1. Oblicz granicę lim

Seria nr 10. Termin oddania — 08-01-2008

W rozwiązaniach można i należy korzystać ze wszystkich faktów i twierdzeń podanych na zajęciach.

Na kartkach oddają Państwo zadanie 1, choć bardzo polecam zrobienie wcześniej zadania 2.

1. Oblicz granicę lim

n→∞

Z Z

R

x ⁿ + y ⁿ

1 + x ⁿ + y ⁿ e ^−x−y dxdy, gdzie R ² + oznacza pierwszą ćwiartkę,

czyli R ⁺ × R + . Dokładnie uzasadnij rozwiązanie, powołując się na odpowiednie twierdzenia (oraz sprawdzając założenia tych twierdzeń).

2. Wyznacz granicę lim

n→∞

Z ∞ 1

cos _3n ^2x+n

x+2

x ² + 4 − ¹ _n dx.

3. Wiedząc, że 1 + _n ^z
n

6 e ^z dla dowolnych n 6 1, x 6 0, oblicz granicę całek

n→∞ lim Z Z

A



1 + x + y n

 n

e ^−3x−2y dxdy, gdzie A = {(x, y) : x > 0, x + y > 0}.

4. Niech f będzie nieujemną funkcją całkowalną f : R → R + . Zdefiniujmy φ : R → R wzorem φ(y) =

Z y+1 y

f (x) dx. Uzasadnij, że

a) φ jest funkcją nieujemną; (czyli ∀ _y φ(y) > 0) b) φ jest funkcją całkowalną;

c) Z

R

φ(z) dz = Z

R

f (z) dz.