Zadanie 1 Prosz¸e obliczyć

Analiza Matematyczna Kolokwium 2 Zestaw B1

Zadanie 1 Prosz¸e obliczyć

Z x

√ 1 − x

dx.

Rozwi¸ azanie

Stosujemy podstawienie y = x

.

Z x

√ 1 − x

dx = 1 2

Z y

p(1 − y)

dy = 1

2 arcsin y + C = 1

2 arcsin x

+ C

Zadanie 2

Prosz¸e obliczyć pole obszaru ograniczonego przez wykresy funkcji f (x) = x

i g(x) = 1 − x

Rozwi¸ azanie

Znajdujemy punkty wspólne parabol, rozwi¸ azuj¸ ac układ równań y = x

i y = 1 − x

. Otrzymujemy punkty (− √

2/2, 1/2), ( √

2/2, 1/2).

Zauważmy, że obszar O jest symetryczny wzgl¸edem osi OY, st¸ ad jego pole P (O)

|P (O)| = Z

√2/2

−√ 2/2

(1 − x

− x

)dx = 2 Z

√2/2

0

(1 − 2x

)dx = 2 3

√ 2.

Zadanie 3

Prosz¸e wyznaczyć ekstrema lokalne i przedziały monotoniczności funkcji f (x) = ln(x)

√ x .

1

Rozwi¸ azanie

Dziedzin¸ a funkcji f (x) jest jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych dodatnich.

Obliczamy pochodn¸ a rz¸edu pierwszego funkcji f (x).

f

(x) =

√x x

−

√ x

= x(2 − lnx) 2 √

x

. f

(x) > 0, gdy x ∈ (0, e

).

f

(x) < 0, gdy x ∈ (e

, ∞).

Funkcja f (x) jest ściśle rosn¸ aca na przdziale (0, e

) i ściśle malej¸ aca na (e

, ∞).

W punkcie (e

, 2/e) posiada maksimum lokalne właściwe.

Zadanie 4

Prosz¸e napisać trzy pierwsze wyrazy rozwini¸ecia Taylora w otoczeniu punktu a = 1 dla funkcji

f (x) = 2

.

Rozwi¸ azanie

f (x) = f (0) + f

(1)(x − 1) + f

(1) (x − 1)

2! + f

(c) (x − 1)

3! . gdzie c ∈ [0, x].

Obliczamy kolejne pochodne funkcji f (x) do rz¸edu trzeciego wł¸ acznie.

f (1) = 2

= 2.

f

(x) = 2

ln(2), f

(1) = 2ln2.

f

(x) = 2

ln

(2), f

(1) = 2ln

(2).

f

(c) = 2

ln

(2) , f

(1) = 2

ln

(2).

St¸ ad

f (x) = 2

= 2 + 2ln(2)(x − 1) + ln

(2)(x − 1)

+ 2

6 ln

(2)(x − 1)

. gdzie c ∈ [1, x].

2