Klasówka nr 2, 15.11.2018, grupa B
Zadanie 1. Rozwa»amy permutacje z powtórzeniami liter pewnych sªów (anagramy). Na przykªad wszystkimi anagramami sªowa ALA s¡ ALA, LAA i AAL.
(a) Ile jest wszystkich anagramów sªowa KONSTANTYNOPOL?
(b) Ile jest anagramów, które zaczynaj¡ si¦ na O, a ko«cz¡ na N?
(c) Ile jest takich, w których litery T s¡ obok siebie?
(d) Ile jest takich, w których »adne dwie litery N nie s¡ obok siebie?
Odpowied¹ prosz¦ uzasadni¢.
Zadanie 2. Udowodnij, »e n 0
!
+ n + 1 1
!
+ n + 2 2
!
+ . . . + n + k k
!
= n + k + 1 k
!
.
Zadanie 3. Które z poni»szych zda« jest tautologi¡? Odpowied¹ dokªadnie uzasadnij.
(a) (p ⊕ q ⊕ r) ∨ (p ∧ q) ∨ (q ∧ r) ∨ (r ∧ p), (b) ((p ∨ q) → r) ∧ (p ∧ q)) → r.
Zadanie 4. Obliczy¢
(a) maksymaln¡ warto±¢ wyra»enia x3y4(8 − x − y)przy zaªo»eniu, »e x, y s¡ dodatnimi liczba rzeczywistymi,
(b) minimaln¡ warto±¢ wyra»enia x +9yx2 +zy2+3z przy zaªo»eniu, »e x, y, z s¡ dodatnimi liczba rzeczywistymi. Wskazówka: a + 1a 2 dla a > 0.
Zadanie 5. Znajd¹ wspóªczynnik przy x8 w (a) (2 + x)3(1 − x2)15,
(b) (1 + x2− x3)9.
Zadanie 6. Niech a ∈ R. Znajd¹ zwarty wzór na
n
X
k=0
n k
!
(a − 1)k+ (−1)k−1(a + 1)k.
Zadanie 7. Wyka», »e dla dowolnej liczby naturalnej n zachodzi nierówno±¢
(2n + 1)n (2n)n+ (2n − 1)n.
