Zadanie 1 Prosz¸e obliczyć

Analiza Matematyczna Zestaw B

Zadanie 1 Prosz¸e obliczyć

n→∞ lim [log ₄

₊₂ (2 ⁿ + 7)]

Rozwi¸ azanie

Wykorzystamy twierdzenie o trzech ci¸ agach:

”Jeśli dla dostatecznie dużych n, a _n ≤ b _n ≤ c _n i lim _n→∞ a _n = lim _n→∞ c _n , to lim _n→∞ a _n = lim _n→∞ b _n = lim _n→∞ c _n ”

Zamieniamy logarytm przy podstawie 4 ⁿ + 2 na logarytm przy podstawie 2.

log ₄

₊₂ (2 ⁿ + 7) = log 2 (2 ⁿ + 7) log ₂ (4 ⁿ + 2) Prawdziwa jest nierówność:

log ₂ 2 ⁿ

log ₂ (4 ⁿ + 4 ⁿ ) ≤ log ₂ (2 ⁿ + 7)

log ₂ (4 ⁿ + 2) ≤ log ₂ (2 ⁿ + 2 ⁿ ) log ₂ 4 ⁿ z której wynika, że

n

2n + 1 ≤ log ₂ (2 ⁿ + 7)

log ₂ (4 ⁿ + 2) ≤ n + 1 2n lim _{n→∞ 2n+1} ⁿ = lim _n→∞ ⁿ⁺¹ _2n = ¹ ₂

Z twierdzenia o trzech ci¸ agach

lim _n→∞ log 2 (2 ⁿ + 7)

log ₂ (4 ⁿ + 2) = lim

n→∞ log ₄

₊₂ (2 ⁿ + 7) = 1 2

Zadanie 2

W jakim punkcie i pod jakim k¸ atem przecinaj¸ a si¸e wykresy funkcji o równaniach: f (x) =

x

4 , g(x) = _x

⁸ +4 ?

1

Rowi¸ azanie

K¸ at przeci¸ecia si¸e wykresów funkcji to jeden z k¸ atów wierzchołkowych mi¸edzy stycz- nymi do krzywych w ich punkcie przeci¸ecia si¸e .

Znajdujemy współrz¸edne punktu (punktów) przeci¸ecia si¸e wykresów funkcji, rozwi¸ azuj¸ ac równanie f (x) = ^x ₄

= _x

⁸ +4 = g(x).

Otrzymujemy dwa punkty wspólne: (−2, 1), (2, 1) (prosz¸e sprawdzić ) Dla punktu (−2, 1): φ ₁ = arctan _1+f ^g

^(−2)−f

(−2)g

⁽⁻²⁾ (−2) = arctan _1−(1)1/2 ^1/2+1 = arctan 3

Analogicznie dla punktu (2, 1): φ 2 = arctan _1+f ^f

^(2)−g

(2)g

⁽²⁾ (2) = arctan _1+1(−1/2) ^1+1/2 = arctan 3 (Prosz¸e sprawdzić)

Wykresy funkcji w obu punktach przecinaj¸ a si¸e pod k¸ atem φ = φ ₁ = φ ₂ ,dla którego tan φ = 3.

Zadanie 3

Prosz¸e wyprowadzić wzór na pochodn¸ a rz¸edu drugiego funkcji określonej równaniem f (x) = (x + 3)ln(x + 4) i obliczyć f ⁰⁰ (−2).

Rozwi¸ azanie

Zauważmy, że dziedzin¸ a funkcji jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych.

Stosuj¸ ac wzór na pochodn¸ a iloczynu dwu funkcji, otrzymujemy kolejno f ⁰ (x) = 1 · ln(x + 4) + (x + 3) · _x+4 ¹

f ⁰⁰ (x) = _x+4 ¹ + 1(x+4)−(x+3)1

(x+4)

= _(x+4) ^x+5

f ⁰⁰ (−2) = ³ ₄ Zadanie 4

Prosz¸e uzasadnić, że wykres funkcji o równaniu f (x) = x arctan x jest ściśle wypukły.

Rozwi¸ azanie

Dziedzin¸ a funkcji jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych.

Obliczaj¸ ac kolejno pochodne rz¸edu pierwszego i drugiego funkcji f (x), otrzymujemy f ⁰ (x) = 1 arctan x + _1+x ^x

, f ⁰⁰ (x) = _1+x ¹

+ ^1·(1+x _(1+x

^)−x·2x

)

= _(1+x ²

)

> 0, Druga pochodna funkcji f (x) jest dodatnia na zbiorze liczb rzeczywistych - wykres funkcji f (x) jest wi¸ec ściśle wypukły.

2