Zagadnienia do egzaminu z przedmiotu:
MATEMATYKA WYŻSZA
dla studentów kierunku GEODEZJA I KARTOGRAFIA (po I semestrze)
1. Podstawowe pojęcia logiki, prawa logiczne, prawa de Morgana i inne tautologie logiczne. Formy zdaniowe, kwantyfikatory
2. Podstawowe pojęcia teorii mnogości; działania na zbiorach, iloczyn kartezjański zbiorów.
3. Relacje, relacje równoważności, klasy abstrakcji; przykłady.
4. Relacja częściowego porządku i porządkująca; majoranta, minoranta, supremum, infimum; przykłady.
5. Funkcja jako relacja, obraz, przeciwobraz, twierdzenia o obrazie i przeciwobrazie; przykłady.
6. Funkcja monotoniczna, różnowartościowa; przykłady.
7. Złożenie funkcji, funkcja odwrotna, przykłady
8. Warunek konieczny i wystarczający odwracalności funkcji (z dowodem).
9. Funkcje cyklometryczne: arcsin, arccos, arctg, argctg; sposoby ich konstrukcji i własności.
10. Działania, podstawowe struktury algebraiczne; przykłady. Ciało liczb wymiernych i rzeczywistych.
11. Podstawowe własności zbioru liczb rzeczywistych, zasada osiągania kresów, zasada Archimedesa. Wartość bezwzględna i jej własności.
12. Ciało liczb zespolonych, zasadnicze twierdzenie algebry.
13. Postać trygonometryczna liczby zespolonej. Obliczanie potęg i pierwiastków liczb zespolonych.
14. Ciągi liczbowe, monotoniczność, zbieżność, jedyność granicy (z dowodem), zbieżność do nieskończoności.
15. Ciągi – warunek Cauchy’ego, twierdzenia o zbieżności. Zbieżność ciągu a działania (z dowodem).
16. Ciągi – zbieżność a ograniczoność, twierdzenie o trzech ciągach, definicja liczby e.
17. Zbieżność ciągów funkcyjnych; przykłady.
18. Szeregi liczbowe, zbieżność, warunek konieczny zbieżności, szereg geometryczny, szereg harmoniczny.
19. Kryteria zbieżności szeregów o wyrazach nieujemnych; porównawcze, d’Alemberta, Cauchy’ego.
20. Szeregi o wyrazach dowolnych, kryterium Leibniza. Zbieżność względna i bezwzględna.
21. Szeregi funkcyjne, kryterium Weierstrassa, szeregi potęgowe, promień zbieżności.
22. Funkcje ciągłe, definicja – warunek Heinego, ciągłość a działania. Ciągłość funkcji odwrotnej. Funkcje ciągłe a nierówności.
23. Własność Darboux i jej zastosowanie do rozwiązywania równań; twierdzenie Weierstrassa.
24. Granica funkcji, definicja, warunek Heinego, jedyność granicy; przykłady.
25. Twierdzenia o granicach, granica a działania, granice i nierówności.
26. Obliczanie granic niektórych funkcji, np. lim0sinxx 1
x lim 1 1
0
ax x
x x x e
x
(1 ) lim 1
27. Ciągłość funkcji trygonometrycznych i cyklometrycznych: arcsin, arccos, arctg, argctg.
28. Asymptoty wykresu funkcji.
29. Definicja różniczkowalności i podstawowe własności. Różniczkowalność a ciągłość; funkcja pochodna, pochodne jednostronne.
30. Różniczkowalność funkcji elementarnych, działania a różniczkowalność. Twierdzenie o pochodnej funkcji odwrotnej (z dowodem).
31. Twierdzenie o wartości średniej Lagrange’a (z dowodem).
32. Reguła de l’Hospitala, przykłady zastosowań do symboli nieoznaczonych.
33. Monotoniczność a pochodna; przykłady zastosowań.
34. Pochodne wyższych rzędów, twierdzenie o wzorze Taylora (z dowodem).
35. Szereg Taylora; przykłady szeregów funkcji elementarnych.
36. Warunek konieczny istnienia ekstremum (z dowodem); przykłady.
37. Ekstrema; warunki wystarczające istnienia ekstremów.
38. Funkcje wypukłe, druga pochodna a wypukłość.
39. Warunek konieczny i wystarczający istnienia punktu przegięcia.
