18. O

Wykład 18

Obwody RLC, cz. 2

Obwody RLC ze źródłem napięcia przemiennego E ! ⋅ d !

"∫ l ^{+ L dI} _dt ^{= 0}

II prawo Kirchhoffa:

po całym obwodzie zamkniętym

d

Q

dt

+ R L

dQ

dt + Q

LC = V

cos ω ^t

V = V⁰cosωt

Obwody LC bez źródła napięcia

d

Q

dt

+ R L

dQ

dt + Q

LC = V

cos ω ^t

V

= 0 R = 0

d

Q

dt

+ Q

LC = 0

d

Q

dt

+ Q

LC = 0

Równanie równoważne równaniu oscylatora harmonicznego prostego

rozwiązanie

Q = Q

cos ( ω

^t + φ )

ω

= 1 LC

Częstość kątowa drgań własnych układu

t =0, Q = Q_max

Drgania w obwodach LC

Zakładając brak strat energii na oporze (R = 0), występuje

oscylacyjna wymiana energii między kondensatorem i cewką.

Drgania w obwodach LC

Obwody LC – oscylacje energii

U

= 1

2 CV

= Q

2C = Q

2C cos

( ω

^t + φ )

U

= 1

2 LI

= 1

2 L dQ dt

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

2

= 1

2 L ω

Q

sin

( ω

t + φ ) ^{= Q} _2C

^sin

( ^ω

^{t + φ} )

Energia zmagazynowana w kondensatorze:

Energia zmagazynowana w cewce:

Obwody RLC bez źródła napięcia

W rzeczywistych obwodach LC zawsze występuje strata energii na oporze R:

d

Q

dt

+ R L

dQ

dt + Q

LC = 0

Równanie równoważne równaniu tłumionego oscylatora harmonicznego

rozwiązanie

Q = Q

e

cos ω ^t

ω = ω

− R 2L

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

2

Przy relatywnie słabym tłumieniu częstość drgań układu wynosi

d

Q

dt

+ R L

dQ

dt + Q

LC = V

cos ω ^t V

= 0

d

Q

dt

+ R L

dQ

dt + Q

LC = 0

Obwody RLC – słabe drgania tłumione Q = Q

e

cos ω ^t ω = ω

− R

2L

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

2

Q

Q

0

Q

e

−Q

e

obwiednia amplitudy

R

< 4L C

Słuszne przy warunku:

Obwody RLC – krytyczne i silne drgania tłumione Q = Q

e

R

= 4L C ,

Tłumienie krytyczne:

ω = ω

− R 2L

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

2

Silne tłumienie:

R

> 4L C

dla większych R oscylacje nie występują

R

< 4L

Słabe tłumienie:

C

1 – silne tłumienie

2 – krytyczne tłumienie 3 – słabe tłumienie Q^max

Q

hJps://www.youtube.com/watch?v=XSUiCeCHAvw

Drgania tłumione w obwodzie RLC

Obwody RLC ze źródłem napięcia przemiennego

d

Q

dt

+ R L

dQ

dt + Q

LC = V

cos ω ^t

Równanie równoważne równaniu tłumionego oscylatora harmonicznego z siłą wymuszającą

Rozwiązanie stacjonarne na natężenie prądu:

I

= V

R

+ ω ^L − 1 ω ^C

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

2

V = V⁰cosωt

tan φ = ω ^L − 1 ω ^C R

Χ = ω ^L − 1 ω ^C

Reaktancja: Impedancja (zawada):

Z = R

+ Χ

gdzie

I = I

cos( ω ^t − φ ⁾

Obwody RLC ze źródłem napięcia przemiennego

φ > 0 ⇒ ω ^L > 1

ω ^{C ⇒}

φ < 0 ⇒ ω ^L < 1

ω ^{C ⇒}

To, że prąd wyprzedza w fazie napięcie nie oznacza, że prąd jest obecny zanim włączymy źródło. Pamiętajmy, że rozwiązanie jest rozwiązaniem stacjonarnym, poprzedza je okres niestacjonarny

Obwody RLC ze źródłem napięcia przemiennego

ω → 0 ⇒ I

→ 0

ω → ∞ ⇒ I

→ 0 ω = ω

= 1

LC ⇒ I

= V

R

I₀

−I₀

t T = 2π

ω

wpływ pojemności wpływ indukcyjności

rezonans

ω ω

I

φ > 0 φ < 0

φ = 0

I₀ = V₀

R² + ω^L− 1 ω^C

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

2

Dla częstotliwości rezonansowej:

Χ = 0,Z = R, φ = 0

Rezonans w obwodzie RLC ze źródłem napięcia przemiennego

https://www.youtube.com/watch?v=JIRgfMADHbc

Obwody RLC - wskazy

− φ

h@p://www.phy.hk/wiki/j/Eng/RLC/RLC_js.htm

Równania Maxwella

https://www.youtube.com/watch?v=O8OUH0pPyoI