Topologia II: ¢wiczenia 1
1. Poka», »e poni»sze funkcje sa metrykami w Rn:
d(x, y) = v u u t
n
X
i=1
(xi− yi)2, d(x, y) =
n
X
i=1
|xi− yi|, d(x, y) =max1≤i≤n|xi− yi|, d −metryka dyskretna.
2. Uzasadnij, »e d(x, y) = (x − y)2 nie okre±la metryki na R.
3. Poka», »e d(x, y) = min1≤i≤n|xi−yi|nie okre±la metryki na Rn, (n ≥ 2).
4. Niech d bedzie metryka, za± r dodatnia liczba rzeczywista. Poka», »e dr, gdzie dr(x, y) = r · d(x, y)jest równie» metryka.
5. Niech d bedzie metryka. Uzasadnij, »e d0 jest metryka, je»eli:
d0(x, y) = d(x, y) 1 + d(x, y).
6. Niech n bedzie dowolna liczba naturalna oraz niech Xn oznacza zbiór wszystkich sªów dªugo±ci n (to znaczy ciagów dªugo±ci n). W teorii kodowania rozwa»a sie funkcje d : Xn× Xn→ N deniowana przez:
d(w, v) = ilo±¢ pozycji, na których w sªowach w i v wystepuja ró»ne litery.
(a) Pokaza¢, »e d jest metryka w Xn (jest to tzw. metryka Ham- minga).
(b) Czy d nadal bedzie metryka, je»eli w powy»szej denicji sªowo ró»ne zastapimy przez takie same?
7. Przypomnij sobie, jak wygladaja kule w przestrzeniach metrycznych z punktu 1, przy n = 2.
8. Sprawdzi¢, czy funkcja d : N+× N+ → R+ dana wzorem d(n, m) =
1 n − 1
m
∀n, m ∈ N+
jest metryka w N+. Je±li tak, to jak wygladaja kule B(1, 1), B(3,12)w tej metryce.
9. Niech (X, d) bedzie przestrzenia metryczna. Pokaza¢, »e je»eli x0 ∈ X, R > 0, x1 ∈ B(x0, R) oraz r1 = R − d(x0, x1), to r1 > 0 oraz B(x1, r1) ⊂ B(x0, R).
10. Pokaza¢, »e w (X, d) kule sa zbiorami otwartymi.
1