MODELOWANIE OBSZARÓW WIELOSPÓJNYCH W PURC DLA DWUWYMIAROWEGO

MODELOWANIE INŻYNIERSKIE ISNN 1896-771X 32, s. 507-512, Gliwice 2006

MODELOWANIE OBSZARÓW WIELOSPÓJNYCH W PURC DLA DWUWYMIAROWEGO

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWEGO NAVIERA

EUGENIUSZ ZIENIUK

AGNIESZKA BOŁTUĆ

Zakład Metod Numerycznych, Uniwersytet w Białymstoku

Streszczenie. Głównym celem prezentowanej pracy jest zastosowanie krzywych Béziera różnego stopnia do modelowania wielospójnych obszarów w Parametrycznym Układzie Równań Całkowych (PURC) dla dwuwymiarowego równania Naviera. Do definiowania takiej geometrii brzegu zadawana jest jedynie niewielka ilość punktów brzegowych, potrzebnych do wykreowania wielospójnych obszarów. W przypadku zastosowania krzywych Béziera pierwszego stopnia wymagane jest jedynie zadanie punktów narożnych wielokątnej geometrii brzegu bez względu na pole jej powierzchni. Oznacza to, że liczba danych wejściowych potrzebnych do zdefiniowania rozwiązywanego zagadnienia jest ograniczona do minimum.

1. WSTĘP

Rozwiązywanie liniowych problemów mechaniki sprowadza się do rozwiązywania równania Naviera z zadanymi warunkami brzegowymi. Do ich rozwiązania najczęściej stosowane są metody numeryczne. Ze znanych metod numerycznych najbardziej popularną jest metoda elementów skończonych (MES) [9] oraz metoda elementów brzegowych (MEB) [1,2]. Metody te dają duże możliwości modelowania różnorodnych obszarów w rozwiązywanych zagadnieniach brzegowych. Jest to podyktowane tym, że nawet najbardziej złożone geometrycznie obszary (włącznie z obszarami wielospójnymi) praktycznie można podzielić na elementy skończone, ewentualnie tylko brzeg (zewnętrzny i wewnętrzny) na tzw. elementy brzegowe. Taki sposób modelowania obszarów jest dużą zaletą, ale też staje się wadą w przypadku rozwiązywania złożonych zagadnień wielowymiarowych. Technika taka niejednokrotnie prowadzi do wprowadzania bardzo dużej liczby elementów. Ostatecznie z numerycznego punktu widzenia problem sprowadza się do rozwiązywania bardzo dużych układów równań algebraicznych.

Wprowadzenie dużej liczby elementów jest najczęściej podyktowane koniecznością uzyskania rozwiązań z zadowalającą dokładnością, a nie potrzebą wprowadzania wielu elementów w celu dokładnego zamodelowania obszaru. Niejednokrotnie z punktu widzenia modelowania nawet złożonych obszarów należałoby zadać tylko niewielką liczbę elementów.

Niedogodność ta jest podyktowana tym, że tradycyjne elementy skończone (lub brzegowe) spełniają jednocześnie dwie funkcje, służą do jednoczesnego modelowania obszarów oraz aproksymacji funkcji będących rozwiązaniem równania Naviera na tych elementach.

We własnych pracach poszukiwano bardziej efektywnych sposobów rozwiązywania zagadnień brzegowych. Efektywności poszukiwano w możliwości rozdzielenia jednoczesnej aproksymacji obszaru (lub brzegu) od funkcji będącej rozwiązaniem równania w obszarze (lub na brzegu). Rozdzielenie takie daje możliwości bardzo efektywnego modelowania obszarów bez ingerencji w aproksymację rozwiązania i odwrotnie. Innymi słowy, można stosować najbardziej efektywne metody do modelowania obszarów oraz najbardziej efektywne metody do aproksymacji funkcji będących rozwiązaniem równania różniczkowego. W tym celu (dla dwuwymiarowego równania Laplace’a) został otrzymany Parametryczny Układ Równań Całkowych (PURC) [5,6,7] w którym to nastąpiło analityczne rozdzielenie aproksymacji geometrii brzegu od funkcji brzegowych. Geometria brzegu jest analitycznie uwzględniona w PURC i może być zdefiniowana za pomocą krzywych (dowolnego stopnia) stosowanych w grafice komputerowej. Główną zaletą takiego modelowania brzegu jest zadawanie niedużej ilości danych wejściowych.

Celem niniejszego pracy jest zastosowanie krzywych Béziera do modelowania wielospójnych obszarów w PURC dla dwuwymiarowego równania Naviera. Dlatego też w celu praktycznego zdefiniowania obszarów zadawane są tylko: punkty narożne w przypadku segmentów liniowych oraz punkty brzegowe do wykreowania segmentów krzywoliniowych.

Liczba tych punktów jest znacząco mniejsza niż liczba węzłów w przypadku MEB.

Rozwiązane przykłady potwierdzają wysoką efektywność modelowania obszarów oraz wysoka dokładność uzyskiwanych rozwiązań.

2. PURC ORAZ JEGO NUMERYCZNE ROZWIĄZYWANIE

W prezentowanej pracy do rozwiązywania równania Naviera z dowolnymi warunkami brzegowymi zaproponowano Parametryczny Układ Równań Całkowych (PURC) opisany za pomocą następującego wzoru [8]

}

{

) ( 5 . 0

1

1 1

1

1

ds s s s s s

s s

s _r

n

r s

s

r pr

r pr

p

r

r

∑ ∫

−

−

= U p P u

u s_p−1 ≤s1 ≤s_p, s_r−1 ≤s≤s_r (1)

Funkcje podcałkowe U_pr^* (s₁,s) oraz P_pr^*(s₁,s) występujące w (1) są przedstawiane są za pomocą następujących wzorów

















−

−

−

−

−

−

− −

=

2 2 2 2

2 2

2 1

η η η

η η η

ν η η

η

η η ν η

µ ν

π (3 4 )ln( )

) ln(

) 4 3 ( ) 1 ( 8 ) 1 , (

2 1

2 1

1

* s s

U_pr , (2)

, ,...

2 , 1 , ) ,

1 ( 4 ) 1 , (

22 21

12 11 1

* p r n

P P

P s P

pr s  =



 





− −

= π ν η

P (3)

gdzie

, 2

) 2 1 (

2 1

11 n

η η² ∂

∂







 − +

= ν η

P ₁₂ 2 ^{1 2} (1 2 ) ¹ ₂ ² ₁ ,







 



 



 +

−

∂ −

= ∂ n n

P n η η

η η²

η ν η

η η

, )

2 1 (

2 ^{2 1 2} ₁ ¹ ₂

21 









 



 



 +

−

∂ −

= ∂ n n

P n η η

η η²

η η η ν

η (1 2 ) 2 ,

2 2

22 n

η η² ∂

∂







 − +

= ν η

P

2,

2 1

1n n

η η

n η

∂ +∂

∂

=∂

∂

∂ η η 2 0.5

2 2

1 ]

[η +η

=

η , η₁ =Γ_r⁽¹⁾(s)−Γ_p⁽¹⁾(s₁) i η₂ =Γ_r⁽²⁾(s)−Γ_p⁽²⁾(s₁).

Występujące w tych wzorach funkcje Γ_r⁽ⁱ⁾(s),i =1,2 są parametrycznymi krzywymi Béziera dowolnego stopnia.

Wzory przedstawione w postaci macierzowej (2) i (3) są odpowiednio podstawowym oraz osobliwym rozwiązaniem brzegowym, uwzględniającym w swoim formalizmie matematycznym geometrię brzegu zdefiniowaną za pomocą krzywych Béziera dowolnego stopnia.

PURC (1) może być rozwiązywany dowolnymi metodami numerycznymi służącymi do rozwiązywania układów równań całkowych. Jedną z najprostszych metod (bo wymagających jednokrotnego całkowania) jest metoda pseudospektralna [4,6].

Rozwiązanie PURC sprowadza się tylko do aproksymacji jednej z niewiadomych funkcji brzegowych, funkcje te w PURC nie są bezpośrednio związane z aproksymacją geometrii brzegu. Uniezależnienie aproksymacji geometrii brzegu od aproksymacji funkcji brzegowych ułatwia oraz zwiększa możliwości bardziej efektywnego aproksymowania funkcji brzegowych oraz modelowania geometrii brzegu.

W pracy do aproksymacji funkcji brzegowych u_r(s), p_r(s) na poszczególnych segmentach r zastosowano następujące szeregi aproksymujące

∑

= ^N

0 k

(k) r (k) r

r(s) p T (s)

p , ( ) ( ),

0

) ( )

∑

=

= ^N

k

k r k r

r s u T s

u (4)

gdzie u_r^(k),p_r^(k) są poszukiwanymi współczynnikami, N jest liczbą tych współczynników w szeregach na poszczególnych segmentach oraz T_r^k(s) jest tzw. funkcją bazową, w rozpatrywanym przykładzie są to wielomiany Czebyszewa dowolnego stopnia.

Podstawiając (4) do (1) oraz zapisując otrzymane wyrażenie w punktach kolokacji otrzymamy układ równań algebraicznych względem poszukiwanych współczynników

) ( ) (^k , _r^k

r p

u

B

AX = gdzie X ={u_r^(k),p_r^(k)}^T. (5) Następnie, podstawiając te współczynniki do szeregów aproksymujących (4), otrzymamy wyrażenie, na podstawie którego możemy wyznaczyć rozwiązanie w dowolnych punktach na poszczególnych segmentach.

Mając rozwiązanie na brzegu możemy łatwo znaleźć składowe wektora naprężeń

{

}

x) σ ,σ ,τ ( =

σ w dowolnym punkcie rozważanego obszaru Ω na podstawie tożsamości całkowej

}

∑ ∫

{

−

−

= ⁿ

r

r s

s

r r

r

r x s s S x s s J s ds

x

r

1 r

*

*( , ) ( ) ˆ ( , ) ( ) ( )

) ˆ (

1

u

σ D p . (6)

Funkcje podcałkowe Dˆ_r^*(x,s) oraz Sˆ_r^*(x,s)otrzymuje po zróżniczkowaniu przemieszczeń w obszarze względem współrzędnych [1].

3. PRAKTYCZNE ZASTOSOWANIE PURC

W przykładzie pierwszym proponowaną metodę zastosowano do zamodelowano geometrii obszaru znanego zagadnienia Lame’go [3]. Do dokładnego, praktycznego zamodelowania obszaru pokazanego na rys. 1 zadano tylko 16 punktów brzegowych P_i(i=0,...,15) w celu teoretycznego wykreowania kubicznych krzywych Beziera. Ważną zaletą takiego sposobu modelowania jest to, że liczba tych punktów jest niezależna od długości promienia a i b , w przeciwieństwie do liczby węzłów zadawanych w przypadku zastosowania tradycyjnej MEB lub MES.

W rozwiązywanym przykładzie analizowano cylinder z otworem o promieniu wewnętrznym a=5cm, zewnętrznym b=10cm oraz przyłożonym ciśnieniem wewnątrz cylindra o wartości p=100MPa. Za stałe materiałowe przyjęto następujące wartości

MPa

E =2*10⁵ oraz ν =0.25.

Rys.1. Modelowanie cylindrycznego obszaru wielospójnego punktami brzegowymi Rozwiązania uzyskane za pomocą PURC w wybranych punktach rozważanego przekroju w porównaniu z rozwiązaniami analitycznymi [3] przedstawiono w Tabeli 1.

Tabela 1. Rozwiązania uzyskane w wybranym przekroju rozważanego obszaru Punkt Rozwiązania dokładne PURC Błąd względny [%]

r σ r σ v σ _r σ v σ _r σ v

1 2 3 4 5 6 7

11 -79.3388 117.4341 -78.8858 117.957 0.5710 0.4452 13 -51.3948 89.4900 -51.1018 89.4732 0.5700 0.0187 15 -33.8624 71.9576 -33.7247 71.9298 0.4067 0.0387 17 -22.1453 60.2405 -22.0883 60.2350 0.2575 0.0092 19 -13.9296 52.0248 -13.9216 52.0263 0.0571 0.0028 21 -7.94731 46.0425 -7.97047 46.0153 0.2914 0.0591 23 -3.45666 41.5518 -3.46875 41.4202 0.3498 0.3169 Średni błąd względny [%] 0.3576 0.1272

Jak wynika z powyższej tabeli, rozwiązania dla naprężeń uzyskane za pomocą proponowanej metody są wynikami o wysokiej dokładności. Średni błąd względny obu rozważanych składowych wektora naprężeń nie przekracza 0.5% i wynosi odpowiednio:

0.35% oraz 0.12%. Należy również podkreślić, iż metoda okazała się bardzo efektywna w

przypadku modelowania geometrii brzegu, gdyż nie wymaga tradycyjnej dyskretyzacji, a jedynie zadanie niewielkiej ilości punktów Béziera, które w sposób dokładny definiują żądaną geometrię.

W przykładzie drugim do zamodelowania obszaru pokazanego na rys.2 zastosowano krzywe Béziera pierwszego i trzeciego stopnia. Krzywe pierwszego stopnia zastosowano do zamodelowania brzegu zewnętrznego, natomiast trzeciego stopnia do zamodelowania brzegu wewnętrznego. Praktycznie jak pokazano na rys.2 brzeg zewnętrzny zamodelowano za pomocą zadania jedynie 4 punktów narożnych P_i(i=0,...,3), zaś brzeg wewnętrzny za pomocą 4 punktów brzegowych. Łączna ilość danych wejściowych to współrzędne 8 punktów brzegowych. Do rozwiązania zdania przyjęto następujące stałe materiałoweE=200×10⁹Pa,ν =0.33

Rys.2. Modelowanie obszaru wielospójnego punktami narożnymi i brzegowymi.

W Tabeli 2 przedstawiono rozwiązania uzyskane (w przekroju y=0,1<x<10) za pomocą PURC w porównaniu z rozwiązaniem analitycznym [4].

Tabela 2. Rozwiązania uzyskane w wybranym przekroju rozważanego obszaru σ θ

r

analityczne PURC

Błąd względny [%]

1.5 1.51852 1.52683 0.54734 2.5 1.11840 1.12824 0.87983 3.5 1.05081 1.06135 1.00283 4.5 1.02835 1.03825 0.96277 5.5 1.01817 1.02685 0.85269 6.5 1.01267 1.01936 0.66017 7.5 1.00936 1.01244 0.30485 8.5 1.00721 1.00334 0.38401 9.5 1.00572 0.97280 3.27339 Średni błąd względny [%] 0.98532

Przedstawione w Tabeli 2 wyniki potwierdzają wysoką dokładność metody. Średni błąd względny uzyskany w badanym przekroju wyniósł 0.98%.

4. WNIOSKI

W pracy zaproponowano efektywny sposób modelowania wielospójnej geometrii brzegu za pomocą krzywych Béziera w PURC dla dwuwymiarowego równania Naviera. Zbadano czy prezentowany sposób jest efektywny oraz czy wyniki uzyskane po rozwiązaniu tak zdefiniowanego zagadnienia są wynikami dokładnymi. W tym celu uzyskiwane rozwiązania porównywane były z rozwiązaniami dokładnymi.

Okazało się, iż teoretyczne modelowanie geometrii brzegu za pomocą krzywych Béziera w PURC oraz praktyczne ich definiowanie za pomocą zadawania punktów brzegowych znacznie ogranicza ilość danych wejściowych. Dane wejściowe to minimalny zbiór punktów niezbędnych do dokładnego wykreowania rzeczywistej geometrii brzegu. Rozwiązania uzyskane dla analizowanych przykładów charakteryzują się bardzo wysoką dokładnością, średni błąd względny jest nie większy niż 0.98%.

Praca naukowa finansowana ze środków budżetowych na naukę w latach 2005-2008 jako projekt badawczy (3T11F01528)

LITERATURA

1. Brebbia C. A, Telles J. C. F, Wrobel, L. C.: Boundary element techniques, theory and applications in engineering. New York, Springer 1984.

2. Crouch S. L, Starfield A.M., Boundary element method in Solid Mechanics. George and Unwin Publishers 1983.

3. Schnack, E., Chen, H., A multi-variable non-singular BEM in 2D elasticity, Eur. J. Mech.

A. Solids, 20, 2001, s. 645–659.

4. Timoshenko, S.P., Goodier, J.N., 1970. Theory of elasticity. McGraw-Hill, Tokyo.

5. Zieniuk, E., A new integral identity for potential polygonal domain problems described by parametric linear functions. Engineering Analysis with Boundary Elements, 26, 10, 2002, s. 897-904.

6. Zieniuk, E., Potential problems with polygonal boundaries by a BEM with parametric linear functions. Engineering Analysis with Boundary Elements, 25, 3, 2001, s. 185-190.

7. Zieniuk, E., Bézier curves in the modification of boundary integral equations (BIE) for potential boundary-values problems. International Journal of Solids and Structures, 40, 9, 2003, s. 2301-2320.

8. Zieniuk, E., Bołtuć, A., Non-element method of solving 2D boundary problems defined on polygonal domains modeled by Navier equation. International Journal of Solids and Structures, 2006 (po wstępnej recenzji).

9. Zienkiewicz O.: The finite element methods. London, McGraw-Hill 1977.

MODELING OF MULTI-CONNECTED DOMAINS IN THE PIES FOR TWO-DIMENSIONAL DIFFERENTIAL NAVIER EQUATION

Summary. A main purpose of this paper is to apply Bézier curves of any degree for modeling of multi-connected domains in parametric integral equation system (PIES) for two-dimensional Navier equation. To define such geometry, only small number of boundary points is required. These points are required for accurate modeling of Bézier curve. In the case of using Bézier curves of the first degree we pose only corner points of polygonal domain. It means, that number of input data, which are necessary for solving of boundary problem, is reduced to minimum.