Pokazać nierówność H¨oldera n X i=1 xiyi ¬ n X i=1 xpi !1/p n X i=1 yiq !1/q , gdzie xi, yi ­ 0, p, q jak poprzednio

1a. Zadania z analizy funkcjonalnej

1. Udowodnić nierówność H¨oldera

ab ¬ 1 pa^p+1

qb^q,

gdzie a, b ­ 0, p, q > 1 oraz ¹_p + ¹_q = 1. Wyznaczyć, kiedy zachodzi równość. Wskazówka:

(Sposób I) Naszkicować wykres funkcji y = x^p−1. Porównać pole prosto- kąta [0, a]×[0, b] z sumą pól dwu obszarów: (1) ograniczonego wykresem funkcji, osią OX, i prostą x = a, (2) ograniczonego wykresem funkcji, osią OY i prostą y = b. (Sposób II) Przyjąć y = 1 i pokazać, że funkcja f (x) = ¹_px^p− x +¹_q przyjmuje minimum w punkcie x = 1.

2. Pokazać nierówność H¨oldera

n

X

i=1

xiyi ¬

n

X

i=1

x^p_i

!1/p n

X

i=1

y_i^q

!1/q

,

gdzie x_i, y_i ­ 0, p, q jak poprzednio. Kiedy zachodzi równość ? Wskazówka:

Założyć, że obie sumy

n

X

i=1

x^p_i i

n

X

i=1

y_i^q nie przekraczają 1. Zastosować po- przednie zadanie do każdego z iloczynów x_iy_i.

3. Pokazać, że

n

X

i=1

|x_i|^p

!1/p

= max





     

n

X

i=1

x_iy_i

:

n

X

i=1

|y_i|^q

!1/q

¬ 1







,

gdzie x_i, y_i ∈ C, p i q jak poprzednio.

4. Pokazać nierówność trójkąta dla normy

kxk_p =

n

X

i=1

|x_i|^p

!1/p

określonej na Cⁿ. Wskazówka: Skorzystać z poprzedniego zadania.

5. Uogólnić trzy poprzednie zadania na sumy nieskończone.

6. Dla p₂ ­ p₁ ­ 1 i n ∈ N znaleźć najlepsze stałe w nierównościach

n

X

i=1

|x_i|^p1

!1/p1

¬ c₁

n

X

i=1

|x_i|^p2

!1/p2

,

n

X

i=1

|x_i|^p2

!1/p2

¬ c₂

n

X

i=1

|x_i|^p1

!1/p1

.

7. Pokazać, że `<sup>p1</sup> ⊂ `^p2, jeśli p₁ ¬ p₂. Wskazówka: Jeśli kxk_p1 ¬ 1, to

|xn| ¬ 1 dla wszystkich n.

8. Skonstruować ciąg x ∈ `<sup>2</sup> taki, że x 6∈ `^p dla każdego p < 2.

9. Pokazać całkową nierówność H¨oldera

Z

Ω

f (x)g(x) dµ(x) ¬

Z

Ω

f (x)^pdµ(x)

1/pZ

Ω

g(x)^qdµ(x)

1/q

,

dla nieujemnych funkcji f (x) i g(x), p i q jak w zadaniu 1.

10. Pokazać nierówność trójkąta dla normy kf k_p =

Z

Ω

|f (x)|^pdµ(x)

1/p

,

gdzie f jest zespoloną funkcją na Ω i p ­ 1. Wskazówka: Wyprowadzić wzór analogiczny do wzoru z zadania 3.

11. Ze zbióru Górniaka i Pytlika rozwiązać zadania z rozdziału II.