Liczby zespolone czterema sposobami Marek KORDOS
Jeżeli określimy dodawanie i mnożenie punktów płaszczyzny, z wyróżnionymi
Suma to taki punkt, że 0z1(z1+ z2)z2
jest równoległobokiem; iloczyn to taki punkt, że trójkąty 01z1i 0z2(z1· z2) są podobne i mają tę samą orientację.
Liczba (r, ϕ) ma, jak łatwo zauważyć, współrzędne kartezjańskie
(r cos ϕ, r sin ϕ), czyli r(cos ϕ, sin ϕ).
punktami 0 i 1, w sposób przedstawiony na rysunku, to otrzymamy liczby zespolone. Ten szybki, jasny sposób wprowadzenia liczb zespolonych – zwany geometrycznym – okazał się jednak mało praktyczny. Spójrzmy teraz na te liczby inaczej, jak na wektory o początku w 0. Ponieważ wszystkie mają ten sam początek, więc będziemy je nazywać tak jak ich końce. Każdy z nich może być uzyskany z wektora 1 za pomocą podobieństwa spiralnego o środku 0 (podobieństwo spiralne to złożenie jednokładności i obrotu o tym samym środku; jedynie wtedy obojętna jest kolejność wykonywania tych przekształceń).
Dodawanie liczb zespolonych w tej postaci – nazwijmy ją wektorową – to składanie przesunięć odpowiadających składnikom, natomiast mnożenie to składanie
podobieństw spiralnych (proszę na rysunku sprawdzić, że wektor 1 przy wykonaniu podobieństw spiralnych, odpowiadających z1i z2, stanie się wektorem (z1· z2)).
Takie ujęcie liczb zespolonych pozwala zauważyć, że każda z nich jest określona przez liczbę r mówiącą, ile razy musiał się przedłużyć wektor 1, aby ją otrzymać i liczbę ϕ mówiącą, o jaki kąt wektor 1 musiał się obrócić. Pierwszą z tych liczb nazywamy modułem liczby zespolonej, a drugą argumentem. Jeżeli przedstawimy liczbę zespoloną w postaci (r, ϕ), to – wobec powyższych uwag – wzór na mnożenie będzie wyglądał tak:
(r1, ϕ1) · (r2, ϕ2) = (r1· r2, ϕ1+ ϕ2).
Przetłumaczenie tego na zwykłe współrzędne kartezjańskie daje (bez rachunków!) wzór zwany nazwiskiem de Moivre’a
r1(cos ϕ1,sin ϕ1) · r2(cos ϕ2,sin ϕ2) = (r1· r2) cos(ϕ1+ ϕ2), sin(ϕ1+ ϕ2), co łatwo się uogólnia na wzory mówiące o potęgowaniu i pierwiastkowaniu liczb zespolonych.
Trzecia postać liczb zespolonych to przedstawienie ich bezpośrednio za pomocą współrzędnych kartezjańskich. Dodawanie ma wówczas bardzo prostą postać
(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d),
bo tak się przecież dodaje wektory. Natomiast wzór de Moivre’a pozwala zobaczyć, że i wzór na mnożenie nie jest wiele bardziej skomplikowany:
(a, b) · (c, d) = (ac − bd, ad + bc).
Oto uzasadniający to rachunek:
jeśli (a, b) = (r1cos ϕ1, r1sin ϕ1), a (c, d) = (r2cos ϕ2, r2sin ϕ2), to (a, b) · (c, d) = (r1cos ϕ1, r1sin ϕ1) · (r2cos ϕ2, r2sin ϕ2) =
= ((r1· r2) cos(ϕ1+ ϕ2), (r1· r2) sin(ϕ1+ ϕ2)) =
= (r1· r2) cos ϕ1cos ϕ2− sin ϕ1sin ϕ2,cos ϕ1sin ϕ2+ sin ϕ1cos ϕ2 =
= r1cos ϕ1· r2cos ϕ2− r1sin ϕ1· r2sin ϕ2,
r1cos ϕ1· r2sin ϕ2+ r1sin ϕ1· r2cos ϕ2 =
= (ac − bd, ad + bc).
Można uczynić teraz dwie obserwacje. Pierwsza to ta, że każda liczba zespolona da się przedstawić jako
(a, b) = a(1, 0) + b(0, 1).
Zauważmy, że (1, 0) to po prostu 1 – każdy może sprawdzić, jak się przez (1, 0) mnoży. Natomiast
(0, 1)2= (0 · 0 − 1 · 1, 0 · 1 + 1 · 0) = (−1, 0),
co jest zwykłą minus jedynką, i to też można sprawdzić mnożąc. Liczba (0, 1) jest oznaczana przez i (od imaginarius), nazywana jednostką urojoną i stanowi wielką tajemnicę dla różnego rodzaju filozofów (bo jak to możliwe, aby kwadrat był ujemny. . . ). Tak algebraicznie ujęte liczby zespolone to sumy a + ib, gdzie a i b to liczby rzeczywiste. Rachunki na nich przeprowadza się tak jak na wielomianach, pamiętając zawsze, że i2= −1. Na przykład wzór na mnożenie wyprowadza się przy tej interpretacji tak:
(a + ib) · (c + id) = ac + aid + ibc + i2bd= (ac − bd) + i(ad + bc).
Jest to najstarszy i najczęściej stosowany sposób używania liczb zespolonych.
Gdy z = (a, b), używane są też oznaczenia Re z = a, Im z = b.
Oczywiście, można te sposoby mieszać.
Często zapisuje się np. liczby w postaci algebraicznej za pomocą modułu i argumentu
r(cos ϕ + i sin ϕ).
Jest to szczególnie wygodne, ponieważ eiϕ= cos ϕ + i sin ϕ, ale to już inna sprawa.
