Ćwiczenia nr 10, AM II, 21-24.11.2017 Szereg Taylora, funkcje klasy C∞ Zadanie 1. Wykazać, że następujące funkcje są klasy C∞:
(a) f : R2→ R, f (x, y) = e−1/(x2+y2)dla (x, y) 6= (0, 0), f(0, 0) = 0, (b) f : R2→ R, f (x, y) = sin(xy)/x dla x 6= 0 i f (0, y) := y.
Zadanie 2. Oblicz
(a) ∂g∂t, jeśli g(t) = f(cos t, sin t), a f : R2→ R jest funkcją różniczkowalną.
(b) ∂g∂r, ∂α∂g, jeśli g(r, α) = f(r cos α, r sin α), a f = f(x, y) jest funkcją różniczkowalną R2→ R.
Zadanie 3. Niech φ : R → R będzie funkcją klasy C∞ taką, że φ(0) = 0, φ(k)(0) = 0 dla każdej liczby k = 1, 2, . . ..
Niech f : R2→ R, f (x, y) = φ(xy). Wykazać, że (a) f jest klasy C∞,
(b) f(tx, y/t) = f(x, y) dla każdego t 6= 0, (c) x∂f∂x(x, y) = y∂f∂y(x, y).
(d) Wykazać, że dowolna funkcja ciągła (odpowiednio, różniczkowalna) f : R2→ R taka, że f (tx, y/t) = f (x, y) dla dowolnego t 6= 0 jest postaci f (x, y) = φ(xy) dla pewnej funkcji ciągłej (odpowiednio, różniczkowalnej) φ : R → R.
(e) Niech teraz f : R2 → R, f (x, y) = φ(xy) sgn(x), gdzie sgn(0) = 0 i sgn(x) = ±1, w zależności czy x > 0. Wykazać, że f również jest klasy C∞, f(tx, y/t) = f(x, y), ale tylko dla t > 0 oraz f spełnia równanie różniczkowe z punktu (c).
Zadanie 4. Załóżmy, że f : R2 → R jest funkcją różniczkowalną taką, że ∂f∂x(x, y) = −∂f∂y(x, y) w każdym punkcie (x, y) ∈ R2. Wykazać, że istnieje funkcja różniczkowalna φ : R → R taka, że f(x, y) = φ(x − y).
Zadanie 5. Obliczyć wielomian Taylora stopnia 3 w punkcie a funkcji (a) ex+y+z− xyz, a = (0, 0, 0),
(b) (DOM, 24.11.2017) x tg(y + z) + y tg(z + x) + z tg(x + y), a = (π/4, −π/4, 0) (stopnia 2), (c) xyz, a = (1, −1, 2),
(d) x/y − y/x, a = (1, 1).
Zadanie 6. Znajdź Dαf (0, 0) (wyższe pochodne cząstkowe funkcji f w (0, 0), α = (α1, α2)), jeśli (a) f(x, y) = ex2y,
(b) f(x, y) = e2x+3y.
Zadanie 7. Znajdź wszystkie funkcje f : R2→ R takie, że dla dowolnych a, b ∈ R zachodzi
(x,y)→(0,0)lim
f (a + x, b + y) − f (a, b) − ay − bx − x2− y2
|x|3+ |y|3 = 0.
lub wykaż, że taka funkcja nie istnieje.
Zadanie 8. (DOM, 1.12.2017) Znajdź wszystkie funkcje dwukrotnie różniczkowalne określone na R2 spełniające
∂2f
∂x2(x, t) = ∂2f
∂t2(x, t) Wskazówka: Dokonać zamiany zmiennych x = y + s, t = y − s.
Zadanie 9. Dla jakich wartości α można tak zadać wartość f(0, 0), aby funkcja f była ciągła na zbiorze {(x, y) : x + y > −1}, gdzie
f (x, y) = x + y − ln(1 + x + y) − |xy|
(x2+ y2)α .
1
Zadanie 10. Niech f : Ω → R będzie funkcją różniczkowalną na pewnym podzbiorze otwartym Ω ⊂ Rn i niech a ∈ Ω.
Uzasadnić, że poniższy ciąg jest ciągiem istotnie coraz słabszych warunków:
(a) ∂x∂2f
i∂xj istnieją i są ciągłe na pewnym otoczeniu punktu a.
(b) Istnieje D2f (a) (t.j. funkcja Df : Ω → L(Rn, R), x 7→ Df (x) jest różniczkowalna w punkcie a).
(c) Istnieje funkcja liniowa L, L(v) =P
λivi i funkcja kwadratowa B, B(v) = 12P
i,jaijvivj takie, że
v→0lim
f (a + v) − f (a) − L(v) − B(v)
kvk2 = 0.
Ponadto, dla każdego wektora v ∈ Rn istnieje druga pochodna w t = 0 funkcji t 7→ f(a + tv) i jest równa D2f (a)(v, v).
2
