Zadanie 1 Prosz¸e obliczyć

Analiza Matematyczna Kolokwium 2 Zestaw C1

Zadanie 1 Prosz¸e obliczyć

Z

x ³ e ^−x

dx.

Rozwi¸ azanie

Stosujemy podstawienie: y = x ² . St¸ ad dy = 2xdx Otrzymujemy

Z

x ³ e ^−x

dx = 1/2 Z

ye ^−y dy = −1/2 Z

(e ^−y ) ⁰ ydy = −1/2e ^−y y + 1/2 Z

e ^−y 1dy =

= −1/2e ^−y y − 1/2e ^−y + C = −1/2e ^−x

(x ² + 1) + C.

Zadanie 2

Prosz¸e obliczyć pole obszaru ograniczonego krzywymi y = _x

⁸ +4 i y = |x| − 1.

Rozwi¸ azanie

Zauważmy, że obszar O jest symetryczny wzgl¸edem osi OY.

Rozwi¸ azuj¸ ac układ równań y = _x

⁸ +4 i y = |x| − 1, otrzymujemy punkty wspólne krzy- wych: (−2, 1) (2, 1).

St¸ ad pole obszaru O

|P (O)| = Z 2

−2

( 8

x ² + 4 − |x| + 1)dx = 2 Z 2

0

( 8

x ² + 4 − x + 1)dx =

= 2 Z 2

0

−x ³ + x ² − 4x − 12 x ² + 4 dx

1

Dziel¸ ac licznik przez mianownik funkcji wymiernej wyst¸epuj¸ acej pod znakiem całki otrzy- mujemy

2 Z 2

0

−x ³ + x ² − 4x − 12

x ² + 4 dx = 2 Z 2

0

(−x + 1)dx + 2 Z 2

0

8

x ² + 4 dx = c1 + c2

c1 = 2 Z 2

0

(−x + 1)dx = −4 + 4 = 0

c2 = 2 Z 2

0

8

x ² + 4 dx = 8 Z 1

0

dt

t ² + 1 = 8 arctan 1 = 8 π 4 = 2π w ostatniej całce zastosowaliśmy podstawienie ξ = ₂ ^t .

Pole obszaru |P (O) = 0 + 2π = 2π.

Zadanie 3

Prosz¸e wyznaczyć asymptoty wykresu funkcji f (x) ( o ile istniej¸ a) oraz jej miejsca zerowe.

f (x) = x ² (x ² − 4) ^−3/2 .

Rozwi¸ azanie

Dziedzina funkcji to zbiór tych wszystkich jej argumentów x dla których x ² − 4 > 0.

Jest to suma przedziałów (−∞, −2), (2, ∞).

Zauważmy, że x ²

p(x ² − 4) ³ = x ²

|x ³ |p(1 − 4/x ² ) ³ → 0, gdy x → −∞ i x → ∞

Wykres funkcji posiada wi¸ec asymptot¸e poziom¸ a obustronn¸ a o równaniu y = 0 (oś OX).

Ponadto

x ²

p(x ² − 4) ³ = x ²

|x ³ |p(1 − 4/x ² ) ³ → ∞, gdy x → −2 ⁻ i x → 2 ⁺

2

Wykres funkcji f (x) posiada asymptot¸e pionow¸ a lewostronn¸ a o równaniu x = −2 i asymp- tot¸e pionow¸ a prawostronn¸ a o równaniu x = 2.

Funkcja posiada jedno miejsce zerowe x = 0 (ułamek jest równy 0, gdy jego licznik jest 0 i mianownik różny od 0).

Zadanie 4

Prosz¸e znaleźć najmniejsz¸ a i najwi¸eksz¸ a wartość funkcji f (x) = 2e ^x lnx

na przedziale [1, 2].

Rozwi¸ azanie

Pierwsza pochodna funkcji f (x)

f ⁰ (x) = 2e ^x (lnx + 1/x)

jest dodatnia na przedziale [1, 2], zatem funkcja jest ściśle rosn¸ aca na tym przedziale.

Najmniejsz¸ a wartość przyjmuje w lewym końcu przedziału równ¸ a 0, zaś wartość najwi¸eksz¸ a w jego prawym końcu 2e ² ln2 ≈ 10.2.

3