Uwagi o aksjomatyce geometrii Tarskiego

ROCZNIKI POLSKIEGO TOWARZYSTWA MATEMATYCZNEGO Seria I: PRACE MATEMATYCZNE IX (1965)

Z . P

(Ł ó d ź )

Uwagi o aksjomatyce geometrii Tarskiego

* W roku 1959 ukazała się praca A. Tarskiego pt. What is elementary geometry ? (zob. [4]), w której autor podaje zwięzłą a przy tym przej­

rzystą aksjomatykę płaskiej elementarnej geometrii Euklidesowej. Po­

jęciami pierwotnymi są w niej dwie relacje fi i 8 określone w zbiorze punktów. Eelacja leżenia między fi jest trój argumentowa; formułę fi{xyz) czyta się: punkt у leży między punktami x i z lub jest identyczny przynajmniej z jednym z nich. Eelacja równej odległości 8 jest cztero- argumentowa; formułę 8 (xyzu) i1) czyta się: punkt x jest tak odległy od punktu у , jak punkt z od punktu u. Dla stałych logicznych używam w tej pracy następujących znaków: v,

o , ~ odpowiednio dla alterna­

tywy, koniunkcji, implikacji, równoważności i negacji, Д i V dla kwanty - fikatorów odpowiednio ogólnego i egzystencjalnego oraz = i Ф odpo­

wiednio dla identyczności i różności punktów. Aksjomaty wspomnianej teorii są następujące:

A l. Да?, y(p{xyx) => x = y);

A2. Да?, y, z, u(fi(xyu)A(i(yzu) => (i(xyz))-,

АЗ. Да?, у, z, u[fi(xyz)A fi(xyu)

ф у => fi (xzu) v ft (xuz))-, A4. A x , у 8 (a?yya?);

A5. Да?, у , z{8(xyzz) => x — y);

A 6. Да?, у, z, u, v, w [8 (xyzu)

8(xyvw) => 8(zuvw))-, A7. A t, x , у , z, u\f v[fi(xtu) a fi{yuz) => fl(xvy) a (i(ztv))• ,

A8. A t, x, у , z, u\J v, w{fi(xut)

fi(yuz)AX Ф и => fi(xzv)Afi(xyw)A Afi{vtw))\

A9. Д x, у , z, u, x', y', z', u'[8{xyx'y')A 8(yzy'z')A 8{ xux ' u ') a

A 8(yuy'u')A(i(xyz)A(i{x'y,z')AX Ф у => 8{zuz'u'))’, A10. Да?, у, и, v\f z\fi{xyz)A 8{yzuv))‘,

A l l . v X, y, z(~p{xyz)A ~ P ( yz x )A ~fi(zxy))-,

(x) Autor zamiast formuł g(xyz) i d(xyzu) używa odpowiednio {S(x, у , z)

i 8(x, у , z , u ) .

A12. f\x, у, z, u[d(xuxv)л d(yuyv)л

(

)

Ф v =>

=> P{%yz)vp(yzx)vp(zxy))-,

A13. Aksjomat ciągłości lub schemat aksjomatu ciągłości w zależ­

ności od tego, czy rozważa się pełną geometrię, czy elementarną. ( Aksjo­

matu tego nie cytuję, gdyż nie odgrywa on żadnej roli w niniejszej pracy.) Aksjomaty A7, A8, A9, autor nazywa odpowiednio aksjomatem Pascha, Euklidesa i aksjomatem o pięciu odcinkach.

Porównując tę aksjomatykę z aksjomatyką Hilberta lub jakąś jej modyfikacją (zob. np. [3] i [1] lub [2]) zauważy się przede wszystkim brak w aksjomatyce Tarskiego pewnika o odkładaniu kąta. Pewnik ten w aksjomatyce Hilberta służy między innymi do dowodu twierdzenia 0 istnieniu środka odcinka. W systemie Tarskiego twierdzenie to, o ile mi wiadomo, dowodzono (2) za pomocą A 8 lub A13, gdy tymczasem w aksjomatyce Hilberta daje się ono udowodnić w geometrii absolutnej 1 bez pewnika ciągłości. To spostrzeżenie nasunęło mi pomysł zbadania czy i w aksjomatyce Tarskiego twierdzenie to również daje się udowodnić bez korzystania z A 8 lub z A13. Gdyby tak było, to układ aksjomatów Tarskiego A 1 -A 7, A9-A12 byłby równoważny układowi płaskich aksjo­

matów Hilberta grup I, II i III (incydencji, uporządkowania i przysta­

wania), gdyż z istnienia środka dowolnego odcinka nietrudno wyprowa­

dzić możliwość odkładania dowolnego kąta (lub trójkąta), a wypro­

wadzenie pozostałych aksjomatów nie przedstawia istotnych trudności.

Odpowiedź na postawione wyżej pytanie jest istotnie twierdząca:

Twierdzenie o istnieniu środka odcinka jest konsekwencją układu A 1-A 7, A9-A12 aksjomatów Tarskiego.

Dowód powyższego twierdzenia stanowi treść niniejszej pracy.

Dla uzyskania większej przejrzystości formułowanych niżej twierdzeń oraz ich dowodów

1) wprowadzam relację współliniowości X za pomocą następującej definicji:

X {xyz) o fi {xyz) v /5 (yzx) v (zxy) ,

2) opuszczam kwantyfikatory ogólne stojące na początku zdania, o ile zaakcentowanie ogólności zdania nie jest konieczne,

3) dowody niektórych łatwiejszych twierdzeń ograniczam do w y­

mienienia aksjomatów i twierdzeń, z których w tych dowodach korzystam, 4) na ogół nie powołuję się na aksjomaty A l , A2, A4, A6 , oraz na twierdzenia T l, T2, ТЗ, Тб, T9.

(2) Dowód, dotychczas nieopublikowany, podał przed kilkoma laty jeden z ucz­

niów Tarskiego. Opierając się na twierdzeniu o istnieniu środka odcinka, wyprowadził

on następnie z pozostałych aksjomatów aksjomat o odkładaniu trójkąta, który

w pierwotnej aksjomatyce Tarskiego (patrz [5]) zastępował hilhertowski aksjomat

o odkładaniu kąta.

Uwagi o aksjomatyce geometrii Tarskiego

25

A oto ciąg twierdzeń w systemie geometrii Tarskiego, z których ostatnie jest twierdzeniem o istnieniu środka odcinka.

T l a. b(xyzu) => b(zuxy), b. b(xyzu) => b(yxzu),

c. <5 (xyxy) . D o w ó d . (A4, A6).

T2. /3 (xyz) => fi {zyx) .

D o w ó d . W oparciu о A5 i A10 dowodzę najpierw lematu fi(xyy) a stąd oraz z A l , A7 i A10 otrzymuję T2.

T 3 . /3 (хуи) л /3 (yzu) => /3 (xzu) . D o w ó d . (A l, A2, АЗ, T2).

T l . /3 (xyz) A /3 (хуи)

X Ф у ■=> /3 (yzu) v /3 (yuz) . D o w ó d . (A2, АЗ, T2).

Тб. /3 (хуи) А /3 (xzu) => fi (xyz) v fi(xzy) . D o w ó d . (A l, A2, А б, А10, Т2, T l).

Т б . /3 (xyz) A fi (x'y'z')A d (xyx'y')A S ( xzx ' z ') a Ó (xux'u') A ó (zuz’u’) =>

=> d(yuy'u').

(Postać wewnętrzna aksjomatu o pięciu odcinkach; zob. rys. 1.)

D o w ó d . (A l, A2 , A9, A10, T l, T2).

T7a. fi(xyz)Afi(x,y'z,)Ad(xyx'y,)Ad(yzy'z')^> S(xzx'z'), b. fi (xyz) A (i(x'y'z') A b(xyx'y')A d(xzx'z') => b(yzy'z').

D ow ód . W oparciu о A5 i A10 dowodzę lematu b(xxyy), skąd wobec T l, T2 oraz A9 lub T6 otrzymuję T7.

T8a. j3 (xyz) a fi (хуи) а х Ф yAb(yzyu) =>z = u, b. (i(xyz) a b(xyxz) => у — z.

(O jednoznaczności odkładania odcinka.)

Kys. 1

D o w ó d . (A6 , A9, T l, T2 , T7).

T9. fi(xyz)/\y Ф ZAp(yZU) => p(xyu).

D o w ó d . (A2, A10, T2 , T8).

T10. X(xyz)t\X(xyu)/\x Ф у => X(yzu).

D o w ó d . (A2, АЗ, T 2-T 5, T9).

T l i . f\X, y, U, v\/ z[ó(XZUV)A(f}(xyz)\/Pixzy))} . D o w ó d . (A10, T2 , T4).

T12. A x , z V y((i{xyz)AX Ф у

у ф z).

D o w ó d . (A5, A 7 , A10, A l i , T4, T5, T10).

T13. b(xyx'y')Ad(xzx'z')Afi{xyz)Afi{x'z'y') => p(x'y'z').

D ow ód . (A l, A2, A 6 , A10, T2, T3, T7, T8).

T14. д (хух'у') A d (yzy'z') A ó {xzx'z') A p {xyz) => P (x'y'z').

D o w ó d . (A5, T l, Тб, T 7, T i l , T13).

T15. Ó(xyyz)A d(x'yyz') A Ó(x"yyz")AP(xyz)AP(x'yz')AP(x"yz")A

a P{ xx ' x '>) => p{zz’zn).

D o w ó d . (A6 , A9, A10, T7, T14; zob. rys. 2).

T16. p (txy)

p (tzu) => V v [p (yvz)

p (х ш )). (Wewnętrzna postać aksjo­

matu Paschą.)

D o w ó d . (A 2 , A3, A5, A7, A 10, T3, T4, T8; zob. rys. 3).

T17 . P (xyz) A P {xy'z') A P (zuu' ) Л p (uu'z') => V t{P {ytu') A P (y'tu)).

D o w ó d . (T3, T9, T16; zob. rys. 4).

T18. p(txy)AP{tqz)AP{ypz)AP(qxr)At Ф x =>

=> V s[p(psr)A(p(xsy)vP(xys))y D o w ó d . (A7, T3, T4, T16; zob rys. 5).

T19. P { x x ' x" ) A P ( z z ' z " )A P { x y y ' ) A P ( x' y z ' ) A ~ X { x x ' y ) A X ( x' y ' z ) A y Ф

ф У' => V u [P{ x "% z " ) a X{ x ' uz )}.

Uwagi o aksjomatyce geometrii Turskiego

27

D o w ó d . (A2 , A3, A7, T3, T4, T16; zob. rys. 6).

T20. O dwusiecznej kąta.

^(xyz)A^(xy'z')A^(yuz')A^(y'uz)A ó(xyxy')A d(xzxz')

Ф z => д (уиу'и)

Ф X.

D o w ó d . Własność и Ф x jest oczywista. Na mocy A9 otrzymuję, że d{yz'y'z). Gdyby punkt u nie spełniał własności d (yuy'u), to istniał­

by (dzięki T8, T i l , T13) taki punkt u', że d(uyu'y'), P(y'u'z) i и' Ф и (zob. rys. 7). Stosując T6 do układu punktów у , u, z', ж; у ' , и', z, х otrzymuję, że д(хихи'). Stosując A9 kolejno do układów x , y , z , u \ x, y ' , z1, u’ oraz x, у , z, u' ; x, y ' , z', u otrzymuję, że ó(uzu'z') i 3(uy'u'y).’

Dzięki T14, w odniesieniu do układu punktów y ' , u, z, у , u' , z' otrzymuję, że P(yu'z'). W oparciu о T5 i T10 ze związków fi(yuz'), fi(yu'z'), fi(y'uz),

$(y'u'z) i и' Ф u łatwo otrzymać, że K(xyy'), co przeczy założeniu twier­

dzenia; punkt u musi więc spełniać warunek d(yuyu'), c.b.d.o.

T21. O istnieniu kąta prostego mającego wierzchołek w danym punkcie x i ramiona leżące w danej płaszczyźnie xyz.

~X{xyz) => V p , q, r , s^ft(ypz) л q Ф хл(}(ухг)л ó(xqxr)A d(pqpr) л fi{psr) л Л {P(xsy)vP(xys))Ap

D o w ó d . Na mocy ЛЮ , T13 i T l6, przy nieistotnym ograniczeniu dowolności punktów x , y , z , dowodzę istnienia punktów y ' , z' , z" , t, t' takich, że fi(xyy'), fHxz'z), ft(xtt'), (3{txy), fi(z'xz"), d(xyxz’ ), d(xyxt), d(xy'xz), d(xt'xz), d(xtxz") i у ф у ’ (zob. rys. 8). Na mocy T16 istnieją punkty p i q takie, że fi(ypz), p{y'pz'), p(tqz), ft(fqz'). Dzięki T20 otrzy­

muję, że d(pypz' ) , d{py'pz), d{qtqz'), d(qt'qz) i q ф x. Stosując A9 do układu punktów y ' , x, t, z; z, x, z" , y' otrzymuję, że d(tzz"y').

Niech r będzie takim punktem, że fi(qxr) i d(xqxr). Wobec T15 także f}(y'rz” ). Stosując A9 do układu punktów t, х, у , p \ z" , x, z' , p otrzymuję, że d(ptpz")-, stosując następnie T 6 do układu t , q , z , p ‘, z " , r , y ' , p otrzymuję, że d(pqpr).

Na mocy T18 dla układu punktów t, х, у , p , g,V, z dowodzę istnie­

nia punktu s takiego, że fi(psr) i fi(xsy)v fi(xys). Oczywiście jest również p ^ s , gdyż w przeciwnym razie byłoby X(xyz) wbrew założeniu. Tym kończy się dowód T21.

T22. O istnieniu kąta prostego, którego jednym ramieniem jest dana półprosta i którego drugie ramię leży w danej półpłaszczyźnie.

r^X(xyz) => V u, V, w (ft(uxv)A ó ( xuxv ) a d{yuyv)AX Ф VA(3(VWZ)AX(xyw)).

Uwagi o aksjomatyce geometrii Tarskiego

29

D o w ó d . Niech. punkty x , y , z będą niewspółliniowe; na mocy T21 istnieją punkty j?, q, r, s takie, że fi(ypz), ft{qxr), fi(psr), 6 (xqxr), d(pqpr), q ф х , p 7^: s i (3(xsy)v(3(xys)’, zob. rys. 9. Na mocy A 10 i T l i istnieją punkty p ' , s ' , u , v takie, że d(xpxp'), 6{xsxs'), P(xsp')vP(xp's), fi{xs'p)v v (3(xps'), f}(p's'u), d (rss'u), P(uxv) i d(xuxv). Stosując A9 do układu punk­

tów p , s , r , X) p ' , s' , u, x otrzymuję, że 6{хшг). Następnie stosując A9

do układu punktów w, a?,-y,p'; r, # , p, otrzymuję, że d(pqp'v), a po­

nieważ także д(р'ирг), więc otrzymuję, że d(p'up'v). Dla otrzymania, że d(yuyv) wystarczy zastosować A9 lub T 6 do układu punktowa?, у , p ' , u;

x , y

zależy od uporządkowania punktów x , p ' , y . Nierówność v Ф x jest oczywista ze względu na udowodnioną nierówność q Ф x.

Istnienie punktu w spełniającego pozostałe dwa warunki: fi(vwz) i X(xyw)

wynika z T19 odniesionego do układu punktów v , x, u, s ' , p ’ , у , p , z .

Powyższa uwaga kończy dowód.

T23. A x } y\J u,

[P(

)

(

)

ó (yuyv)AX Ф х ) .

D o w ó d . ( A l l , T22).

T24. Да?, y\J z, u, u' , v, v' [и

(3(

' )

д(хихи')

d{xuyv)/\

A/3(vyv')A ó (yvyv')

fi (xzy)

ft(uzv')

(

' )

d(zuzu')A(}(u[zv)).

D o w ó d . Na mocy T23 istnieją punkty p i p ' takie, że д(осрхр'), д(УРУР'), Р(РУР') i P Ф у \ zob. rys. 10. Na mocy A10, T l i i T12 istnieją punkty p " , q , q ' , q " takie, że P(p'xp" ) , <5(xp'xp"), P(xqp), P(xq"p"), q ^ x , q ^ p , ó(xqxq"), p(pxq') i d(xqxq'). Na mocy T16 i T20 istnieje punkt u taki, że ,в ( р " щ ) , Р( р щ” ), д ( щ щ " ) , d(upup") i и ф х .

Niech, u ' , v , v ' będą takimi punktami, że p(uxu'), d(xuxu'), P(p'yv), ó(xuyv), fi(vyv'), ó(yvyv'), przy czym można założyć, że punkt q został tak dobrany, że P(yv'p'). Na mocy T15 dla układu punktów p " , u, q, x, p 'i U' ,q' wnioskuję, że P(p'u'q'). Na mocy T17 dla układu punk­

tów p ' , vf, y, p , u, q" , x dowodzę istnienia punktu z takiego, że p(xzy) i p(uzv’ ).

Na mocy T6 dla układu punktów y, v, p, x; y, v', p ' , x otrzymuję, że ó(xvxv') a na m ocy tegoż twierdzenia dla układu punktów x f z , y , V}

x , z , y , v ' otrzymuję, że d(zvzv'). Następnie stosuję T6 trzykrotnie:

najpierw dla układu punktów p , y , p ' , q'’,p 'i У 1 Р 1 q" otrzymując, że

d(q'yq"y)} następnie dla układu q' , u' , p ’ , y\q" , u, p , у otrzymując, że

6(yuy'u) i wreszcie dla układu ж, z, у , w; x, z, у , u' , z czego otrzymuję,

że 6(zuzu'). Stosując A9 do układu punktów p , y, 0',. p r 1 y, v, u'

Uwagi o aksjomatyce geometrii Tarskiego ³¹

otrzymuję, że d(uv'u'v), skąd wobec T14 wynika, że ft(u'zv), co kończy dowód.

Udowodnione wyżej twierdzenie oraz następne są lematami dla zapowiedzianego na wstępie twierdzenia o istnieniu środka odcinka.

T25. (3(yxz)A (3(y'xz')A д(хуху')л ó ( xzxz ') a ó{yy'zz')Ay ф у' =>

=> d(xyxz).

D o w ó d (nie wprost). Niech będzie ~Ó(xyxz). Stosując AK) i T8 dowodzę istnienia punktów u i u' takich, że (3(yxu), ó(xyxu), (3(y'xu'), 6{xy'xu') i z Ф и (rys. 11). Można założyć, że (3(xuz), z czego wynika, (na mocy T13), że fi(xu'z') oraz z' Ф u' . Wobec A9 w odniesieniu do ukła­

du punktów y , x , u , u ' ; u ' , x , y ' , y otrzymuję, że д(уу'ии'), natomiast stosując A9 do układu punktów x, u, z, u' ; x, u' , z' , u otrzymuję, że d(zu'uz').

Niech v i v' będą takimi punktami, że ft(xzv), d(xuzv), ft(xz'v') i d(xuz'v'). Stosując A9 do układu u, z, v, z' ; z, u, x, u' otrzymuję, że ó(vz'xu'), stosując następnie A9 do układu x, z’ , v' , v ' , и', x, x otrzymuję, że ó(vv'xx), skąd wobec A5 otrzymuję że v = v'. Otrzymana równość dzięki T8 prowadzi do równości у = у' sprzecznej z założeniem.

Musi być zatem d(xyxz), c.b.d.o.

T26. O istnieniu środka odcinka.

‘©

л X, у V z (p {xzy) л ó (xzzy)).

D o w ó d . Na mocy T24 istnieją punkty z , u , u ' , v , v ' spełniające

warunki p(xzy), jl(uxu'), p{vyv'), ft(uzv'), ft(u'zv), и ф х , ё(хши'),

d(zuzu'), d(zvzv'), d(yvyv'), d{wuyv)j zob. rys. 12. Na mocy T25 jest rów­

nież d(zuzv) i d(zuzv').

Wystarczy zastosować T6 do układu punktów и, ос, и', z; v, у , v j z , by otrzymać, że ó(oczzy), co kończy dowód.

Istotnie więc twierdzenie o istnieniu środka odcinka nie zależy ani od aksjomatu Euklidesa A 8 ani od aksjomatu ciągłości A13. (Ponadto, jak można było zauważyć, nie zależy ono również od aksjomatu wymiaru A12.)

Wynika stąd, jak już o tym wspomniałem, że

Układ aksjomatów Tarskiego A 1 -A 7, A9-A12 jest równoważny ukła­

dowi płaskich aksjomatów Hilberta I, I I i I I I grupy.

Wyprowadzenie aksjomatów Tarskiego z aksjomatów Hilberta nie przedstawia większych trudności.

Oprócz dowodu aksjomatu o odkładaniu kąta (w oparciu o udo­

wodnione wyżej twierdzenie o istnieniu środka odcinka) na uwagę zasłu­

guje dowód jednoznaczności odkładania kąta oraz dowód pewnika Pascha (w oparciu о A7 i A12).

Prace cytowane

[1] K . B o r s u k i W . S zru ielew , Podstawy geometrii, Warszawa 1956.

[2] K . B o r s u k and W . S z m ie le w , Foundations of Geometry, Amsterdam 1960.

[3] D. H il b e r t , Grundlagen der Geometrie, Stuttgart 1956.

[4] A . T a r s k i, What is elementary geometry ?, The Axiomatic Method, pp.

16-29.

[5] — A decision method for elementary algebra and geometry, II ed., University

of California Press, 1951.

Uwagi o aksjomatyce geometrii Tarskiego 33

Z.

(Łódź)

R E M A R K S ON T A R S K I’S SYST E M OF AXIO M S OF G E O M E T R Y

S U M M A R Y

In [4] Tarski presents a very neat axiomatic system for Euclidean plane geo­

metry. The basic notions are two predicates /? (for betweenness relation) and (5 (for equidistance relation). The formula /1 (xyz) is read: the point у lies between the points x and z or coincides with at least one of them. The formula S{xyzu) is read: the point x is as distant from the point y, as the point z is from the point u. The axioms A l - A 12 are quoted in this paper. A13 is the continuity axiom.

Comparing this axiomatic system with that of Hilbert (see [3]) or with some modification of that system (see e.g. [1] or [2]) first of all we notice that the axiom on displacement of an angle (or a triangle) does not appear in Tarski’s system. As far as I know this axiom has been proved in this system with the aid of A 8 (Eucli­

dean axiom) or with the aid of A13 (elementary continuity axiom).

In this paper I prove that the theorem on existence of the center of a segment is a consequence of the axioms A 1 - A 7 , A 9 -A 1 1 only. Since, in Tarski’s system, the theorem on displacement of a triangle may be easily deduced from the existence of the center of a segment, hence, the theorem on displacement of a triangle depends neither on Euclidean axiom (A8) nor on the elementary continuity axioms (A13).

In conclusion the system of axioms A 1 - A 7 , A 9 -A 1 2 occurs to be equivelent to the system of Hilbert plane axioms of incidence, axioms of order and axioms of congruence.

Prace Matematyczne П£. 1