równanie postaci: (1) n X i,j=1 ˜ aij(x) ∂2u ∂xi∂xj (x

WYKŁAD III

3. Równania różniczkowe cząstkowe liniowe rzędu II

Rozważmy równanie różniczkowe cząstkowe liniowe, rzędu drugiego tzn.

równanie postaci:

(1)

n

X

i,j=1

˜

a_ij(x) ∂²u

∂xi∂xj

(x) +

n

X

k=1

b_k(x)∂u

∂xk

(x) + c(x)u(x) = g(x), gdzie x ∈ U ⊂ Rⁿ, zaś ˜a_ij, b_k, c są funkcjami ciągłymi na zbiorze U .

Zauważmy, że przyjmując aij = ¹₂(˜a_ij + ˜a_ji)równanie (1) można zapisać w po- staci

(2)

n

X

i,j=1

a_ij(x) ∂²u

∂x_i∂x_j(x) +

n

X

k=1

b_k(x)∂u

∂x_k(x) + c(x)u(x) = g(x), Wtedy macierz

A = [a_ij] = 1

2[˜a_ij + ˜a_ji]

jest macierzą symetryczną (A = ¹₂^A + ˜˜ A^T, dla ˜A = [˜a_ij]).

Zatem możemy rozważyć formę kwadratową Q odpowiadającą macierzy A w punkcie x ∈ U . Niech

Q(λ₁, . . . , λ_n) =

n

X

i,j=1

a_ji(x)λ_iλ_j. Sprowadzając formę do postaci kanonicznej otrzymujemy

Q(ξ₁, . . . , ξ_n) =

n

X

i=1

α_i(x)ξ_i²,

gdzie αi(x), i = 1, . . . , n przyjmuje wartości równe −1 lub 0 lub 1.

Wobec powyższego wprowadzić możemy następującą definicję.

Równanie (2) nazywamy:

(1) eliptycznym w punkcie x ∈ U gdy wszystkie αi(x) = 1 albo wszystkie α_i(x) = −1, i = 1, . . . , n. (A posiada n wartości własnych tego samego znaku).

(2) parabolicznym w punkcie x ∈ U gdy przymajmniej jeden z αi(x) = 0, i = 1, . . . , n. (Istnieje zerowa wartość własna macierzy A).

(3) hiperbolicznym w punkcie x ∈ U gdy jeden z αi(x)jest ujemny a pozo- stałe αi(x)są dodatnie albo gdy jeden z αi(x) jest dodatni a pozostałe α_i(x)są ujemne. (Jedna z wartości własnych macierzy A ma znak prze- ciwny niż pozostałe wartości własne A).

Zatem jedynie współczynniki stojące przy pochodnych cząstkowych rzędu drugiego funkcji niewiadomej u charakteryzują równanie (2).

1

2

Stąd wyrażenie

n

X

i,j=1

a_ij(x) ∂²u

∂x_i∂x_j(x) nazywamy częścią główną równania (2).

Twierdzenie 3.1. Typ równania jest niezmiennikiem dyfeomorfizmu.

Dowód. Niech D ⊂ U będzie obszarem z którym równanie (2) jest typu elip- tycznego albo parabolicznego albo hiperbolicznego. Niech ψ : D → ˆD będzie dyfeomorfizmem klasy C²między obszarami D, ˆDw Rⁿ. Niech x ∈ D, y = ψ(x), u ∈ C²(D). Przyjmijmy v = u ◦ ψ⁻¹. Wówczas

∂u

∂x_i(x) =

n

X

l=1

∂v

∂y_l(ψ(x))∂y_l

∂x_i(x), oraz

∂²u

∂xi∂xj

(x) =

n

X

k,l=1

∂²v

∂yl∂yk

(ψ(x))∂y_l

∂xi

(x)∂y_k

∂xj

(x) +

n

X

l=1

∂v

∂yl

(ψ(x)) ∂²y_l

∂xi∂xj

(x).

Zatem

n

X

i,j=1

aij(x) ∂²u

∂x_i∂x_j(x) =

n

X

i,j=1

aij(x)

n

X

k,l=1

∂²v

∂y_l∂y_k(ψ(x))∂y_l

∂x_i(x)∂y_k

∂x_j(x) + W RN, gdzie W RN oznacza wyrazy niższego rzędu. Przyjmując

a⁰_lk(ψ(x)) =

n

X

i,j=1

a_ij(x)∂y_l

∂x_i(x)∂y_k

∂x_j(x) oraz oznacząjc A⁰ = [a⁰_lk], J = [_∂x^∂yl

j] A = [a_ij] otrzymujemy A⁰ = J · A · J^T.

Stąd macierz A transformuje się tak jak macierz współczynników formy kwa- dratowej. Zatem macierze A i A⁰ mają wartości własne tych samych znaków.

Reasumując zamiana dyfeomorficzna zmiennych zachowuje typ równania.  Niech D będzie otwartym podzbiorem Rⁿ, u : D → R funkcją klasy C² na D.

Laplasjanem funkcji u nazywamy funkcję ∆u postaci

∆u(x) =

n

X

i=1

∂²u

∂x²_i(x)

Niech t ­ 0 będzie dodatkową zmienną (interpretowaną jako czas). u : D × [0, ∞) → R funkcją klasy C² na D × (0, ∞). Wówczas przyjmujemy

∆xu(x, t) = ∆u(·, t), tzn. ∆xu(x, t) =^Pn_i=1^∂_∂x^2u2

i(x, t).

3

Przykład 3.2.

(1) Niech D będzie otwartym podzbiorem Rⁿ, t ­ 0. Niech u : D × [0, ∞) → R będzie funkcją ciągłą na zbiorze D×[0, ∞) oraz klasy C²na D×(0, ∞).

Równanie postaci

u_tt− c²∆_xu = 0,

gdzie c 6= 0 jest równaniem hiperbolicznym. Równianie to nazywamy jednorodnym równaniem falowym.

(2) Niech ponownie D będzie otwartym podzbiorem Rⁿ, t ­ 0. Niech u : D × [0, ∞) → R będzie funkcją ciągłą na zbiorze D × [0, ∞) oraz klasy C² na D × (0, ∞). Równanie postaci

u_t− c²∆_xu = 0,

gdzie c 6= 0 jest równaniem parabolicznym. Równianie to nazywamy jednorodnym równaniem ciepła.

(3) Niech w dalszym ciągu D będzie otwartym podzbiorem Rⁿ, u : D → R będzie funkcją klasy C² na D. Równanie postaci

∆u = 0,

jest równaniem eliptycznym. Równianie to nazywamy równaniem La- place’a.

3.1. Równania różniczkowe cząstkowe liniowe rzędu II w R².

Niech n = 2. Wówczas równanie różniczkowe cząstkowe liniowe, rzędu dru- giego przyjmuje postać

(3)

a(x, y)∂²u

∂x²(x, y) + 2b(x, y) ∂²u

∂x∂y(x, y) + c(x, y)∂²u

∂y²(x, y) + d(x, y, u,∂u

∂x,∂u

∂y) = 0, gdzie a, b, c są ciągłe na zbiorze U ⊂ R², d jest funkcją liniową względem u,^∂u_∂x,^∂u_∂y.

Ponadto odpowiadającą równaniu (3) formę w punkcie (x, y) ∈ U możemy zapisać następująco:

(4) Q(λ₁, λ₂) = a(x, y)λ²₁+ 2b(x, y)λ₁λ₂+ c(x, y)λ²₂, zaś jej macierz

"

a b b c

#

, precyzyjniej

"

a(x, y) b(x, y) b(x, y) c(x, y)

#

.

4

Sprowadzając formę (4) do postaci kanonicznej jej macierz przyjmuje postać

"

α₁ 0 0 α₂

#

.

Badając zatem typ równania wystarczy zbadać znak iloczynu α1· α2. Ponadto,

sgn(α₁·α₂) = sgn

α₁ 0 0 α₂

= sgn(|C^T|·

α₁ 0 0 α₂

·|C|) = sgn

a b b c

= sgn(ac−b²), gdzie C jest macierzą przejścia od bazy, w której forma przyjmuje postać (4) do bazy, w której jest w postaci kanonicznej. Niech więc

δ(x, y) = a(x, y)c(c, y) − b²(x, y).

Wówczas z definicji eliptyczności paraboliczności i hiperboliczności otrzymu- jemy

• jeżeli δ(x, y) > 0 to równanie jest eliptyczne w punkcie (x, y) ∈ U ;

• jeżeli δ(x, y) = 0 to równanie jest paraboliczne w punkcie (x, y) ∈ U ;

• jeżeli δ(x, y) < 0 to równanie jest hiperboliczne w punkcie (x, y) ∈ U .