Ćwiczenie 2.

1

Ćwiczenia z przedmiotu:

„Teoria Sygnałów i Systemów”.

Zestaw zadań 2.

Wprowadzenie.

Trygonometryczny szereg Fouriera.

Sygnał okresowy o okresie T spełniający warunki Dirichleta moŜna przedstawić w postaci sumy sygnału stałego oraz sygnałów kosinusoidalnych i sinusoidalnych o okresach T, T/2, T/3 ....

∑

^∞

= 



 



 



 

 + 



 

 + 

=

1 0

sin 2 cos 2

) (

k

k

k t

k T b T t

k a a

t

x π π

gdzie 2π ₌ω₀

T jest pulsacją podstawową sygnału.

WyraŜenie po prawej stronie powyŜszego równania nosi nazwę trygonometrycznego szeregu Fouriera. Wartości współczynników A₀, A_k, B_k, wyznaczone metodą aproksymacji z

najmniejszym średnim błędem kwadratowym, określone są wzorami:

∫

=

T

dt t T x a

0

0 1 ( )

, t dt

k T t

T x a

T

k ⁼

∫

^_^{ }_^

0

cos 2 )

2 ( π

, ⁼

∫

^_^{ }_^

T

k t dt

k T t T x b

0

sin 2 )

2 ( π

.

Trygonometryczny szereg Fouriera moŜna równieŜ przedstawić w następującej postaci:

∑

^∞

=



 



 +

+

=

1 0

sin 2 )

(

k

k

k t

k T A A

t

x π ϕ

gdzie:

A₀ =a₀, ^{Ak =}

(

^ak2+bk2

)

^,

0 dla

0 dla









<

+

±

≥

=

k k

k k k

k

k

b b arctga

b b arctga

π ϕ

Składowa A nazywana jest składową stałą sygnału, składowe ₀ 



 



 +

⋅ k

k t

k T

A ²π ϕ

sin k-tymi

harmonicznymi sygnału, liczby C_k i ϕk odpowiednio amplitudą i fazą k-tej harmonicznej.

Funkcja Ak(k) nazywana jest charakterystyką amplitudową sygnału, zaś funkcję ϕk(k)

charakterystyką fazową. Są to funkcje dyskretne (określone tylko w punktach, gdzie argument funkcji k przyjmuje wartości całkowite).

2

Znając amplitudę i fazę k-tej harmonicznej moŜna wyliczyć współczynniki a_k i b_k:

( )

k k

k A

a = ^sinϕ i bk = Ak^cos

( )

ϕk

Funkcja x(t) spełnia w przedziale 〈t1,t2〉 warunki Dirichleta jeŜeli:

1. jest przedziałami monotoniczna w przedziale (t1,t2),

2. jest ciągła w przedziale (t1,t2), z wyjątkiem co najwyŜej skończonej liczby punktów nieciągłości pierwszego rodzaju, przy czym w kaŜdym punkcie nieciągłości spełniony jest warunek

( )0 = [( ) ( )0−+ 0+]

2

1 xt xt t

x

w końcach przedziału 〈t1,t2〉 spełnione są równości

( ) ( )₁ = ₂ = [( ) ( )₁++ ₂−]

2

1 xt xt t

x t x

Wykładniczy szereg Fouriera.

Stosując wzory Eulera:

cos 2

α

α = ^ejα ^+e−j ,

j e e^{j j} sin 2

α

α = α ^{− −} , gdzie j= −1

moŜna przedstawić szereg Fouriera w postaci wykładniczej:

∑

^∞

−∞

=

=

k

t T jk ke C t

x

π 2

)

( gdzie ^{Ck =}_T

∫

^{Tx t e−jkTtdt}

0

2

)

1 ( ^π

Współczynniki Ck są liczbami zespolonymi. Dla sygnału rzeczywistego C-k jest liczbą sprzęŜoną do Ck.

Między współczynnikami a0, ak, bk, Ak, ϕk, szeregu trygonometrycznego, a współczynnikami C_k szeregu wykładniczego zachodzą następujące związki:

0

0 A

C =

2

k k k

jb C = a −

2

k k k

jb C₋ = a + oraz

2 cos

sinϕ k ϕ

k k

jA

C = A −

oraz związki odwrotne:

0

0 C

A = ak =2Re

( )

Ck =2Re

( )

C−k =Ck+C−k =Ck +C^∗k

( )

− =−

( ) (

= − −

)

=

(

− ^∗

)

= k k k k k k

k C C j C C jC C

b 2Im 2Im

0 C0

a = A_k =2C_k

3 Równość Parsevala.

Dla szeregów Fouriera spełnione jest równanie, noszące nazwę równości Parsevala:

dla szeregu trygonometrycznego:

∫ ∑

^∞

=

+ = +

1 2 2

0 2

2 ) 1

1 (

k k T

t

t

A A

dt t T x

dla szeregu wykładniczego:

∫ ∑

^∞

−∞

=

+ =

k k T

t

t

C dt

t T x

2 2

) 1 (

Całki po lewej stronie równości to moc średnia sygnału x(t), składniki sum po prawej stronie równości są mocami średnimi harmonicznych sygnału. Moc sygnału jest więc równa sumie mocy harmonicznych.

∫ ∑

^∞

=

+ =

=

0 2( )

1

k k T

t

t

x x t dt P

P T gdzie P jest mocą średnią k-tej harmonicznej _k Pierwiastkując obie strony równości otrzymuje się wzór na wartość skuteczną sygnału:

∑

^∞

=

=

=

0 2 k

k

x X

P

X gdzie X_k = P_k jest wartością skuteczną k-tej harmonicznej.

Współczynnik zniekształceń nieliniowych sygnału.

Współczynnik zniekształceń nieliniowych (określany równieŜ jako współczynnik zawartości harmonicznych) to wyraŜony procentowo stosunek wartości skutecznej wyŜszych

harmonicznych sygnału (drugiej i kolejnych) do wartości skutecznej składowej podstawowej (pierwszej harmonicznej).

% 100

% 100

1 2

2

1 2

2

⋅

=

⋅

=

∑ ∑

^∞

=

∞

=

C C A

A

h ^k

k k

k

Współczynnik zniekształceń nieliniowych jest naturalną miarą, określającą odkształcenie sygnału od sygnału sinusoidalnie zmiennego.

Niektóre własności szeregów Fouriera.

1. Liniowość.

Jeśli sygnały okresowe x(t) i y(t) mają ten sam okres T (tą samą częstotliwość podstawową), to sygnał będący liniową kombinacją sygnałów x i y zawiera harmoniczne, które są liniową kombinacją harmonicznych sygnału x i y.

4 Jeśli

( ) ∑

^=∞

−∞

=

= ^k

k

t T jk ke a t

x

π

2

( ) ∑

^=∞

−∞

=

= ^k

k

t T jk ke b t

y

π 2

i

^z(^t)=^M⋅^x

( )

^t +^N⋅^y

( )

^t

to

( ) ∑

^=∞

−∞

=

= ^k

k

Tt jk ke c t

z

π 2

gdzie

c_k =M⋅a_k+N⋅b_k 2. Przesunięcie w czasie.

JeŜeli sygnał x(t) opisany jest szeregiem Fouriera:

( ) ∑

^=∞

−∞

=

= ^k

k

Tt jk ke a t

x

π 2

to sygnał przesunięty w czasie o t0 moŜna wyrazić wzorem:

( ) ∑

^=∞

−∞

=

=

− ^k

k

Tt jk ke b t

t x

π 2 0

przy czym współczynniki szeregu bk są równe:

b_k =e^−jkTt0⋅a_k

2π

3. JeŜeli funkcja opisująca sygnał jest parzysta:

^x

( ) ( )

^{−t =x t}

to trygonometryczny szereg Fouriera zawiera tylko składowe kosinusoidalne (bk = 0 dla wszystkich k):

∑

^∞

=



 

 + 

=

1 0

cos 2 )

(

k

k t

k T a

a t

x π

4. JeŜeli funkcja opisująca sygnał jest nieparzysta:

^x

( )

−^t =−^x

( )

^t

to trygonometryczny szereg Fouriera zawiera tylko składowe sinusoidalne (a_k = 0 dla wszystkich k>0):

∑

^∞

=



 

 + 

=

1 0

sin 2 )

(

k

k t

k T b a

t

x π

5

Zadania.

Zadanie 1.

Przebieg sygnału jest określony funkcją:

( )

^t

( )

^t

( )

^t

( )

^t

( )

^t

x =10+5cos10 +2sin10 −2cos 20 +2sin 20

Obliczyć:

a) pulsację podstawową ω0,

b) składową stałą (wartość średnią) sygnału,

c) współczynniki Ak i Bk trygonometrycznego szeregu Fouriera, d) amplitudy Ck i fazy ϕk harmonicznych sygnału,

e) współczynniki wykładniczego szeregu Fouriera ak, f) moc średnią,

g) wartość skuteczną.

Rozwiązanie:

a) Składowymi sygnału są: wartość stała oraz przebiegi kosinusoidalne i sinusoidalne.

Jest to więc trygonometryczny szereg Fouriera, ograniczony do 5-ciu składników.

Zmienne w czasie składniki sygnału posiadają pulsacje 10 i 20 rd/s. Pulsacja podstawowa jest największym wspólnym podzielnikiem tych pulsacji.

W tym przypadku:

ω0 = 10 rd/s

b) Składową stałą sygnału (wartością średnią) jest jego składnik niezaleŜny od czasu:

A₀ =10

c) Sygnał zawiera dwie harmoniczne: pierwszą (podstawową) o pulsacji 10 rd/s i drugą, o pulsacji 20 rd/s. Na podstawie opisu sygnału współczynniki szeregu Fouriera są następujące:

A₁ =5 B₁ =2 A₂ =−2 B₂ =2

6 d) Amplitudy harmonicznych:

39 , 5 2 5^{2 2}

2 1 2 1

1= A +B = + =

C 68 12'

2 5

1 1

1 = °



 



= 

= arctg

B arctg A ϕ

( )

^{2 2 22 2,83}

2 2 2 2

2 = A +B = − + =

C =− °



 



−

=

= 45

2 2

2 2

2 arctg

B arctg A ϕ

Sygnał moŜna opisać następująco:

x

( )

t =10+5,39sin

(

10t+68°12'

)

+2,83sin

(

20t−45°

)

Rysunek przedstawia składową stałą i harmoniczne sygnału.

e) Współczynniki szeregu Fouriera w postaci wykładniczej są następujące:

a₀ = A₀ =10

₁ ^{1 1} 2,5 1 2,69 ^2149'

2 2 5 2

°

= −

−

− =

− =

= A jB j j e ^j

a

a₋₁ =a₁^* =2,5+ j1=2,69e^j21°49'

₂ = ²− ² = − − =−1− 1=1,41 ^135° 2

2 2 2

ej

j j jB

a A

a₋2 =a^*2 =−1+ j1=1,41e^−j135°

f) Moc średnia sygnału na podstawie równości Parsevala:

118,53

2 83 , 2 2 39 , 10 5 2 2

2 2

2 2 2 2 2 1

0 + + = + + =

= C C

C P_x

g) Wartość skuteczna sygnału:

X = Px = 118,53=10,89

7 Zadanie 2.

Na rysunku przedstawiono fragment okresowego sygnału napięciowego.

Obliczyć:

a) współczynniki trygonometrycznego szeregu Fouriera, b) amplitudy harmonicznych sygnału.

Rozwiązanie:

a) Współczynniki szeregu Fouriera obliczymy z podanych wzorów:

dla składowej stałej:

( )

^A

T dt AT T Adt

dt t T x x A

T

T T

T

α α

α α

=

 =



 



 +

=

=

= ¹

∫

¹

∫ ∫

⁰

0 0

0

dla harmonicznych:

T T T

k t

k T k dt A T t k T A

dt T t k t T x A

α π α

π π

π

0 0

0

sin 2 cos 2

2 cos 2

) 2 (



 



= 



 



 



 



= 



 



 



 



=

∫



∫

(

απ

)

π^{k k} A_k = A sin 2

T T T

k t

k T k dt A T t k T A

dt T t k t T x B

α π α

π π

π

0 0

0

cos 2 sin 2

2 sin 2

) 2 (



 



− 

 =



 



 



 



= 



 



 



 



=

∫



∫

( )

[ ] (

απ

)

απ π

π ^{k k}

k A k

B_k A 2 sin²

2 cos

1− =

=

b) Amplitudy harmonicznych:

( )

²

[ ( ) ]

²

2

2 sin 2 1 cos 2 



 



 −

+



 



=  +

= απ

απ π

π ^{k k}

k A k

B A A

C_{k k k}

( ) ( ) ( ) (

απ

)

απ π απ

π απ ^{k k}

k A k

k k

C_k = A sin² 2 +1−2cos 2 +cos² 2 = 2−2cos 2

( ) ( )

παπ

π απ ^k

A k k k

C_k A sin

2 sin

2 2 ₂

=

=

8 Zadanie 3.

Dla sygnału jak w zadaniu 2 obliczyć współczynniki wykładniczego szeregu Fouriera.

Rozwiązanie.

Zgodnie z definicją:

( )

^{π αT jkTπt} _π ^jkTπtαT _π

(

^{j kαπ}

)

T t

T jk

k e

k j e A

k j

T T dt A T Ae

dt e t T x

a ²

0 2

0 2

0

2

2 1 2

1

1 ⁻ = ⁻ =− ⋅ ⁻ = − ₋

=

∫ ∫

Przekształćmy współczynnik do postaci algebraicznej stosując wzór Eulera:

ϕ ϕ

ϕ cos jsin

e^j = +

Otrzymujemy:

( )

_π

^{[ (}

^απ

^{) (}

^απ

^{) ]}

π ^{απ j k k j k}

e A k j

a_k A ^{j k} 1 cos 2 sin 2

1 2 2

2 = − − − −

−

= ⁻

( ) ( ( ) )

[

^{απ απ}

]

_π

[ (

^απ

) (

^απ

) ]

π k ^{k j k}

k A j

k k

a_k A sin 2 2sin²

2 2 cos 1 2

2 sin − − = −

=

Aby obliczyć a0 moŜemy wyznaczyć wartość średnią sygnału z całki lub dla wzoru wyŜej policzyć granice:

απαπ α

παπ ₌ α ₌

→

→ k

k k

k

k

k 2

) 2 lim sin(

2 ) 2 limsin(

0 0

oraz

[ ]

[ ]

^{2 0}

) 2 sin(

lim2 2

) 2 cos(

1 2 lim

) 2 cos(

lim1

0 0

0 − = =

− =

→

→

→ απ π απ

π απ

π απ ^{k k}

dk k d dk k

d k

k

k k

k

Przy obliczaniu drugiej granicy uŜyto twierdzenia de l’Hospitala.

Po podstawieniu do wzoru otrzymujemy:

α

⋅

= A a₀ Zadanie 4.

Dla fali prostokątnej, przedstawionej na rysunku:

a) obliczyć składową stałą,

b) obliczyć amplitudy i fazy harmonicznych,

c) narysować charakterystykę amplitudową i fazową sygnału dla kilku pierwszych harmonicznych.

9 Rozwiązanie:

a) Składowa stała sygnału jest równa:

( ) ( ) [ (

²⁵

)

²⁵

]

⁰

10 5 1

10 5 1

1 ⁵

0 0

5 2

2

0 = − + =



 



 − +

=

=

=

∫ ∫ ∫

− −

dt dt dt

t T x x a

T

T

b) Współczynniki wykładniczego szeregu Fouriera:

( ) ( )

[ ]

[ ( )

π

]

π π

π π

π

π π

π π π

π

π π π

k k e j

e jk

e k e

e j k e j

k j

dt e dt e dt

e t T x a

jk jk

jk jk jk

t jk

t jk t

jk T

T

t T jk k

cos 5 1

1 2 5

1 2 1

5 2

5 10 2

5 10 10

1

5 10 5

1 1

5

0 5 0

5 5

5

0 10 0 2

5

10 2 2

2

2

−

−

=



 



 − +

−

=

= +

−

−

=











 −

⋅

=

=



 



 − +

=

=

−

− −

−

−

−

−

−

−

−

∫ ∫

∫

Amplitudy harmonicznych są równe:

[ ( ) ] [ ( )

π

]

π π

π ^{k k k}

jk a

C_{k k} 10 1 cos

cos 5 1

2

2 = ⋅− − = −

= dla k >0

MoŜna zauwaŜyć, Ŝe dla k parzystych (k = 2n) czynnik ^cos

( )

kπ =^cos

( )

²πn =¹ i wyraŜenie w nawiasie jest równe 0. Wobec tego:

Ck₌₂n =0

Sygnał nie ma harmonicznych parzystych.

Dla k nieparzystych (k = 2n-1) mamy: ^cos

( )

^kπ =^cos

(

²πⁿ−π

)

=−¹. A zatem:

_π

[ ( ) ]

_π

k

C_{k n} k 20

1 10 1

1

2 ₋ = − − =

=

Z podanych we wstępie wzorów wynika, Ŝe:

Ak ^=2Re

( )

ak ⁼⁰ i

π a k

B_{k n k} 20

) Im(

1 2

2 ₋ =− =

=

a stąd

₌₂ = =0

k k n

k B

arctg A ϕ

Przesunięcie fazowe wszystkich istniejących harmonicznych jest zerowe.

10

c) PoniŜej przedstawiono tablicę z wyliczonymi wartościami amplitud kilku pierwszych harmonicznych sygnału.

Harmoniczna 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Amplituda (Ck) 6,37 0 2,12 0 1,27 0 0,91 0 0,71 0 0,58 0 0,49

Faza (ϕk) 0 - 0 - 0 - 0 - 0 - 0 - 0 Na podstawie tabeli sporządzono charakterystykę amplitudową sygnału.

0 2 4 6 8 10 12 14

0 1 2 3 4 5 6 7

PoniewaŜ fazy wszystkich harmonicznych są zerowe, to nie rysowano charakterystyki fazowej.

Zadanie 5.

Obliczyć współczynnik zniekształceń nieliniowych dla fali trójkątnej, przedstawionej na rysunku..

Rozwiązanie.

Sygnał w przedziale

,2 2

T

t∈ −T moŜna opisać następująco:

( )









≥ +

−

<

+

=

0 dla 4

0 dla 4

t A

T t A

t A

T t A t

x

11 Policzmy składową stałą sygnału:

( )

2 0 2 2 2

2 2

4 4

4 4

1 1

2 0 2

0 2 0

2 0

2 2 2

0 0

2 0

2 0

2

2

0 0

2 2

2 0

=

 

− + − +

=

=

















+

− +

=

















+

− +

=

=



















 



− +

+



 



 +

=

=

=

−

− −

−

−

−

−

∫ ∫

∫

∫

∫

∫

∫

T T T T T

A

T t t t

T t T dt A T tdt

dt T tdt

T A

dt A T t dt A

A T t

A dt T

t T x x A

T T

T T T

T T

T

T

T T

T

PoniewaŜ x(t) jest funkcją parzystą, to szereg Fouriera zawiera tylko składowe kosinusoidalne. Obliczmy współczynnik A1 szeregu:



















 

 + 



 



− 



 

 + 



 



= 

=



















 



 



 



 



 



− +

 +



 



 



 



 



 



 +

 =



 



 



 



= 

∫ ∫

∫

∫

∫

∫

∫

−

−

−

−

2

0

2

0 0

2 0

2

2

0 0

2 2

2 1

cos 2 cos 2

4 cos 2

cos 2 4

2

cos 2 4

cos 2 4

2 cos 2

) 2 (

T T

T T

T

T T

T

dt T t A

dt T t T t

dt A T t A

dt T t T t

A T

dt T t A

T t dt A

T t A

T t A dt T

T t t

T x A

π π

π π

π π

π

Obliczmy kolejne całki:

( )

( )

[ ]

2

2 2 0

2 0 2

2

cos 2 2 1

sin 2 2 cos 2

2 cos 2

π π π

π π

π π

π ^{T T}

T t T t

T t dt T

T t t

T T

=

−

−



 



=



 

 + 



 



 



 



=



 





− −

∫

2 0 2 sin

cos 2

0

2 0

2

=



 



= 



 





− −

∫

_T

T

T t k k

dt T T t

k π

π π

( )

( )

[ ]

2

2 2 2

0 2 2

0 1 cos 2

2 sin 2

2 cos 2

2 cos 2

π π π

π π

π π

π ^{T T}

T t T t

T t dt T

T t t

T T

−

= +

−



 



=



 

 + 



 



 



 



=



 



∫



2 0 2 sin

cos 2

2

0 2

0

=



 



= 



 



∫



T T

T t k k

dt T T t

k π

π π

Po podstawieniu wyliczonych całek otrzymujemy:

T A T

A T

T A

A T _{2 2}

2 2

2 1

8 2

4 2 4 2

π π

π ^_⁼

 



 +

=

12

PoniewaŜ B₁ = 0 , to amplituda pierwszej harmonicznej:

A A

C_{1 1} 8₂

=π

= Moc średnia pierwszej harmonicznej jest równa:

2 2

4 2 1

1 32 0,329

2 A A

P = C = =

π Moc średnią sygnału obliczymy z całki:

( )

3 2 3

2 2 3

2

4 3

16 1 4

3 16 1

8 16

1 8

16 1 1

2 2

2

0 2 2 2 3 2 0 2

2 2 2 2 3 2

2

2

0

2 2 2 2 0 2

2

2 2 2 2

2 2

2 2

A T T

T T T T T

A

t A T t

t A T

A t T

A T t

t A T

A T

dt A T t t A T

A dt T

A T t t A T

A dt T

t T x P

T

T

T

T T

T x

=

 

 − + + − +

=

 =



 



 − +

 +



 



 + +

=

 =



 



 − +

 +



 



 + +

=

=

−

−

−

∫

∫

∫

Z równości Parsevala wynika, Ŝe moc wyŜszych harmonicznych jest równa:

2 4

2 2

2

1 2 0

0048 , 32 0

3 0 2 1

A A P A

P C P C P

H k

x k H

=

−

−

=

−

−

=

=

∑

^∞

=

π

Współczynnik zniekształceń nieliniowych wyliczymy ze wzoru:

% 1 , 12

% 329 100

, 0

0048 ,

% 0 100

1

=

⋅

=

⋅

= P h P^H

13 Zadanie 6.

Obliczyć stosunek wartości skutecznej składowej zmiennoprądowej do składowej stałej w wyprostowanym dwupołówkowo napięciu sinusoidalnym. Przebieg napięcia przedstawiono na rysunku.

Przebieg sygnału moŜna opisać funkcją:

( )

^t

A T t

x π

⋅sin

= dla t∈ 0,T Składowa stała sygnału jest równa:

( )

^π _π ^{π t} _π^A

T T T dt A Tt T A

dt t T x x C

T T T

2 cos

1 sin 1

0 0

0

0  =



 



⋅ 

−

=



 



⋅ 

=

=

=

∫ ∫

Moc średnia sygnału jest równa:

( ) ∫

∫

^{= ⋅ }_^{ }_^

=

=

T T

x t dt

A T dt T

t T x x P

0

2 2 0

2

2 1 1 sin π

Całkę : moŜna odczytać z tablic, bądź wyliczyć metodą przez części:

Przyjmując:



 



=  t

u Tπ

sin



 



=  t

v Tπ

sin '



 



⋅ 

= t

T

u Tπ π

cos

'



 



− 

= t

T

v T π

π^cos otrzymujemy równanie:

( ) ∫( ) ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ^{+ − }_^{ }_^



 





−

=



 

 + 



 



 



 





−

=

⋅

−

⋅

=

⋅

=



 



 t dt

dt T T

Tt dt

Tt T

Tt Tt dt v u v u dt v u dt Tt

π π π π π

π π

π 2 2

2 sin

2 2 sin cos

cos sin '

' sin

a stąd:

π π π

4 2 sin sin² 2



 





−

=



 



∫ 

Tt t T dt Tt

∫^sin2_^_T^πt_^dt

14

2 4

2 sin 2

2

0 2

2 t A

T T t T x A P

T

x =















 



 





−

=

= π

π

Moc wszystkich harmonicznych (łącznie z pierwszą):

2 2

2 2 2 0

0 4 0,196

2 A A

C A P P P

P_H = _x− = _x− = − = π

Wartość skuteczna składowej zmiennej napięcia (tzw. napięcia tętnień):

A A

P

U_H = _H = 0,196 ² =0,443

Stosunek wartości skutecznej składowej zmiennej do składowej stałej napięcia wyprostowanego:

=

=

=

A A C

k U^H π

2 443 , 0

0

0,695