Metody Numeryczne (III INF)
Egzamin, 21 luty 2015
Uwaga.
Rozwiazanie ka˙zdego z dziesi, eciu zada´, n nale˙zy pisa´c na osobnej kartce podpisanej imie- miem, nazwiskiem i numerem indeksu. Ka˙zde zadanie warte jest 5 punkt´ow.
1. Zaproponuj algorytm obliczania w fl warto´sci wyra˙zenia f (x) = (1 + x)3 − 1 dla x > 0 z b ledem wzgl, ednym na poziomie dok ladno´sci arytmetyki., 2. Dana jest macierz
A =
1 1 0 −1
0 2 −1 0
1 1 3 1
−1 −3 −2 3
∈ R4,4.
Stosujac eliminacj, e Gaussa, znajd´, z czynniki rozk ladu P A = LR tej macierzy, gdzie L ∈ R4,4 jest macierza tr´, ojkatn, a doln, a z jedynkami na g l´, ownej przekatnej i pozo-, sta lymi elementami o module nie wiekszym od jedno´sci, R ∈ R, 4,4 jest tr´ojkatna, g´orna, a P ∈ R4,4 jest macierza permutacji.,
3. Niech
A =
1 −1 1 −1 1 −2
1 0
∈ R4,2.
Stosujac odbicia Householdera znajd´, z czynniki rozk ladu ortogonalno-tr´ojkatnego ma-, cierzy A, tzn. taka macierz ortogonaln, a Q ∈ R, 4,4 i tr´ojkatn, a g´, orna R ∈ R, 4,2, ˙ze A = QR.
4. Stosujac algorytm r´, o˙znic dzielonych znajd´z wielomian p stopnia ≤ 3 interpolujacy, dane:
p(0) = 1, p(1) = 4, p0(1) = 6, p00(1) = 8.
Wielomian p zapisz w bazie potegowej.,
5. Wyznacz wielomian stopnia ≤ 1 najlepiej przybli˙zajacy funkcj, e f (x) = x, 3 na prze- dziale [−1, 1] w normie L2, tzn. w normie kgk2 =
R1
−1|g(t)|2dt1/2
.
6. Funkcje f (x) = sin x aproksymujemy na przedziale [0, 2] wielomianem interpolacyj-, nym Lagrange’a p opartym na pieciu w, ez lach (czyli deg p ≤ 4). Czy mo˙zna dobra´, c wez ly interpolacyjne tak, aby b l, ad aproksymacji |f (x) − p(x)| by l w ka˙zdym punkcie, x ∈ [0, 2] nie wiekszy ni˙z 10, −3?
Dalszy ciag na nast, epnej stronie!,
7. Znajd´z maksymalny rzad kwadratury postaci,
Q(f ) = a0f (c) + a1f0(c) + a2f (3/4), gdzie a0, a1, a2 ∈ R oraz c ∈ [0, 1], przybli˙zajacej ca lk, e, R1
0 f (x) dx.
8. Dla znalezienia wektora w lasnego macierzy A =
2 −1
−1 2
zastosowano odwrotna metod, e pot, egow, a,
~
yk := (A − σI)−1~xk−1, ~xk := ~yk/k~ykk2,
dla k = 1, 2, . . ., z parametrem σ = 0 i wektorem poczatkowym ~, x0 = [1, 0]T. Czy otrzymany ciag {~, xk}k≥1 jest zbie˙zny, a je´sli tak to jaka jest jego granica? Jak zmieni sie odpowied´z gdy σ = 2?
9. Niech y > 0. Rozpatrzmy metode iteracji prostych x, k := φ(xk−1), gdzie φ : R → R, φ(x) = 2x − x2y.
Dla jakich warto´sci poczatkowych x, 0 metoda jest zbie˙zna i do jakiej granicy? Jaka jest szybko´s´c zbie˙zno´sci?
10. Wyka˙z, ˙ze dla dowolnego punktu poczatkowego x, 0 ∈ R metoda iteracyjna Newtona zastosowana do funkcji
f (x) = x2+ 1 nie jest zbie˙zna.
KONIEC ZADA ´N
