Ci¡gi liczbowe

Ci¡gi liczbowe

Informacje pomocnicze

Denicja 1. Ci¡giem liczbowym nazywamy funkcj¦ (an) odwzorowuj¡c¡ zbiór liczb naturalnych w zbiór liczb rzeczywistych tzn.

a_n: N → R.

Warto±ci tej funkcji dla danej liczby naturalnej n nazywamy n-tym wyrazem ci¡gu i oznaczamy an

(bn itp.). Ci¡g oznaczamy (an)a zbiór jego wyrazów (czyli warto±ci funkcji) {an}.

Przykªad 2. Ci¡g przyporz¡dkowuj¡cy ka»dej liczbie naturalnej n jej potrójn¡ warto±¢ pomniejszon¡

o 2 ma wzór: an= 3n − 2.

Wyrazami tego ci¡gu s¡: a1 = 1, a₂ = 4, a₃ = 7, . . . Denicja 3. Mówimy, »e ci¡g (an) jest:

• ograniczony z góry, gdy ci¡g jego wyrazów jest ograniczony z góry tzn.

∃_{M ∈R}∀_n∈N a_n≤ M ;

• ograniczony z doªu, gdy ci¡g jego wyrazów jest ograniczony z doªu tzn.

∃_m∈R∀_n∈N m ≤ a_n;

• ograniczony, gdy ci¡g jego wyrazów jest ograniczony zarówno góry jak i doªu tzn.

∃_M,m∈R∀_n∈N m ≤ a_n ≤ M.

Rysunek 1: ci¡g ograniczony a) z góry b) z doªu Przykªad 4. Rozwa»my ograniczono±¢ ci¡gów:

a) an: liczb parzystych;

b) bn= _n+2³ⁿ ; c) cn= (−1)ⁿn.

Rozwi¡zanie: a) Ci¡g an jest ograniczony z doªu przez wyraz 0, natomiast z góry nie jest ograniczony przez »adn¡ liczb¦ rzeczywist¡.

b) Ci¡g bn jest ograniczony zarówno z góry jak i z doªu, a wi¦c i ograniczony, gdy»:

m = 0 < 3n

n + 2 = 3n + 6 − 6

n + 2 = 3 − 6

n + 2 < 3 = M.

c) Ci¡g cn, który przyjmuje warto±ci: −1, 2, −3, 4, −5, 6, . . . nie jest ograniczony ani z doªu, ani z góry.

Denicja 5. Ci¡g (an) nazywamy:

• rosn¡cym gdy

∀_n∈N a_n< a_n+1;

• malej¡cym gdy

∀_n∈N a_n> a_n+1. Analogicznie okre±lamy ci¡gi: niemalej¡cy inierosn¡cy.

Ci¡gi malej¡ce i rosn¡ce nazywamy ±ci±le monotonicznymi a nierosn¡ce i niemalej¡ce monotonicz- nymi. Mówimy te» o ci¡gach monotonicznych od pewnego wyrazu.

Przykªad 6. Zbadaj monotoniczno±¢ ci¡gu an= _n+2³ⁿ . Rozwi¡zanie: Poniewa»:

a_n+1− a_n = 3(n + 1)

(n + 1) + 2 − 3n

n + 2 = 3n + 3

n + 3 − 3n n + 2

= 3n²+ 6n + 3n + 6 − 3n²− 9n

(n + 3)(n + 2) = 6

(n + 3)(n + 2) > 0, wi¦c an+1> an.Zatem ci¡g an jest rosn¡cy.

Tabelka odczytywania monotoniczno±ci ci¡gu: Dla ci¡gów o wyrazach dodatnich, w celu bada- nia monotoniczno±ci zamiast bada¢ ró»nic¦ an+1− an mo»na bada¢ warto±¢ ilorazu ^an+1_an w stosunku do warto±ci 1 (jeden).

an+1− an an+1

an monotoniczno±¢

> 0 > 1 rosn¡cy

= 0 = 1 staªy

< 0 < 1 malej¡cy

≥ 0 ≥ 1 niemalej¡cy

≤ 0 ≤ 1 nierosn¡cy Przykªad 7. Zbadaj monotoniczno±¢ ci¡gu an= ₅^n!n

Rozwi¡zanie: Poniewa»:

a_n+1

a_n = (n + 1)!

5ⁿ⁺¹ : n!

5ⁿ = n! · (n + 1) 5 · 5ⁿ ·5ⁿ

n! = n + 1 5 , oraz ⁿ⁺¹₅ > 1 dla n > 6, wi¦c ci¡g ten jest monotonicznie rosn¡cy dla n > 6.

Denicja 8. (granica wªa±ciwa)

Mówimy, »e ci¡g (an)jest zbie»ny do granicy g ∈ R, co zapisujemy lim

n→∞an = g gdy

∀_ε>0∃_n0∈N∀_n>n0 |a_n− g| < ε.

Rysunek 2: Ilustracja geometryczna granicy wªa±ciwej ci¡gu Przykªad 9. Na podstawie powy»szej denicji wyka», »e

n→∞lim n + 2

n = 1.

Rozwi¡zanie: Zgodnie z denicj¡ granicy wªa±ciwej dla dowolnego ε > 0 musimy wykaza¢ istnienie n₀(ε) ∈ N takiego, »e

n + 2 n − 1

< ε.

Zatem, niech ε > 0 b¦dzie dowolne, wówczas

|n + 2

n − 1| < ε ⇔ |2

n| < ε ⇔ 2

n < ε ⇔ n > 2 ε.

Zatem za n0 mo»emy wzi¡¢ cz¦±¢ caªkowit¡ liczby ²_ε powi¦kszon¡ o jeden. Np. dla ε = 0, 01 mamy n₀ = [_0,01² ] + 1 = 201.

Denicja 10. (granica niewªa±ciwa +∞)

Mówimy, »e ci¡g (an)jest zbie»ny do granicy +∞ co zapisujemy lim

n→∞a_n = +∞ gdy

∀_{M >0}∃_n0∈N∀_n>n0 a_n> M.

Denicja 11. (granica niewªa±ciwa −∞)

Mówimy, »e ci¡g (an)jest zbie»ny do granicy −∞ co zapisujemy lim

n→∞a_n= −∞, gdy

∀_{M >0}∃_n0∈N∀_n>n0 a_n< −M.

Twierdzenie 12. (o arytmetyce granic ci¡gów)

Dla ci¡gów (an), (b_n) zbie»nych lub rozbie»nych do ∞ lub −∞ zachodz¡:

a) lim

n→∞(a_n± b_n) = lim

n→∞a_n± lim

n→∞b_n;

b) lim

n→∞(a_n· b_n) = lim

n→∞a_n· lim

n→∞b_n; c) lim

n→∞

an

bn = ^n→∞lim_lim ^an

n→∞bn, je±li lim

n→∞b_n 6= 0;

d) lim

n→∞(a_n)^p =

n→∞lim a_np

, p ∈ Z \ {0};

e) lim

n→∞

√k

a_n= q^k

n→∞lim a_n, k ∈ N \ {1};

o ile powy»sze dziaªania s¡ wykonywalne w zbiorze liczb rzeczywistych.

Granice niektórych ci¡gów:

a) lim

n→∞

a

n = 0, b) lim

n→∞

1

n^α = 0, α > 0 c) lim

n→∞n^α = +∞, α > 0 d) lim

n→∞aⁿ= 0, |a| < 1 e) lim

n→∞aⁿ = ∞, a > 1 f ) lim

n→∞

√n

a = 1, a > 0 g) lim

n→∞

√n

n = 1 h) lim

n→∞

n^α

aⁿ = 0, α > 0, a > 1 i) lim

n→∞

log_an

n = 0, n > 1 j) lim

n→∞

nⁿ

n! = ∞ k) lim

n→∞aⁿ= ∞, a > 1 l) lim

n→∞aⁿ = 0, |a| < 1 m) lim

n→∞(1 + ¹_n)ⁿ = e n) lim

n→∞(1 − ¹_n)ⁿ= e⁻¹ o) lim

n→∞(1 + ^a_n)ⁿ = e^a p) lim

n→∞(1 + _a¹

n)^an = e o ile (an) to ci¡g o wyrazach dodatnich zbie»ny do granicy niewªa±ciwej (∞).

Wskazówka: Przy liczeniu granic ci¡gu typu "wielomian"przez "wielomian", je»eli

• licznik i mianownik s¡ tego samego stopnia, to granica jest równa ilorazowi wspóªczynników przy najwy»szej pot¦dze;

• licznik jest ni»szego stopnia ni» mianownik, to granica jest równa zero;

• licznik jest wy»szego stopnia ni» mianownik, to granica jest równa +∞(gdy wspóªczynniki przy najwy»szych pot¦gach s¡ tego samego znaku) lub −∞(gdy wspóªczynniki przy najwy»szych pot¦gach s¡ tego samego znaku).

Tabelka odczytywania warto±ci pewnych wyra»e«:

a + ∞ = ∞, −∞ < a ≤ ∞ a · ∞ = ∞, 0 < a ≤ ∞

a

∞ = 0, −∞ < a < ∞ ₀^a+ = ∞, 0 < a ≤ ∞

a

0⁺ = −∞, −∞ ≤ a < 0 ₀^a− = −∞, 0 < a ≤ ∞

a

0⁻ = ∞, −∞ ≤ a < 0

a^∞= 0, 0⁺ ≤ a < 1 a^∞= ∞, 1 < a ≤ ∞

∞^a= 0, −∞ ≤ a < 0 ∞^a = ∞, 0 < b ≤ ∞ Symbole nieoznaczone: ^∞_∞, ⁰₀, ∞ − ∞, 0 · ∞, 1^∞, 0⁰, ∞⁰

Twierdzenie 13. (o ci¡gu monotonicznym i ograniczonym) Ka»dy ci¡g monotoniczny i ograniczony jest zbie»ny, przy czym:

- ci¡g niemalej¡cy i ograniczony z góry jest zbie»ny do granicy, która jest kresem górnym zbioru jego warto±ci,

- ci¡g nierosn¡cy i ograniczony z doªu jest zbie»ny do granicy, która jest kresem dolnym zbioru jego warto±ci.

Twierdzenie 14. (o dwóch ci¡gach) Je±li ci¡gi (an) i (bn) speªniaj¡ warunki:

1) an≤ b_n (lub an≥ b_n) dla ka»dego n ≥ n0, gdzie n, n0 ∈ N, 2) lim

n→∞a_n= ∞ (lub −∞) to lim

n→∞bn = ∞ (lub −∞).

Twierdzenie 15. (o trzech ci¡gach)

Je±li ci¡gi (an), (bn) i (cn) speªniaj¡ warunki:

1) an≤ b_n ≤ c_n dla ka»dego n ≥ n0, gdzie n, n0 ∈ N, 2) lim

n→∞a_n= lim

n→∞c_n = q to lim

n→∞b_n = q.

Kilka prostych przykªadów obliczania granic ci¡gów:

a) lim

n→∞

3n²−n

2n²+4 = lim

n→∞

n²(3−¹_n) n²(2+ ⁴

n2) = lim

n→∞

3−¹_n 2+⁴

n2

= ³₂; b) lim

n→∞

4n²−4

2n−1 = lim

n→∞

n(4n−_n⁴)

n(2−_n¹) = lim

n→∞

4n−⁴_n

2−¹_n = +∞;

c) lim

n→∞

3n+4

2n³+n² = lim

n→∞

n³( ³

n2+⁴

n3)

n³(2+_n¹) = lim

n→∞

3 n2+ ⁴

n3

2+_n¹ = 0, d) lim

n→∞

√n

2ⁿ+ 5ⁿ= ...

Tutaj skorzystamy z twierdzenia o trzech ci¡gach. Niech bn = √ⁿ

2ⁿ+ 5ⁿ, poniewa» zachodz¡ nierów- no±ci

a_n = 5 = √ⁿ

5ⁿ < √ⁿ

2ⁿ+ 5ⁿ< √ⁿ

5ⁿ+ 5ⁿ= √ⁿ

2 · 5ⁿ= 5√ⁿ 2 = c_n oraz lim

n→∞5 = 5 jak równie» lim

n→∞5√ⁿ

2 = 5,wi¦c

n→∞lim

√n

2ⁿ+ 5ⁿ= 5.

e)

n→∞lim

√n²− 2n − n = lim

n→∞

(√

n²− 2n − n)(√

n²− 2n + n)

√n²− 2n + n = lim

n→∞

n²− 2n − n²

√n²− 2n + n =

= lim

n→∞

√ −2n

n²− 2n + n = lim

n→∞

n(−2) n(q

1 − ²_n+ 1)

= lim

n→∞

−2 q

1 −_n² + 1

= −2

2 = −1;

f )

n→∞lim

 2n + 4 2n + 1

3n−1

= lim

n→∞

 2n + 1 + 3 2n + 1

3n−1

= lim

n→∞



1 + 3 2n + 1

3n−1

=

= lim

n→∞



1 + 1

2n+1 3

3n−1

= lim

n→∞



1 + 1

2n+1 3

²ⁿ⁺¹₃ ·^3(3n−1)

2n+1

= e⁹², gdy» lim

n→∞

3(3n−1) 2n+1 = ⁹₂. Przydatne nierówno±ci:

• n² < 2ⁿ dla ka»dego n ≥ 5, n ∈ N;

• 2ⁿ ≤ n! dla ka»dego n ≥ 4, n ∈ N;

• ²ⁿ_n
< 4ⁿ dla ka»dego n ∈ N;

• ⁿ₃
n

< n! < e ⁿ₂
n

dla ka»dego n ∈ N;

• nⁿ⁺¹ > (n + 1)ⁿ dla ka»dego naturalnego n ≥ 3;

• 1 + ¹_n
n

≤ e < 3 dla ka»dego n ∈ N;

Zestaw I (zada« na ¢wiczenia)

1. Znale¹¢ cztery pocz¡tkowe wyrazy poni»ej okre±lonych ci¡gów ci¡gów:

(a) an= √ⁿ

n + 1 (b) bn= (1 + ¹_n)ⁿ (c) cn = ⁿ_n!ⁿ (d) dn =

(3ⁿ dla n nieparzystego n³ dla n parzystego

(e) en =





n + 2 n



+





n + 1 n









n + 3 n + 1





(f) f1 = 7, f_n+1 = f_n+3 (g) g1 = 1, g₂ = 3, g_n+2= g_n+g_n+1.

2. W oparciu o warto±ci kilku pocz¡tkowych wyrazów ci¡gu (an), poda¢ jedn¡ z mo»liwych postaci jego wyrazu ogólnego:

(a) 1, 3, 5, 7, 9, (b) −2√

2, 4, −4√

2, 8, (c) ¹₂,²₄,⁶₈,²⁴₁₆,¹²⁰₃₂, (d) ²₃,¹₃,²₉,¹₆,₁₅²,¹₉, (e) 0.5, 0.(6), 0.75, 0.8, 0.8(3).

3. Zbadaj monotoniczno±¢ ci¡gów (an):

(a) an= ³ⁿ⁻²_5n+1, (b) an=√

n + 1 −√

n + 2, (c) an= _(2n)!⁴ⁿ 4. Zbadaj ograniczono±¢ ci¡gów (an):

(a) an= _n⁴ⁿ2+1² , (b) an = n[1 + (−1)ⁿ], (c) an= 4 − n², (d) an= 3ⁿsin^nπ₂ , (e) ^√_n¹2+1 + ^{√ 1}

n²+2 + · · · + ^{√ 1}

n²+n.

5. Korzystaj¡c z twierdzenia o ci¡gu monotonicznym i ograniczonym wyka» zbie»no±¢ podanych ci¡gów:

(a) ⁿ₅n² (b) ^(n!)_(2n)!² (c) ²ⁿ⁻¹_n

6. Zbadaj zbie»no±¢ i oblicz granice ci¡gów okre±lonych rekurencyjnie:

(a) a1 = ³₂, a_n =√

3a_n−1− 2 (b) a1 =√

5, an+1 =√ 5 + a_n 7. W oparciu o denicj¦ granicy ci¡gu udowodnij, »e

(a) lim

n→∞3n − 1 = +∞ (b) lim

n→∞

(−1)ⁿ

n = 0 (c) lim

n→∞

3n−1

4n+1 = ³₄ (d) lim

n→∞−n²+ 2n = −∞

8. Korzystaj¡c z twierdze« o arytmetyce granic ci¡gów, oblicz granice podanych ci¡gów (o ile istniej¡):

(a) a_n= n²+ 5n − 6, (b) b_n = −n²− 3n + 5, (c) a_n = 1 + _2n+3¹ , (d) a_n= ⁵ⁿ_n²2⁺³ⁿ−2 , (e) a_n= ⁿ_n²3⁻³ⁿ+4 , (f ) a_n = ²ⁿ⁴_n⁺³ⁿ3−4²⁻¹, (g) an= (2n+3)(1−7n)^{(1−2n)3 2}, (h) an= ⁵⁻³ⁿ_1−2n
2

, (i) an= (2n+1)(2n−1) (3n+6)(2n+2), (j) a_n= ^{2n√2−3n+4}

n⁴+4 , (k) a_n =

q4n³+n²

n³+2 , (l) a_n =√

n + 5 −√ n, (m) a_n =√

n²− 2n − n, (n) a_n =√³

n³+ 3n²− n, (o) a_n =√

n²+ n + 1 −√

n²− n + 1, (p) an= ₅⁶nⁿ⁻⁴+3ⁿⁿ, (q) an= ^3·2_8·4²ⁿn+5⁻⁵, (r) an = ³₉ⁿ⁺²n+5^{−2·7n−1n},

(s) an=√

3²ⁿ− 2 · 7ⁿ, (t) an= _(n+1)!−n!^(n+1)!+n!, (u) an= ^1+2+···+n_6n2+3 , (v) an= n1+2+7+...+(3n−2)

n³+1 , (w) an=

1

6+₃₆¹+...+_6n¹

3

5+₂₅⁹+...+(³₅)ⁿ, (x) an= 1−2+3−4+...−2n√ n²+1 , (y) a_n= log₇ ⁴⁹ⁿ_n2+4²⁻¹, (z) a_n= ¹₂
ⁿ²⁻²₂

, (a₂) a_n= 3^n2+5n−6, (b₂) a_n= 7

−3n3+1

n2+1 , (c₂) a_n= log¹

2

n²−2

n , (d₂) a_n = ¹_7n²⁺²3+4n²⁺³²²−3n−2^+···+n2.

9. Korzystaj¡c z denicji liczby e obliczy¢ granice:

(a) lim

n→∞ 1 + ²_n
n

(b) lim

n→∞

n−4 n

2n

(c) lim

n→∞

2n+3 2n+1

n+1

(d) lim

n→∞

n²+2 n²+1

n²

(e) lim

n→∞

2n 2n−3

3n

(f ) lim

n→∞

3n²+3 3n²+1

3n−1

(g) lim

n→∞

n²−3 n²+1

5n²

(h) lim

n→∞

n³+5 n³−2

6n²+3n

. 10. Korzystaj¡c z twierdzenia o trzech ci¡gach obliczy¢ podane granice:

(a) lim

n→∞

√n

4ⁿ+ 5ⁿ (b) lim

n→∞

√n

3ⁿ+ 5ⁿ+ 7ⁿ (c) lim

n→∞

cos n² n

(d) lim

n→∞

n sin 2n

(3n−1)² (e) lim

n→∞

√ 1

n²+1 +^{√ 1}

n²+2 + · · · + ^{√ 1}

n²+n (f ) lim

n→∞

√n

n + 3.

11. Korzystaj¡c z twierdzenia o dwóch ci¡gach obliczy¢ granice podanych ci¡gów.

(a) lim

n→∞

1−n²

n−sin n (b) lim

n→∞[n⁴+ (−1)ⁿn] (c) lim

n→∞

7ⁿ+5ⁿ

5ⁿ+3ⁿ (d) lim

n→∞(sin n − 2)n². 12. Wykaza¢, »e ci¡g (an) nie ma granicy

(a) an= (−1)ⁿ (b) bn = n^(−1)n+1 (c) cn= (1 + (−1)ⁿ) + _n+5ⁿ (d) dn= n[1 − (−1)ⁿ] (e) en= _n+1ⁿ cos^nπ₃ (f) fn= sin^nπ₂ + cos^nπ₂ .