Zadanie 1 Prosz¸e obliczyć

(1)

Analiza Matematyczna Wykład 3

Granica funkcji

Na dzisiejszym spotkaniu pokażemy jak obliczać granic¸e funkcji na przykładach za- dań, z którymi możecie si¸e Państwo spotkać na kolokwiach lub egzaminach.

Zadanie 1 Prosz¸e obliczyć

x→0 lim

sin( 1

x ) · tan x

jeśli ta granica istnieje, lub wykazać, że nie istnieje.

Rozwi¸ azanie

| sin α| ≤ 1 dla każdej liczby α ∈ R, zatem 0 ≤ | sin( _x ¹ ) · tan x| ≤ | tan x| → 0, gdy x → 0, wi¸ec

x→0 lim

sin( 1

x ) · tan x

= 0

W obliczeniu granicy wykorzystaliśmy twierdzenie o granicy trzech funkcji.

Przypomnijmy to twierdzenie

Jeśli dla wszystkich argumentów x dostatecznie bliskich punktowi p zachodzi nierówność podwójna

f (x) ≤ g(x) ≤ h(x)

i istniej¸ a granice lim _x→p f (x),lim _x→p h(x) oraz lim _x→p f (x) = lim _x→p h(x), to również funkcja g ma granic¸e w punkcie p i zachodzi równość

x→p lim f (x) = lim

x→p g(x) = lim

x→p h(x) Dowód

W dowodzie tego twierdzenia, jeśli wykorzystamy definicj¸e ci¸ agow¸ a - Heine granicy funk- cji w punkcie:

Niech p oznacza dowolny punkt skupienia dziedziny funkcji f . Mówimy, że g ∈ R jest gra-

nic¸ a funkcji f w punkcie p wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ci¸ agu (x _n ) zbieżnego do p,

którego wszystkie wyrazy s¸ a różne od p , ma miejsce równość lim _n→∞ f (x _n ) = g.Granic¸ e

funkcji w punkcie p oznaczamy symbolem lim x→p f (x),

(2)

to dowód wynika z twierdzenia o trzech ci¸ agach Zadanie 2

Prosz¸e obliczyć

x→+∞ lim cos x

x Rozwi¸ azanie

Mamy

0 ≤

cos x x

≤ 1

|x| =⇒ 0 zatem

x→+∞ lim cos x

x = 0

Prosz¸e zauważyć, że reguła markiza de l’Hospitala nie działa, bo nie stnieje granica lim _x→+∞ ^{− sin x} ₁ , a jej istnieje jest jednym z założeń twierdzenia del’Hospitala.

Zadanie 3 Prosz¸e obliczyć

x→+∞ lim lnx

x Rozwi¸ azanie

Zastosujemy twierdzenie de’lHospitala.

Przypomnijmy to twierdzenie:

Załóżmy, że funkcje f, g : (a, b) → R s¸ a różniczkowalne w każdym punkcie przedziału (a, b), że g(x) 6= 0 6= g ⁰ (x) dla każdego x ∈ (a, b), że istnieje granica

x→a lim f ⁰ (x)

g ⁰ (x) = G ∈ R = R ∪ (−∞, +∞) oraz spełniony jest jeden z dwóch warunków:

w1. lim _x→a f (x) = 0 = lim _x→a g(x);

w2. lim _x→a |g(x)| = +∞.

Wtedy iloraz ^{f (x)} _g(x) ma granic¸ e przy x → a i zachodzi równość G = lim _x→a ^{f (x)} _g(x) . Stosuj¸ ac to twierdzenie, bo można je zastosować gdyż , lim x→∞ x = ∞ i lim x→∞

1 x

1 = 0

(3)

Otrzymujemy

x→+∞ lim lnx

x = 0

Zadanie 4 Prosz¸e obliczyć

x→+∞ lim ( √

³

x + lnx − √

³

x + cos x)

Rozwi¸ azanie Mamy √

³

x + lnx − √

³

x + cos x = √

³

x h

3

q

1 + ^lnx _x − p1 +

³

^{cos x} _x i Wyrażenie w nawiasie kwadratowym ma granic¸e 0, ale lim x→∞

³

√ x = ∞. Jesteśmy wi¸ec w niemiłej sytuacji 0 · ∞. Należy przybliżyć wielkości

³

q

1 + ^lnx _x oraz p1 +

³

^{cos x} _x Mamy ( √

³

x) ⁰ = ¹

3 √

³

x

²

. Wobec tego √

³

1 + y = √

³

1 + ¹

3 √

³

1 + yρ(y) = 1 + ¹ ₃ y + yρ(y), gdzie lim _y→0 ρ(y) = 0. Mamy wi¸ec

√

3

x

"

3

r

1 + lnx x −

³

r

1 + cos x x

#

=

= √

³

x

1 + lnx

3x + lnx x ρ( lnx

x ) − 1 − cos x

3x − cos x

x ρ( cos x x )

= √

³

x lnx

3x + lnx x ρ( lnx

x ) − cos x

3x − cos x

x ρ( cos x x )

Z nierówności 0 ≤

³

√ x ^{cos x} _x ≤ √

3

¹

x

²

wynika, że lim x→∞

³

√ x ^{cos x} _3x = 0.

bo 0 ≤ | cos x| ≤ 1

Stosuj¸ ac reguł¸e de l’Hospitala otrzymujemy lim _x→∞

³

√ xlnx

x = lim _x→∞ √ ^lnx

3

x

²

= lim _x→∞

1 x

−

²

3

x

^−1/3

= − lim _x→∞ ³

2

³

√ x

²

= 0 Obliczenia zostały zakończone.

Można rozwi¸ azać to zadanie nieco inaczej.

√

3

x + lnx − √

³

x + cos x) = x + lnx − (x + cos x) p(x + lnx)

3

² + √

³

x + lnx √

³

x + cos x + p(x + cos x)

³

² =

= lnx − cos x

p(x + lnx)

3

² + √

³

x + lnx √

³

x + cos x + p(x + cos x)

³

² =

(4)

= lnx − cos x

√

3

x ²







1

3

q

1 + ^lnx _x 2

+

³

q

1 + ^lnx _x p1 +

³

^{cos x} _x

³

q

1 + ^{cos x} _x 2







Podobnie jak w poprzednim rozwi¸ azaniu wykazujemy, że lim _x→+∞ ^{cos x} √

3

x

²

= 0 oraz lim x→+∞ lnx

√

3

x

²

= 0 i otrzymujemy

x→+∞ lim ( √

³

x + lnx − √

³

x + cos x) = 0

Zdanie 5

Prosz¸e znaleźć takie liczby a, b, że lim x→0

ln(1 + x) − (ax + bx ² )

x ² = 0

nast¸epnie prosz¸e obliczyć granic e

lim _x→0 ln(1 + x) − (ax + bx ² ) x ³

Rozwi¸ azanie

Ponieważ licznik i manownik d¸ aż¸ a do 0, wi¸ec może si¸e udać zastosować reguł¸e mar- kiza de l’Hospitala.. Trzeba znaleźć granic¸e ilorazu pochodnych (o ile istnieje), czyli lim _x→∞

1

1+x

−(a+2bx) 2x

Ta granica powinna być równa 0 (lub nie istnieć).

Ponieważ

lim _x→∞ _1+x ¹ − (a + 2bx) = 1−a i lim _x→0 (2x) = 0 wi¸ec dla a > 1 mamy lim _x→0

⁺

1

1+x

−(a+2bx)

2x =

−∞ , a dla a < 1 lim _x→0

⁺

1

1+x

−(a+2bx)

2x = +∞.Wobec tego musi zachodzić równość a − 1 = 0, czyli a = 1. Trzeba ustalić dla jakiej liczby b zacodzi równość: lim _x→0

1

1+x

−(1+2bx)

2x = 0

(lub dla jakiej liczby ta granica nie istnieje). Ponieważ licznik i mianownik d¸ aż¸ a od 0, wi¸ec spróbujmy raz jeszcze zastosować reguł¸e de l’Hospitala.

Otrzymujemy lim _x→0 _2(1+x) ^−1−2b

2

= ^−1−2b ₂ . Wobec tego b = − ¹ ₂ .W każdym innym przypadku granice jednostronne s¸ a nieskończone, wi¸ec różne od 0.

Pozostaje do obliczenia granica lim _x→0 ln(1+x)−(x−

¹

x2

)

x

³

.Stosuj¸ ac reguł¸e de l’Hospitala trzy- krotnie: lim _x→0 ln(1+x)−(x−

¹

x2

)

x

³

= lim _x→0 ^(1+x)

⁻¹

_3x ^−(1−x)

2

= lim _x→0 ^−(1+x) _6x

⁻²

⁺¹ = lim _x→0 ^2(1+x) ₆

⁻³

=

1 3 . We wszystkich przypadkach licznik i mianownik maj¸ a granic¸e równ¸ a 0, twierdzenie

de l’Hospitala można zastosować, bo ostatnia granica istnieje , i wobec tego równa jest

poprzedniej, a ta z kolei pozwala na cofni¸ecie si¸e o jeszcze jeden krok, zatem

(5)

lim _x→0 ln(1+x)−(x−

¹

x2

) x

³

= ¹ ₃ .

Zadanie to możemy rozwi¸ azać jeszcze inaczej, rozwijaj¸ ac funkcj¸e ln(1 + x) w szereg Taylora-Maclaurina z reszt¸ a Peano. Mamy ln(1 + x) = x − ^x ₂

²

+ ^x ₃

³

+ x ³ h(x) , gdzie lim _x→0 h(x) = 0 Mamy wi¸ec wyjaśnić kiedy granica

0 = lim

x→0

x − ^x ₂

²

+ ^x ₃

³

+ x ³ h(x) − (ax + bx ² )

x ² = lim

x→0

(1 − a) − ( ¹ ₂ + b)x + ^x ₃

²

+ x ² h(x) x

St¸ ad granica ostatnia jest równa 0, gdy 1 − a = 0, czyli a = 1. Podstawiaj¸ ac a = 1 otrzymujemy ( ¹ ₂ + b) = 0 b = − ¹ ₂ .

Pozostaje stwierdzić, że

x→0 lim

x − ^x ₂

²

+ ^x ₃

³

+ x ³ h(x) − (x − ¹ ₂ x ² )

x ³ = lim

x→0

1 3 + h(x)

= 1 3

Ta metoda jest lepsza. Wyraźnie uwidacznia jak przybliżyć funkcj¸e, by uprościć pro- blem. Zreszt¸ a samo sformułowanie zadania sugeruje, by użyć trzeciego wielomianu Taylora funkcji ln(1 + x) w punkcie x = 0.

Stosuj¸ ac reguł¸e de l’Hospitala niejako utajniamy rodzaj stosowanego przybliżenia, choć merytorycznie jest to samo (w dowodzie wzoru Taylora stosowaliśmy twierdzenie

Zadanie 1 Prosz¸e obliczyć

Analiza Matematyczna Wykład 3

Granica funkcji

Na dzisiejszym spotkaniu pokażemy jak obliczać granic¸e funkcji na przykładach za- dań, z którymi możecie si¸e Państwo spotkać na kolokwiach lub egzaminach.

Zadanie 1 Prosz¸e obliczyć

x→0 lim

 sin( 1

x ) · tan x



jeśli ta granica istnieje, lub wykazać, że nie istnieje.

Rozwi¸ azanie

| sin α| ≤ 1 dla każdej liczby α ∈ R, zatem 0 ≤ | sin( x 1 ) · tan x| ≤ | tan x| → 0, gdy x → 0, wi¸ec

x→0 lim

 sin( 1

x ) · tan x



= 0

W obliczeniu granicy wykorzystaliśmy twierdzenie o granicy trzech funkcji.

Przypomnijmy to twierdzenie

Jeśli dla wszystkich argumentów x dostatecznie bliskich punktowi p zachodzi nierówność podwójna

f (x) ≤ g(x) ≤ h(x)

i istniej¸ a granice lim x→p f (x),lim x→p h(x) oraz lim x→p f (x) = lim x→p h(x), to również funkcja g ma granic¸e w punkcie p i zachodzi równość

x→p lim f (x) = lim

x→p g(x) = lim

x→p h(x) Dowód

W dowodzie tego twierdzenia, jeśli wykorzystamy definicj¸e ci¸ agow¸ a - Heine granicy funk- cji w punkcie:

Niech p oznacza dowolny punkt skupienia dziedziny funkcji f . Mówimy, że g ∈ R jest gra-

nic¸ a funkcji f w punkcie p wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ci¸ agu (x n ) zbieżnego do p,

którego wszystkie wyrazy s¸ a różne od p , ma miejsce równość lim n→∞ f (x n ) = g.Granic¸ e

funkcji w punkcie p oznaczamy symbolem lim x→p f (x),

to dowód wynika z twierdzenia o trzech ci¸ agach Zadanie 2

Prosz¸e obliczyć

x→+∞ lim cos x

x Rozwi¸ azanie

Mamy

0 ≤

cos x x

≤ 1

|x| =⇒ 0 zatem

x→+∞ lim cos x

x = 0

Prosz¸e zauważyć, że reguła markiza de l’Hospitala nie działa, bo nie stnieje granica lim x→+∞ − sin x 1 , a jej istnieje jest jednym z założeń twierdzenia del’Hospitala.

Zadanie 3 Prosz¸e obliczyć

x→+∞ lim lnx

x Rozwi¸ azanie

Zastosujemy twierdzenie de’lHospitala.

Przypomnijmy to twierdzenie:

Załóżmy, że funkcje f, g : (a, b) → R s¸ a różniczkowalne w każdym punkcie przedziału (a, b), że g(x) 6= 0 6= g 0 (x) dla każdego x ∈ (a, b), że istnieje granica

x→a lim f 0 (x)

g 0 (x) = G ∈ R = R ∪ (−∞, +∞) oraz spełniony jest jeden z dwóch warunków:

w1. lim x→a f (x) = 0 = lim x→a g(x);

w2. lim x→a |g(x)| = +∞.

Wtedy iloraz f (x) g(x) ma granic¸ e przy x → a i zachodzi równość G = lim x→a f (x) g(x) . Stosuj¸ ac to twierdzenie, bo można je zastosować gdyż , lim x→∞ x = ∞ i lim x→∞

1 = 0

Otrzymujemy

x→+∞ lim lnx

x = 0

Zadanie 4 Prosz¸e obliczyć

x→+∞ lim ( √

x + lnx − √

x + cos x)

Rozwi¸ azanie Mamy √

x + lnx − √

x + cos x = √

x h

q

1 + lnx x − p1 +

cos x x i Wyrażenie w nawiasie kwadratowym ma granic¸e 0, ale lim x→∞

√ x = ∞. Jesteśmy wi¸ec w niemiłej sytuacji 0 · ∞. Należy przybliżyć wielkości

q

1 + lnx x oraz p1 +

cos x x Mamy ( √

x) 0 = 1

3 √

x

. Wobec tego √

1 + y = √

1 + 1

3 √

1 + yρ(y) = 1 + 1 3 y + yρ(y), gdzie lim y→0 ρ(y) = 0. Mamy wi¸ec

sin( 1

| sin α| ≤ 1 dla każdej liczby α ∈ R, zatem 0 ≤ | sin( _x ¹ ) · tan x| ≤ | tan x| → 0, gdy x → 0, wi¸ec

sin( 1

i istniej¸ a granice lim _x→p f (x),lim _x→p h(x) oraz lim _x→p f (x) = lim _x→p h(x), to również funkcja g ma granic¸e w punkcie p i zachodzi równość

nic¸ a funkcji f w punkcie p wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ci¸ agu (x _n ) zbieżnego do p,

którego wszystkie wyrazy s¸ a różne od p , ma miejsce równość lim _n→∞ f (x _n ) = g.Granic¸ e

Prosz¸e zauważyć, że reguła markiza de l’Hospitala nie działa, bo nie stnieje granica lim _x→+∞ ^{− sin x} ₁ , a jej istnieje jest jednym z założeń twierdzenia del’Hospitala.

Załóżmy, że funkcje f, g : (a, b) → R s¸ a różniczkowalne w każdym punkcie przedziału (a, b), że g(x) 6= 0 6= g ⁰ (x) dla każdego x ∈ (a, b), że istnieje granica

x→a lim f ⁰ (x)

g ⁰ (x) = G ∈ R = R ∪ (−∞, +∞) oraz spełniony jest jeden z dwóch warunków:

w1. lim _x→a f (x) = 0 = lim _x→a g(x);

w2. lim _x→a |g(x)| = +∞.

Wtedy iloraz ^{f (x)} _g(x) ma granic¸ e przy x → a i zachodzi równość G = lim _x→a ^{f (x)} _g(x) . Stosuj¸ ac to twierdzenie, bo można je zastosować gdyż , lim x→∞ x = ∞ i lim x→∞

1 + ^lnx _x − p1 +

^{cos x} _x i Wyrażenie w nawiasie kwadratowym ma granic¸e 0, ale lim x→∞

1 + ^lnx _x oraz p1 +

^{cos x} _x Mamy ( √

x) ⁰ = ¹

1 + ¹

1 + yρ(y) = 1 + ¹ ₃ y + yρ(y), gdzie lim _y→0 ρ(y) = 0. Mamy wi¸ec

x lnx

√ x ^{cos x} _x ≤ √

¹

√ x ^{cos x} _3x = 0.

Stosuj¸ ac reguł¸e de l’Hospitala otrzymujemy lim _x→∞

x = lim _x→∞ √ ^lnx

= lim _x→∞

= − lim _x→∞ ³

² + √

² =

² + √

² =

x ²

1 + ^lnx _x 2

1 + ^lnx _x p1 +

^{cos x} _x