Na podstawie:

M M ^{ETODA ETODA} E E ^{LEMENTÓW LEMENTÓW} S S ^{KOŃCZONYCH KOŃCZONYCH}

Na podstawie:

Na podstawie:

J. J. ZielnicaZielnica „Wytrzymałość materiałów” „Wytrzymałość materiałów”

Wyd. Pol. Poznańskiej, 1996 Wyd. Pol. Poznańskiej, 1996

M M ^{ETODA ETODA} E E ^{LEMENTÓW LEMENTÓW} S S ^{KOŃCZONYCH KOŃCZONYCH}

Na podstawie:

Na podstawie:

J. J. ZielnicaZielnica „Wytrzymałość materiałów” „Wytrzymałość materiałów”

Wyd. Pol. Poznańskiej, 1996 Wyd. Pol. Poznańskiej, 1996

Zadanie

Zadanie brzegowe brzegowe

Problem opisany równaniem lub układem

równań różniczkowych, zwykle o pochod-nych cząstkowych z warunkami jednoznaczności:

• warunki geometryczne

• warunki fizyczne

• warunki brzegowe

• warunki początkowe

Numeryczna metoda przybliżonego rozwiązywania zadań brzegowych

(brzegowo-początkowych)

• Podział (dyskretyzacja) układu na pewną ilość elementów skończonych.

• Zastąpienie układu równań różniczkowych

układem równań algebraicznych (zmienne ciągłe wyraża się za pomocą wartości węzłowych oraz funkcji kształtu).

MES: MES:

Przykłady elementów skończonych Przykłady elementów skończonych

•Element skończony – prosta figura geomet- ryczna (płaska lub przestrzenna), dla której określone zostały wyróżnione punkty zwane węzłami,

•Liczba funkcji kształtu w pojedynczym elemencie skończonym jest równa liczbie jego węzłów.

• Węzły - w wierzchołkach elementu skończonego;

- mogą być również na bokach i we wnętrzu.

• Węzły tylko w wierzchołkach - element liniowy.

W innych przypadkach - elementy wyższych rzędów.

• Funkcje kształtu są zawsze tak zbudowane, aby w węzłach których dotyczą ich wartości wynosiły „1”, a pozostałych węzłach przyjmowały wartość „0”.

0 )

( =

∂ +

∂ q x x

N

F₂=F₁ L

F₁

x dx

1 2

dx

N dx

x N N

∂ + ∂

q(x)

Element

Element prętowy prętowy : :

ε x

∂

= u ∂ ε σ

E

= 1

EA x

N ∂

= ∂ u

A

= N σ

0 )

( =

∂ +

∂ q x

x

N

₂ ( ) 0

2 + =

∂

∂ q x

EA x u

[ ]

⎭ ⎬

⎫

⎩ ⎨

= ⎧

2 1 2

1

u N u

N

2

u

2 1

1

u N u

N +

= u

,

1 ₂

1 L

N x L

N x ⎟ =

⎠

⎜ ⎞

⎝⎛ −

funkcje kształtu =

dla el. prętowego:

[ ] ^{( ) 0}

2 1 2

2 1

2

+ =

⎭ ⎬

⎫

⎩ ⎨

⎧

∂

∂ q x

u N u

x N EA

F F unkcje unkcje kształtu kształtu : :

[ ] ^{( ) 0}

N

N

1 2

1 2

2 1 2

0 2

1

=

⎭ ⎬

⎫

⎩ ⎨ + ⎧

⎭ ⎬

⎫

⎩ ⎨

⎧

∂

∂

⎭ ⎬

⎫

⎩ ⎨

⎧ ∫

∫

^{N EA} _x ^{N N} _u ^{u dx}

^{N q x dx}

tw. Greena:

x N x

dx N x

N_i N ^j

∫

∫

N 0 )

(

0 2

1 2

1

0 ^{2 1 2 2}

2 1

1 1

⎭ =

⎬ ⎫

⎩ ⎨

− ⎧

⎭ ⎬

⎫

⎩ ⎨

⎧ ∫

∫

⎥⎥

⎥⎥

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢⎢

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

N dx x

u q dx u

EA

L L

x N x

N x

N x

N

x N x

N x

N x

N

,

1 ₂

1 L

N x L

N x⎟ =

⎠

⎜ ⎞

⎝⎛ −

=

Metoda

Metoda Galerkina Galerkina : :

Po scałkowaniu:

⎭ ⎬

⎫

⎩ ⎨

= ⎧

⎭ −

⎬ ⎫

⎩ ⎨

⎧

−

−

⎥⎥

⎥⎥

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢⎢

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

⎥⎥

⎥⎥

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢⎢

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

0 ) 0

(

2 2 1

1 1 1

2 1

L L

L L

L

L

q x

u EA u

Uwzględniając siły skupione F

i F

:

⎭ ⎬

⎫

⎩ ⎨

= ⎧

⎭ ⎬

⎫

⎩ ⎨

⎧

−

−

⎥⎥

⎥⎥

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢⎢

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

2 1 2

1

1 1 1 1

F F u

EA u

L L

L L

K_eu=F

,

1 ₂

1 L

N x L

N x⎟ =

⎠

⎜ ⎞

⎝⎛ −

=

K _e U=F

K_e - globalna macierz sztywności układu U - wektor przemieszczeń węzłowych

F - wektor sił węzłowych

Globalną macierz sztywności uzyskuje się poprzez „zszywanie” macierzy sztywności dla poszczególnych elementów (agregacja).

Dla układów liniowo

Dla układów liniowo - - sprężystych: sprężystych:

...

Agregacja macierzy:

Agregacja macierzy:

• Układ nie może tworzyć mechanizmu.

• Obciążenia ciągłe zastępujemy obc. skupionymi;

• Podparcia ciągłe zastępujemy podparciami w węzłach;

• Odległości między węzłami przyjmujemy w miarę równomierne;

• Różnica między numerami węzłów w elemencie powinna być minimalna;

• Elementy mogą się łączyć tylko w węzłach;

• Siły i momenty można zadawać tylko w węzłach;

• Podpory można umieszczać tylko w węzłach;

Tworzenie modelu:

Tworzenie modelu:

1

2 L

y

x v₁

v₂

u₂

u₁ 1’

2’

L+∆L

x₁ x₂

y₁ y₂

2 1 2

2 1

2 x ) (y y )

(x

L= − + − ^{c=cosα = x2}_L^{−x1, s =sinα = y2}_L^−y1

2 1 2 1

L (u u c v v s) ( )

∆ = − + −

Macierz sztywności dla

Macierz sztywności dla el el . prętowego: . prętowego:

1 α

2 L

N

N V₁

V₂

H₂ H₁

[

]

L N EA EA

L= NL⇒ = ₂ − ₁ + ₂ − ₁

∆

ε = Bu

] 1[

s c -s L −c

B=

⎥⎥

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢⎢

⎣

⎡

=

2 2 1 1

v u v u u

B - macierz geometryczna

Cu Bu =

=

= EA EA N ε

s c

H s

V c

H₁ =−N , ₁ =−N , ₂ = N , V₂ = N

⎥⎥

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢⎢

⎣

⎡

=

2 2 1

1

V H V

H F

C - macierz sił węzłowych

Zależność między siłą wewnętrzną N i siłami węzłowymi V

i H

:

Bu B

B

F = ^TLN= ^TLEA ]

1[

s c -s L −c

B=

⎥⎥

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢⎢

⎣

⎡

−

−

−

−

−

−

−

−

=

⎥⎥

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢⎢

⎣

⎡

=

2 2

2 2

2 2

2 2

44 43

42 41

34 33

32 31

24 23

22 21

14 13

12 11

L EA

s cs

s cs

cs c

cs c

s cs

s cs

cs c

cs c

a a

a a

a a

a a

a a

a a

a a

a a

Ke

1 11 12 13 14 1

1 21 22 23 24 1

31 32 33 34

2 2

41 42 43 44

2 2

LN LEA

T T

H a a a a u

V a a a a v

a a a a

H u

a a a a

V v

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

= = = = =

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦

⎣ ⎦ ⎣ ⎦

F B B Bu K ue

y

l₁ l₂ x

l₃

1

2 3

4

5

1

2

3

4

5

6

7

F₁

F₂

(1,2)

(3,4) (9,10)

(7,8) (5,6)

⎥⎥

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢⎢

⎣

⎡

=

) 3 ( 66 )

3 ( 65 )

3 ( 62 )

3 ( 61

) 3 ( 56 )

3 ( 55 )

3 ( 52 )

3 ( 51

) 3 ( 26 )

3 ( 25 )

3 ( 22 )

3 ( 21

) 3 ( 16 )

3 ( 15 )

3 ( 12 )

3 ( 11 )

3 (

a a

a a

a a

a a

a a

a a

a a

a a

Ke

⎥⎥

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢⎢

⎣

⎡

=

) 5 ( 88 )

5 ( 87 )

5 ( 86 )

5 ( 85

) 5 ( 78 )

5 ( 77 )

5 ( 76 )

5 ( 75

) 5 ( 68 )

5 ( 67 )

5 ( 66 )

5 ( 65

) 5 ( 58 )

5 ( 57 )

5 ( 56 )

5 ( 55 )

5 (

a a

a a

a a

a a

a a

a a

a a

a a

Ke

Globalna macierz sztywności:

Globalna macierz sztywności:

⎥⎥

⎥⎥

⎥⎥

⎥⎥

⎥⎥

⎥⎥

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢⎢

⎢⎢

⎢⎢

⎢⎢

⎢⎢

⎢⎢

⎣

⎡

+ +

+

= +

) 5 ( 88 )

5 ( 87 )

5 ( 86 )

5 ( 85

) 5 ( 78 )

5 ( 77 )

5 ( 76 )

5 ( 75

) 5 ( 68 )

5 ( 67

) 5 ( 58 )

5 ( 57 )

5 ( 66 )

3 ( 66 )

5 ( 65 )

3 ( 65 )

3 ( 62 )

3 ( 61

) 5 ( 56 )

3 ( 56 )

5 ( 55 )

3 ( 55 )

3 ( 52 )

3 ( 51

) 3 ( 26 )

3 ( 25 )

3 ( 22 )

3 ( 21

) 3 ( 16 )

3 ( 15 )

3 ( 12 )

3 ( 11

) 10 10 (

. .

. . .

.

. .

. . .

.

. .

. .

. . .

.

. .

. .

. . .

.

. .

. .

. .

. .

. .

. .

. .

. .

. .

. . .

.

. .

. .

. .

. . .

.

. .

. .

. .

. .

. .

. .

a a

a a

a a

a a

a a

a a

a a

a a

a a

a a

a a

a a

a a

a a

a a

a a

K x

y

l₁ l₂ x

l₃

1

2 3

4

5

1

2

3

4

5

6

7

F₁

F₂

(1,2)

(3,4) (9,10)

(7,8) (5,6)

1 2 3

1

8

2

1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 . . . . 0 . . . 0

0 0 0 . . . . 0 . . . 0

0 0 0 . . . . 0 . . .

0 0 0 . . . . 0 . . . 0

0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0

0 0 0 . . . . 0 . . .

0 0 0 . . . . 0 . . . 0

u u u

F

u

F

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢=

⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣

⎤⎥

⎥⎥

⎥⎥

⎥⎥

⎢ ⎥⎢ ⎥

⎢ ⎥⎢ ⎥

⎢ ⎥⎢ ⎥

⎢ ⎥⎦

8

0

3 2

1

= u = u = u =

u

Wartości niezerowe

Uwzględniając warunki brzegowe:

Uwzględniając warunki brzegowe:

w poszczególnych prętach układu

• naprężenia:

A

= N σ

• przemieszczenia:

u

, u

, u

, u

, u

, u

• odkształcenia:

ε

• siły wewnętrzne: N = EA

ε

Wyznacza się kolejno:

Wyznacza się kolejno:

y

x C

B A _u

A

u_B u_C

v_A

v_C

v_B

V

V

V

H

H

H

Element płaski trójkątny:

Element płaski trójkątny: