Wektory losowe teoria (Ω, F, P ) przestrze« probabilistyczna.
De nicja 1 Niech (Ω1, F1), (Ω2, F2) b¦d¡ przestrzeniami mierzalnymi. Odwzorowanie f : Ω1 → Ω2 jest mierzalne, je±li ∀B∈F2 f−1(B) ∈ F1. Zapis: f : (Ω1, F1) → (Ω2, F2).
De nicja 2 Wektor losowy to odwzorowanie mierzalne X : (Ω, F) → (Rd, Bd).
De nicja 3 Rozkªad wektora losowego X to miara probabilistyczna PX na (Rd, Bd) dana wzorem PX(A) = P ◦ X−1(A) = P (X ∈ A).
De nicja 4 Wektor losowy X ma rozkªad dyskretny, je±li istniej¡ x1, x2, . . . ∈ Rdi prawdopodobie«stwa p1, p2, . . . > 0 takie, »e P∞
i=1
pi = 1oraz P (X = xi) = pi, i = 1, 2, . . ..
De nicja 5 Wektor losowy X ma rozkªad absolutnie ci¡gªy o g¦sto±ci f, je±li dla ka»dego A ∈ Bd zachodzi P (X ∈ A) =
Z
A
f (x)dx.
Uwaga: f(x) > 0 prawie wsz¦dzie i Z
Rd
f (x)dx = 1.
De nicja 6 Rozkªad PX wektora losowego X = (X1, . . . , Xd) nazywamy rozkªadem ª¡cznym zmien- nych losowych X1, . . . , Xd. Rozkªady PX1, . . . , PXdskªadowych wektora losowego nazywamy rozkªadami brzegowymi.
Uwaga: Rozkªady brzegowe nie determinuj¡ rozkªadu ª¡cznego.
De nicja 7 Zmienne losowe X1, . . . , Xds¡ niezale»ne, je±li ich rozkªad ª¡czny jest produktem rozkªadów brzegowych: P(X1,...,Xd) = PX1× · · · × PXd.
Uwaga: Rodzina zmiennych losowych {Xi}i∈I jest niezale»na, je±li ka»da jej sko«czona podrodzina skªada si¦ ze zmiennych losowych niezale»nych.
Twierdzenie 8 Niech rozkªady zmiennych losowych X1, . . . , Xdb¦d¡ dyskretne. Zmienne te s¡ nieza- le»ne, je±li dla dowolnych x1, . . . , xd∈ Rzachodzi:
P (X1 = x1, . . . , Xd= xd) = P (X1 = x1) · · · P (Xd= xd).
Twierdzenie 9 Niech rozkªady zmiennych losowych X1, . . . , Xd b¦d¡ absolutnie ci¡gªe z g¦sto±ciami f1, . . . , fd. Zmienne te s¡ niezale»ne, je±li ich rozkªad ª¡czny jest absolutnie ci¡gªy i jego g¦sto±¢ fX
ma posta¢:
fX(x1, . . . , xd) = f1(x1) · · · fd(xd).
De nicja 10 Dystrybuant¡ wektora losowego X nazywamy funkcj¦ FX: Rd→ [0, 1]okre±lon¡ wzorem FX(x) = P (X16 x1, . . . , Xd6 xd).
Twierdzenie 11 Dystrybuanta F ma wªasno±ci:
1. FX(x1, . . . , xd) jest funkcj¡ niemalej¡c¡ wzgl¦dem ka»dego argumentu, 2. FX(x1, . . . , xd) jest prawostronnie ci¡gªa wzgl¦dem ka»dego argumentu, 3. FX(x1, . . . , xd) → 0, je±li xi → −∞przynajmniej dla jednego i, 1 6 i 6 d,
FX(x1, . . . , xd) → 1, je±li xi → +∞przynajmniej dla jednego i, 1 6 i 6 d, 4. dla dowolnych ai6 bi, i = 1, . . . , d,
X(−1)
Pd i=1εi
FX(ε1a1+ (1 − ε1)b1, . . . , εdad+ (1 − εd)bd) > 0,
gdzie sumowanie przebiega po wszystkich ci¡gach (ε1, . . . , εd)zªo»onych z zer i jedynek.
Uwaga: Ka»da funkcja FX speªniaj¡ca warunki 1. 4. Twierdzenia 11 jest dystrybuant¡.
De nicja 12 Warto±ci¡ oczekiwan¡ wektora losowego X nazywamy wektor warto±ci oczekiwanych jego skªadowych (o ile ka»da skªadowa jest caªkowalna lub równowa»nie EkXk < ∞):
EX = (EX1, . . . , EXd).
Twierdzenie 13 (O mno»eniu warto±ci oczekiwanych) Je»eli zmienne losowe X i Y s¡ nieza- le»ne i caªkowalne, to iloczyn XY jest caªkowaln¡ zmienn¡ losow¡ i EXY = EXEY .
De nicja 14 Kowariancj¡ zmiennych losowych X, Y nazywamy liczb¦ (o ile zmienne X, Y s¡ caªkowalne z kwadratem):
Cov (X, Y ) = E(X − EX)(Y − EY ) = EXY − EXEY.
De nicja 15 Zmienne losowe X i Y s¡ nieskorelowane, je±li Cov (X, Y ) = 0.
Uwaga: Je±li X, Y s¡ caªkowalne i niezale»ne, to kowariancja istnieje i jest równa 0. Zatem caªkowalne i niezale»ne zmienne losowe s¡ nieskorelowane. Istniej¡ nieskorelowane zmienne losowe, które s¡ zale»ne.
De nicja 16 Wspóªczynnikiem korelacji zmiennych losowych X, Y (o ile s¡ one caªkowalne z kwadratem) nazywamy liczb¦
r(X, Y ) =
(Cov (X,Y )
DXDY , DXDY 6= 0,
1, DXDY = 0,
gdzie D oznacza odchylenie standardowe.
Twierdzenie 17 1. −1 6 r(X, Y ) 6 1.
2. r(X, Y ) = 0 ⇔ X i Y s¡ nieskorelowane.
3. |r(X, Y )| = 1 ⇔ istniej¡ staªe a, b ∈ R takie, »e X = aY + b lub Y = aX + b.
De nicja 18 Macierz¡ kowariancji wektora losowego X (o ile ka»da jego skªadowa jest caªkowalna z kwadratem lub równowa»nie EkXk2< ∞) nazywamy macierz o wspóªczynnikach:
σij = Cov (Xi, Xj), i, j = 1, . . . , d.
Uwaga. Macierz kowariancji jest symetryczna i nieujemnie okre±lona.
De nicja 19 Wariancj¡ wektora losowego X nazywamy liczb¦
Var X = EkX − EXk2= Xd i=1
Var Xi.
