W jakich punktach f jest holomorczna? 2

Analiza zespolona 2018/2019

Zadania domowe - cz¦±¢ 2

Funkcje zmiennej zespolonej: holomorczno±¢, funkcje elementarne, funkcje harmoniczne

1. Wyprowadzi¢ równania Cauchy-Riemanna w zmiennych biegunowych:

(a) ^∂u_∂r = ¹_r^∂v_∂θ ^∂u_∂θ = −r^∂v_∂r (b) f⁰(z) = e^−iθ(u_r+ iv_r).

(c) korzystaj¡c z (a) sprawdzi¢ w jakich punktach istnieje pochodna funkcji f (z) =√

re^iθ/2. Obliczy¢ f⁰(z)w tych punktach korzystaj¡c z (b). W jakich punktach f jest holomorczna?

2. Wykaza¢, »e: (a) Ln(1 + i)² = 2Ln(1 + i), (b) Ln(−1 + i)² 6= 2Ln(−1 + i). 3. Obliczy¢: (a) (1 + i)ⁱ, (b) (−1)^π, (c) (1 − i)⁴ⁱ (d) sin z = 2, (e) sin⁻¹√

5

4. Wykaza¢, »e (a) cosh(z1 ± z₂) = cosh z₁cosh z₂ ± sinh z₁sinh z₂ (b) sinh(2z) = 2 sinh z cosh z

5. Wykaza¢, »e (a) tan z 6= ±i (b) tanh z 6= ±1

6. Wyprowadzi¢ wzór na pochodn¡ f(z) = z^µ dla z ∈ C \ {0}, µ ∈ C.

7. Wykaza¢, »e

(a) arcsin z = −i ln(iz +√

1 − z²). (b) arcsinh(z) = ln(z +√

z²+ 1) oraz (arcsinhz)⁰ = ^√_z¹₂₊₁ (c) arccosh(z) = ln(z +√

z²− 1) oraz (arccoshz)⁰ = ^√1

z²−1

(d) arctanh(z) = ¹₂ln(^1+z_1−z) oraz (arctanhz)⁰ = _1−z¹2

8. Sprawdzi¢ czy

(a) u(x, y) = (x² − y²)e^xcos y − 2xye^xsin y jest harmoniczn¡. Znale¹¢ funkcj¦

holomorczn¡ tak¡, »e u(x, y) = Ref. Zapisa¢ f jako funkcj¦ zmiennej z (b) v(x, y) = − sinh x sin y jest harmoniczn¡. Znale¹¢ funkcj¦ holomorczn¡ tak¡,

»e v(x, y) = Imf. Zapisa¢ f jako funkcj¦ zmiennej z

(b) u(x, y) = x sin x cosh y − y cos x sinh y jest harmoniczn¡. Znale¹¢ funkcj¦

holomorczn¡ tak¡, »e u(x, y) = Ref. Zapisa¢ f jako funkcj¦ zmiennej z.

ODPOWIEDZI

Zad. 1 (a) Zapiszemy cz¦±¢ rzeczywist¡ i urojon¡ we wspólrz¦dnych biegunowych:

u(x, y) = u(r cos θ, r sin θ), v(x, y) = v(r cos θ, r sin θ). Zatem

(1) u_r = u_xx_r+ u_yy_r = u_xcos θ + u_ysin θ (2) u_θ = u_xx_θ+ u_yy_θ = −u_xr sin θ + u_yr cos θ (3) v_r = v_xx_r+ v_yy_r = v_xcos θ + v_ysin θ (4) v_θ = v_xx_θ+ v_yy_θ = −v_xr sin θ + v_yr cos θ.

Korzystaj¡c z faktu, »e f jest holomorczna czyli speªnia warunki C-R (uy = −vx i ux = vy) zapiszemy (3) i (4) jako

(5) vr = vxcos θ + vysin θ = −uycos θ + uxsin θ (6) vθ = −vxr sin θ + vyr cos θ = uyr sin θ + uxr cos θ.

Z (1) i (6) dostajemy ur = ¹_rv_θ czyli pierwsze równanie C-R zapisane we wspóªrzêdnych biegunowych. Z kolei z (2) i (5) otrzymamy uθ = −rv_r, czyli drugie równanie C-R.

1

2

Zad. 1 (b) Wiemy, »e f⁰(z) = u_x+ iv_x. Chcemy pochodn¡ f⁰(z) zapisa¢ jako funkcj¦

zale»n¡ od ur i vr. Z (1) i (2) dostajemy ukªad równa«

(7) u_r = u_xcos θ + u_ysin θ u_θ = −u_xr sin θ + u_ycos θ.

Jest to ukªad Cramera o wyznaczniku równym r. Zatem (8) u_x = u_rcos θ − u_θsin θ

r

Wstawiaj¡c uθ = −rv_r dostaniemy (9) ux = u_rcos θ + v_rsin θ. Analogicznie z (3) i (4) otrzymamy, »e

(10) v_r= v_xcos θ + v_ysin θ v_θ = −v_xr sin θ + v_ycos θ.

Jest to ukªad Cramera o wyznaczniku równym r. Zatem (11) v_x= v_rcos θ − v_θsin θ

r .

Wstawiaj¡c vθ = rur do (11) dostaniemy (12)vx = V − r cos θ − ursin θ. St¡d f⁰(z) =u_x+ iv_x = u_rcos θ + v_rsin θ + i(v_rcos θ − iu_rsin θ)

= u_r(cos θ − i sin θ) + iv_r(cos θ − i sin θ) = e^−iθ(u_r+ iv_r) Zad. 1 (c) Dla f(z) = √

re^iθ/2 funkcje u(x, y) = √

r cos(^θ₂) v(x, y) = √

r sin(^θ₂). Zatem u_r = ₂^√1_rcos(^θ₂), uθ = −¹₂√

r sin(^θ₂), vr = ₂^√1_rsin(^θ₂), vθ = ¹₂√

r cos(^θ₂). Spelnione s¡

warunki Cauchy-Riemana we wspóªrz¦dnych biegunowych poza z = 0 czyli f jest w tych punktach holomorczna. St¡d korzystaj¡c z (b) f⁰(z) = e^−iθ(u_x+iv_x) = e^{−iθ 1}₂^√_r(cos(^θ₂)+

i sin(^θ₂)) = ₂^√1_z. Zad. 3

(a) (1 + i)ⁱ = e^{−(π/4+2kπ)}e^{i ln}

√

2, k ∈ Z, (b) (−1)^π = e^iπ2(1+2k), k ∈ Z,

(c) (1 − i)⁴ⁱ = e^πe^{i(2 ln 2)} (d) zk = ln(2 +√

3) + i(^π₂ + 2kπ), k ∈ Z lub zk⁰ = ln(2 −√

3) + i(^π₂ + 2kπ), k ∈ Z, (e) sin⁻¹√

5 = (4k + 1)π/2 ± i ln(√

5 + 2). Zad. 8

(a) v(x, y) = (x²− y²)e^xsin y + 2xye^xsin y + C , f(z) = z²e^iz+ iC, C ∈ R (b) u(x, y) = cosh x cos y + C, f(z) = i cosh z + iC, C ∈ R.

(c) v(x, y) = y sin x cosh y + x cos x sinh y + C, f(z) = z sin z + iC ∈ R