ) lim

n→∞

√n

a = 1, a > 0 g) lim

n→∞

√n

n = 1 h) lim

n→∞

n^α

aⁿ = 0, α > 0, a > 1 i) lim

n→∞

log_an

n = 0, n > 1 j) lim

n→∞

nⁿ

n! = ∞ k) lim

n→∞aⁿ= ∞, a > 1 l) lim

n→∞aⁿ= 0, |a| < 1 m) lim

n→∞(1 + _n¹)ⁿ= e n) lim

n→∞(1 −_n¹)ⁿ= e⁻¹ o) lim

n→∞(1 + ^a_n)ⁿ= e^a p) lim

n→∞(1 + _a¹

n)^an = e o ile (an) to ci¡g zbie»ny do granicy ±∞.

Tabelka odczytywania warto±ci pewnych wyra»e«:

a + ∞ = ∞, −∞ < a ≤ ∞ a · ∞ = ∞, 0 < a ≤ ∞

a

∞ = 0, −∞ < a < ∞ ₀^a+ = ∞, 0 < a ≤ ∞

a

0⁺ = −∞, −∞ ≤ a < 0 ₀^a− = −∞, 0 < a ≤ ∞

a

0⁻ = ∞, −∞ ≤ a < 0

a^∞ = 0, 0⁺≤ a < 1 a^∞= ∞, 1 < a ≤ ∞

∞^a = 0, −∞ ≤ a < 0 ∞^a= ∞, 0 < b ≤ ∞ Symbole nieoznaczone: ^∞_∞, ⁰₀, ∞ − ∞, 0 · ∞, 1^∞, 0⁰, ∞⁰

1

dr Krzysztof ›yjewski IP›; S-I⁰.in». 11 pa¹dziernika 2018

Zestaw I (zada« na ¢wiczenia)

1. Zbadaj monotoniczno±¢ ci¡gów (an):

(a) an= ³ⁿ⁻²_5n+1, (b) an =√

n + 1 −√

n + 2, (c) an = _(2n)!⁴ⁿ 2. Zbadaj ograniczono±¢ ci¡gów (an):

(a) an= _n⁴ⁿ2+1² , (b) an= n[1 + (−1)ⁿ], (c) an = 4 − n², (d) an= 3ⁿsin^nπ₂ , (e) ^√_n¹2+1 +^√_n¹₂₊₂ + · · · + ^√_n¹_2+n.

3. Korzystaj¡c z twierdzenia o ci¡gu monotonicznym i ograniczonym wyka» zbie»no±¢ podanych ci¡gów:

(a) ⁿ₅n² (b) ^(n!)_(2n)!² (c) ²ⁿ⁻¹_n

4. W oparciu o denicj¦ granicy ci¡gu udowodnij, »e (a) lim

n→∞3n − 1 = +∞ (b) lim

n→∞

(−1)ⁿ

n = 0 (c) lim

n→∞

3n−1

4n+1 = ³₄ (d) lim

n→∞−n²+ 2n = −∞

5. Korzystaj¡c z twierdze« o arytmetyce granic ci¡gów, oblicz granice podanych ci¡gów (o ile istniej¡):

(a) a_n= n²+ 5n − 6, (b) b_n = −n²− 3n + 5, (c) a_n = 1 +_2n+3¹ , (d) an= ⁵ⁿ_n2²−2⁺³ⁿ, (e) an= ⁿ_n²3⁻³ⁿ+4 , (f ) an = ²ⁿ⁴_n⁺³ⁿ3−4²⁻¹, (g) an= (2n+3)(1−7n)^{(1−2n)3 2}, (h) an = ⁵⁻³ⁿ_1−2n
2

, (i) an= (2n+1)(2n−1) (3n+6)(2n+2), (j) a_n= ^{2n√2−3n+4}

n⁴+4 , (k) a_n =

q4n³+n²

n³+2 , (l) a_n =√

n + 5 −√ n, (m) a_n=√

n²− 2n − n, (n) a_n=√³

n³+ 3n²− n, (o) a_n=√

n²+ n + 1 −√

n² − n + 1, (p) an = ₅⁶nⁿ⁻⁴+3ⁿⁿ, (q) an= ^3·2_8·4²ⁿn+5⁻⁵, (r) an= ³₉ⁿ⁺²n+5^{−2·7n−1n},

(s) a_n=√

3²ⁿ− 2 · 7ⁿ, (t) a_n= _(n+1)!−n!^(n+1)!+n!, (u) a_n= ^1+2+···+n_6n2+3 , (v) an= n1+2+7+...+(3n−2)

n³+1 , (w) an =

1

6+₃₆¹+...+_6n¹

3

5+₂₅⁹+...+(³₅)ⁿ, (x) an= 1−2+3−4+...−2n√ n²+1 , (y) an= log₇ ⁴⁹ⁿ_n2+4²⁻¹, (z) an = ¹₂
ⁿ²⁻²₂

, (a2) an = 3^n2+5n−6, (b₂) a_n = 7

−3n3+1

n2+1 , (c₂) a_n = log¹

2

n²−2

n , (d₂) a_n = ¹_7n²⁺²3+4n²⁺³²²−3n−2^+···+n2. 6. Korzystaj¡c z denicji liczby e obliczy¢ granice:

(a) lim

n→∞ 1 + _n²
n

(b) lim

n→∞

n−4 n

2n

(c) lim

n→∞

2n+3 2n+1

n+1

(d) lim

n→∞

n²+2 n²+1

n²

(e) lim

n→∞

2n 2n−3

3n

(f ) lim

n→∞

3n²+3 3n²+1

3n−1

(g) lim

n→∞

n²−3 n²+1

5n²

(h) lim

n→∞

n³+5 n³−2

6n²+3n

. 7. Korzystaj¡c z twierdzenia o trzech ci¡gach obliczy¢ podane granice:

(a) lim

n→∞

√n

4ⁿ+ 5ⁿ (b) lim

n→∞

√n

3ⁿ+ 5ⁿ+ 7ⁿ (c) lim

n→∞

cos n² n

(d) lim

n→∞

n sin 2n

(3n−1)² (e) lim

n→∞

√ 1

n²+1 +^{√ 1}

n²+2 + · · · + ^{√ 1}

n²+n (f ) lim

n→∞

√n

n + 3.

8. Korzystaj¡c z twierdzenia o dwóch ci¡gach obliczy¢ granice podanych ci¡gów.

(a) lim

n→∞

1−n²

n−sin n (b) lim

n→∞[n⁴+ (−1)ⁿn] (c) lim

n→∞

7ⁿ+5ⁿ

5ⁿ+3ⁿ (d) lim

n→∞(sin n − 2)n². 9. Wykaza¢, »e ci¡g (an)nie ma granicy

(a) an= (−1)ⁿ (b) bn = n^(−1)n+1 (c) cn= (1 + (−1)ⁿ) + _n+5ⁿ (d) dn = n[1 − (−1)ⁿ] (e) en= _n+1ⁿ cos^nπ₃ (f) fn= sin^nπ₂ + cos^nπ₃ .

2