Niektóre własności ognisk stożkowej ujawnione za pomocą perspektografu De La Fresnaye’a

N iektóre własności ognisk stożkowej

ujaw nione za pom ocą perspektografu D e La Fresnaye’a

Rozprawa De La F r e sn a y e ’a [3] dała architektom praktyczny, łatwy w wykonaniu i w użyciu perspektograf do zmechanizowanego kreślenia perspektyw z danych rzutów ortogonalnych. Poprzednio znane perspektografy, których wynalazcami byli A rrigu naga, F io rin i, A.

P rix , G. H auck, H. R i c ht e r, J. P i l l e t , były zbyt skomplikowane, kosztowne i trudne w użyciu.

Koncepcję perspektografu De La Fresnaye’a uzasadnili K. B a r t e l ([1] i [2]) oraz E. i F. Ott o [4] w przypadku perspektyw na tłach pio­

nowych.

W niniejszej pracy uzasadniono koncepcję De La Fresnaye’a także i w przypadku tła dowolnie położonego względem płaszczyzny podstawy.

W toku pracy ujawniły się pewne szczególne własności krzywych stoż­

kowych. Własności te pozwalają łatwo konstrukcyjnie wyznaczyć elementy krzywych stopnia drugiego.

Na płaszczyźnie r rysunku obierzmy dowolnie punkt 0 i prostą Jc, nie przechodzącą przez punkt 0. Będziemy rozważali trójki prostych wlWiWi, ws2w2w°2, .. . , wsnwnw°n, które przechodzą przez punkt 0 i z któ­

rych każda zawiera te same kąty:

U w aga. Niech proste w3, w i w°, przechodzące przez punkt 0, będą krawę­

dziami perspektografu De La'Fresnaye’a do kreślenia perspektyw bez linii konstruk­

cyjnych. Perspektograf jest szablonem sporządzonym z papieru, drzewa, metalu lub celuloidu, na przykład według wzoru zakreskowanego na rysunku 1. Punkt 0 perspektografu umieszczamy na obranym punkcie 0 płaszczyzny r i wbijamy weń ostrze szpilki. Gdy teraz będziemy obracali perspektograf dokoła punktu 0, wówczas

1. Uwagi wstępne

2. Zasada podporządkowania punktów

(1 ) (2)

(3)

fi = ^ w \ w l = < £wS2W2 = . . .

v = < ^ w 1w°1 = < ^ w 2w°2 = . . . = < £ wnw°n,

(p = [л + v = <£ w'lw0! = <£ w s2w°2 = . . . = 3; w snw°n .

jego ramiona ws, w° i w będą wyznaczały — w każdym położeniu perspektografu — położenie trójki prostych

Trójki prostych wsxwxw°x, ws2w2w°2,...,WnWnw°n będziemy nazywali ramionami perspektografu odpowiednio w jego położeniu pierwszym, drugim, w-tym.

Przy^obroeie perspektografu dokoła środka 0 ramię ws tworzy pęk prostych 0{w\, ws2, . . . , w sn), ramię w° pęk prostych 0(wx,w 2, . . . tw°n) przy­

stający do pęku poprzedniego i obrócony względem niego o kąt cp, ramię zaś w — pęk 0(wx,w 2j...,w n); wszystkie te trzy pęki o wspólnym wierz­

chołku 0 są wprost przystające.

hTa płaszczyźnie r rysunku (rys. 1) weźmy pod uwagę dwa układy punktów: układ rs o punktach I s,2s, .. . oraz układ r° o punktach 1°, 2 ° ,...; pary punktów Г i 1°, 2S i 2 ° ,... odpowiadają sobie wzajemnie w następujący sposób:

Obróćmy perspektograf dokoła stałego punktu 0 tak, by jego ramię ws przechodziło przez punkt Is; otrzymujemy położenie w \. W tym po­

łożeniu ramiona w i w° perspektografu oznaczamy odpowiednio wx i w\.

Prosta w x przecina stałą prostą Tc w punkcie 1, prosta zaś Is 1 przecina prostą w°x w punkcie 1°.

U w aga. Możemy wyzaaczyć pary punktów l s l° , 2S20, . . . bez kreślenia linii konstrukcyjnych. Dla przykładu obierzmy dowolny punkt 2° układu r°. Obrócimy perspektograf tak, by jego ramię w° przechodziło przez punkt 2°. W tym położeniu ramię to nazywa się ramię w2 wyznacza na prostej к punkt 2, a liniał ułożony

wzdłuż prostej 2° 2 wyznaczy na ramieniu punkt 2S, który utrwalamy na rysunku ołówkiem.

Pary punktów Is 1°, 2s 2?,... będziemy nazywali faram i punktów wzajemnie sobie odpowiadających lub krótko odpowiednich, proste Is 11°, 2s 2 2 ? prostymi wiążącymi, stały punkt 0 — środkiem układów r8 i r°, stałą prostą к — kierownicą obu układów, ruchome promienie ws i w° — promieniami wodzącymi odpowiednich układów r8 i r°, promień zaś w

— promieniem wodzącym kierowniczym.

3. Podporządkowanie prostych

a. P r o m i e n i e wodzące. W dowolnym położeniu trójki promieni wodzących w8, w i w°, przechodzących przez środek układów 0, weźmy

pod uwagę szereg punktów 2 , 2^{s ,}. . . ,2 4 ,. .. na prostej w8 (rys.2) i znajdźmy punkty odpowiednie 1° ,2? Zgodnie z zasadą w ustępie 2, prowadzimy proste wiążące przez punkt 1 = 2 = . . . ... = L ... , w którym ramię w przecina prostą к, a więc proste Г 1,2s 2,...,,Z£02,...*, te proste wiążące przecinają prostą w°

w kolejnych punktach 1°,2?,...

. . . , L 0, . . . , przy czym

w'■ w ,? , .

Środkiem tej perspektywiczności jest punkt l —kxw, a elementem zjednoczonym jest punkt 0 = 08= 0 °. Mewłaściwemu punktowi prostej w8 odpowiada właściwy punkt L° prostej w°, przy czym Х'^2Х0|[мЛ Po­

dobnie, niewłaściwemu punktowi M0^ prostej w° odpowiada właściwy punkt M 8 prostej w8, przy czym Ms 1 M 0^\\w°.

Punkty L° i M s nazywamy punktami granicznymi odpowiednich szeregów (w°) i (w8).

Wnosimy stąd, że prostej w8n odpowiada tylko jedna prosta w°n i na odwrót, prostej w°n odpowiada tylko jedna prosta w8n.

b. K i e r o w n i c a . Załóżmy, że kierownica к należy do układu r8.

Jej punktom Is ,2 S, . . . (rys. 3) odpowiadają w układzie t° punkty 1 °,2°,...

leżące na tej samej kierownicy k, bo wszystkie proste wiążące I s 11°, 282tf>, . . . jednoczą się z prostą k. Stąd wynika, że prosta k = k 8—k° jest prostą zjednoczoną obu układów rs i r°. Ponieważ pęki prostych

jako pęki wprost przystające (ust. 2) są — jak wiadomo — pękami jednokreślnymi eliptycznymi, prosta к zatem przecina je w dwóch szeregach punktów k ( l s, 2s, ...) 7\ Jc(l°,2° , ...) rów­

nież jednokreślnych eliptycznych. Ich punkty zjednoczone i Fi są tu więc urojone sprzężone.

Ustawmy kolejno oba promienie wodzące ws i w° równolegle do kierownicy Tc (rys. 4). Dla wsn\\k, promień w°n przecina prostą Tc w punkcie

№ , który odpowiada punktowi N^ prostej Tc. Dla w°z\\Tc, promień wsz prze­

cina prostą Tc w punkcie Zs, który odpowiada punktowi Z0^ prostej Tc.

Punkty № i Zs nazywamy punktami granicznymi kierownicy k.

Z konstrukcji wynika, że punkty graniczne № i Zs są symetryczne względem prostej przechodzącej przez środek układów 0, prostopadle

do kierownicy k. Punkty graniczne wyznaczymy, gdy przez środek 0 przeprowadzimy proste w°n i w8z zawierające kąt z kierownicą przeci­

nają one kierownicę к w punktach № i Zs.

c. P r o s t a dowolna. W układzie xs obierzmy dowolną prostą ms (rys. 6) i na niej szereg punktów ms (Is ,2s, . . Aby wyznaczyć w układzie r° odpowiednie punkty 1 °,2 °,... (ust. 2), ustawiamy perspektograf tak, by jego ramię ws przechodziło kolejno przez punkty 1S,2S, . . . \ tzn. by zajęło kolejno położenia wj, Eamię w perspektografu zajmuje wów-

czas kolejno położenia w1,w 2, . . . i przecina kierownicę к w kolejnych punktach 2 —w 2x k f ... Proste wiążące łączą pary punktów I s 1 ,2 s 2 j . .. Owe proste wiążące przecinają odpowiednie położenia lĄ jiĄ ,...

trzeciego ramienia w° perspektografu w kolejnych punktach 1 ° = I s 1 x , 2?—2s2xw°2, . . . W ten sposób skonstruowane pary punktów I s 1°, 2s2?

są parami punktów odpowiednich obu układów rs i r°.

Zbadajmy teraz miejsce geometryczne punktów 2°, 2°,... Stwierdza­

my, że

ms( Г ,2S,.. .)tv0(w l,ws2, ...) ^ 0 ( w 1,w2, .. . ) ^ k { l , 2,...), skąd wynika, że

(4) ms(2s , 2 V . . ) A f c ( i , 2 , . . . ) .

Proste wiążące Isi , 2s2 , . . . , które łączą pary odpowiednich punktów dwóch jednokreślnych szeregów punktów (ms) i (k), są — jak wiadomo — prostymi stycznymi stożkowej c. Punktowi P s —Q przecięcia się podstaw szeregów (т?)~л (к) są tu podporządkowane punkty P = T cx w v i Qsz=ms x wq, które są punktami styczności podstaw к i m* ze stożkową c.

Wiadomo również, że odcinki stycznych, zawarte między elementami jednokreślnych szeregów wyznaczającymi styczne, widzimy pod równymi kątami tylko z ogniska tej stożkowej. W rozważanym przypadku (rys. 5) wszystkie odcinki Is 1, 2S2, . . . , P SP , QSQ, ..., które na stycznych (pro­

stych wiążących) są ograniczone przez odpowiednie elementy Is i 1, 2s i 2 , .. . dwóch szeregów ms { ls,2s , . . . , P S,Q S,...) ~ K k {l,2 ,...,P ,Q ,...), wi­

dzimy z punktu 0 pod tym samym kątem

[Л == <£ w\Wx = <£ w\w2 —■ . . . = <£ WpWp=<£ wsąwą

(por. (1)). Stąd wynika, że punkt 0 jest o g n i s k i e m stożkowej c.

Znajdźmy teraz w układzie x° punkty P° i Q°, które odpowiadają punktom P s i Qs układu ^ts . W wyniku konstrukcji otrzymujemy punkt P °—P sP x w p =Tcxwp oraz punkt Q°—QSQ xw°ą= m s xw°a.

Z rysunku 5, po uwzględnieniu (1) i (2) wynika wprost, że

(5⁾ ^ w pw°a ⁼ Ą:P0Q° = <ŹQ0Q° ^{— <£}P s0P = ^ w ąw°ą— ^<£wspwp = v—[x,

(6) <£w°Qw°p = <^Q°0P° = :P0P° — <$.P0Q° = <^wpw°p — <£m?pw°q = v — {v —/л) =/л.

Weźmy teraz pod uwagę prostą P°Q° = g i oznaczmy symbolem Bs punkt Q°, w którym przecinają się proste ms i g, po czym znajdźmy odpo­

wiedni punkt E°. W tym celu prowadzimy ramię ws perspektografu przez punkt Q °= B S. W tym położeniu ramię to nazywa się wsr i jednoczy się z ramieniem w \. Gdy teraz uwzględnimy równość kątów <$Lwsr wr — [л (wzór (1)) i *Źw°aw°p=łi (wzór (6)), to stwierdzimy, że ramiona wr i w°p muszą się także zjednoczyć na jednej prostej wr—w0v . Wnosimy stąd, że punkt B = k x w r musi się zjednoczyć z punktem P °= k x w °p , a więc i prosta wiążąca B SB musi się zjednoczyć z prostą Q °P °= g • prosta ta przecina ramię w°r perspektografu w szukanym punkcie B°=w°r x g . Wyka­

zaliśmy zatem, że trójka punktów P°, Q° i B° leży na jednej prostej g.

Prosta g jako prosta wiążąca B SB jest styczną stożkowej c.

Wiadomo, że ogniska stożkowej są jedynymi punktami, z których widzimy pod równymi kątami odcinki stycznych zawarte między ich punktami przecięcia a punktami styczności. W rozważanym przypadku (rys. 5) badaliśmy 3 styczne stożkowej c, a to: ms, k i g. Te styczne przeci­

nają się w trzech punktach: P S= Q, Q °= B S i P ° = B . Stwierdzamy, co następuje:

1. Z punktu P s—Q wychodzą styczne ms i k, przy czym Qs i P są ich punktami styczności. Mamy tu na mocy (1) <$.Qs0Q = <$.Ps0 P = g , a więc odcinki QSQ i P SP obu stycznych są widoczne z punktu 0 pod tym samym kątem /л.

2. Z punktu P ° —B wychodzą styczne к i g, przy czym P jest punk­

tem styczności prostej k. Mamy tu na mocy (2) <£POP° — 3:BOB0 = v,

a więc odcinki PP° i PP° obu stycznych są, widoczne z punktu 0 pod tym samym kątem v.

3. Z punktu Q°—Rs wychodzą styczne ms i g, przy czym Qs jest punk­

tem styczności prostej ms. Mamy tu na mocy (3) ^.Qs0Q°~<^Rs0R° = ę>, a więc odcinki QSQ° i RSR° obu stycznych są widoczne z punktu 0 pod tym samym kątem <p.

Stąd wnosimy, że punkt R° jest punktem styczności prostej у ze stożkową c.

!Na prostej ms= P sQsR s obraliśmy dowolny punkt T . Zbadajmy, czy odpowiedni punkt 1° leży na prostej P°Q0R0= g .

Oznaczmy punkt przecięcia prostej wiążącej T l ъ prostą g literą E.

Prosta g, która jest styczną stożkowej c, przecina zbiór prostych wiążących, a więc zbiór prostych stycznych Is 1, P SP ,Q SQ, R SR , . . . w szeregu punk­

tów E = T 1 x g, ... ,P ° = P sP x g, Q°—QsQ x g , R ° Wiadomo, że w dwóch szeregach ms (T, . .. , P8, Qs, Rs,...) т\ g (E, . . . , P°,Q°, R°,...) zachodzi rów­

ność dwustosunków

(7) ( T P SQSR S) = (EP°Q°R°).

Oznaczmy teraz punkt przecięcia ramienia w° perspektografu z pro­

stą g literą F. Z rysunku 5 widać, że

ms( T , . . . , P S,QS,RS)л 0{ws11...w sp1wsą, w l , . . . ) ^ ,0 ( w 01,...,w °p,w0Q,w 0r , . . . m g ( F , . . . , P 0,Q0,R 0,...).

Stąd wynika równość dwustosunków:

(8) (T P SQSR S) = (FP°Q° R°).

Z porównania (7) i (8) wynika (E P 0Q°R0) ~ ( F P 0Q0R°), a więc E =

= F = 1 Ó.

Stwierdziliśmy, że poszczególnym punktom Is,2s, . . . prostej ms, należącej do układu rs, odpowiadają w układzie t° punkty 1 °,2 °,...

leżące na jednej prostej g, która jest więc prostą m°, A zatem:

Dowolnej prostej ms układu t s odpowiada prosta m° układu r°.

Z przebiegu rozumowania wynika, że twierdzenie odwrotne jest również prawdziwe.

d. P r o s t e graniczne. Przy dowolnym położeniu trójki promieni wodzących ws, w i w° (rys. 6) weźmy pod uwagę punkty graniczne L°

i M 8 (ust. За) odpowiednich szeregów (w°) i (ws) oraz punkty graniczne № , Z8 (ust. 3b) kierownicy k. Jak wiadomo, dwa niewłaściwe punkty i układu rs wyznaczają prostą niewłaściwą n^ tego układu; punkty odpowiednie L° i № wyznaczają zatem prostą n °= L °№ , która odpo­

wiada prostej n1 2 3^. Prostą n° nazywamy prostą graniczną układu r°.

Podobnie prosta z? = M8Z8, która odpowiada prostej niewłaściwej zlę — MlgZlc układu r°, jest prostą graniczną układu r8.

Między układami płaskimi rs i r° ustaliliśmy następujące związki:

1. Dowolnie obranemu punktowi I s układu r8 odpowiada tylko jeden punkt 1° w układzie r° i wzajemnie.

2. Dowolnie obranej prostej ms układu rs odpowiada tylko jedna prosta m° w układzie r° i wzajemnie.

3. Punktowi P s leżącemu na prostej ms odpowiada punkt P° leżący na prostej m° i wzajemnie.

4. Związek między układami xs i x°

h

Rys. 7

Tak podporządkowane sobie wzajemnie nkłady płaskie rs i r° są, jak wiadomo, w związku kolineacji ogólnej (homografii). Elementami zjednoczonymi tych układów są

l p zawsze rzeczywisty punkt zjednoczony 0, zwany środkiem, obu układów,

2° zawsze rzeczywista prosta zjednoczona k, nie przechodząca przez punkt 0, zwana kierownicą obu układów.

Te dwa elementy rzeczywiste muszą być obrane na płaszczyźnie rysznku, w celu założenia rozpatrywanego związku homografii. Dalszymi elementami zjednoczonymi obu układów rs i r° są

3° zawsze urojone sprzężone dwa punkty zjednoczone _E^ i Fi szere­

gów eliptycznych (ust. 3b) występujących na kierownicy k,

4° zawsze urojone sprzężone dwie proste zjednoczone = O W i fi = O F i , które łączą punkt zjednoczony 0 z punktami zjednoczonymi Fi i Fi .

Gdy zatem w jednym z układów rs i r° obierzemy dowolną linię krzywą, po czym wyznaczymy —■ zgodnie z ustępem 2 —zbiór punktów odpowiadających zbiorowi punktów danej krzywej, wówczas otrzymamy linię krzywą kohneacyjnie związaną z daną krzywą.

Dla przykładu obrano w układzie r° (rys. 7) trzy współśrodkowe okręgi i wyznaczono w układzie rs trzy stożkowe kolineacyjnie związane z danymi okręgami. Środkiem obu układów jest tu punkt 0, kierownicą prosta k, a promieniami wodzącymi ramiona ws, w i w° perspektografu zakresko- wanego na rysunku 7.

5. Związki wynikające z normalnego położenia promieni wodzących Obróćmy trójkę promieni wodzących ws, w i w° perspektografu dokoła środka układów 0 tak, by promień wodzący kierowniczy w był prostopadły do kierownicy k (rys. 8). Takie położenie trzech promieni wodzących w3, w i w° nazywamy 'położeniem, normalnym, a punkt 8, w któ­

rym promień w przecina kierownicę k, nazywamy punktem normalnym.

Znajdziemy teraz punkty graniczne № i Z8 kierownicy k oraz punkty graniczne L° i Ms odpowiednich promieni wodzących w° i ws, po czym narysujemy obie proste graniczne n°—№ Z 0 i zs — M sZs (por. ust. 3d). *

Stwierdzamy, że w czworokącie № 0L°8

1° przekątnia 08 jest (z założenia) prostopadła do boku № 8 , 2° bezwzględna wartość sumy kątów <£08L° + -^iSOL0 = p-\-v jest równa kątowi -$:0№S = (p = Stąd wynika, że wierzchołek L° czwo­

rokąta № 0L°8 leży na okręgu koła opisanego na trójkącie № 0 8 , a więc na okręgu, którego średnicą jest odcinek № 0. Stąd również wynika, że druga przekątnia № L ° = n ° tego czworokąta jest prostopadła do boku 0Z° i tworzy z bokiem № 8 kąt v.

Podobnie z czworokąta 0ZS8 M S wynika, że jego przekątnia MSZS jest prostopadła do boku Ms0 i tworzy z bokiem 8ZS kąt p. A zatem:

(9) Proste graniczne n° i zs przechodzą przez przynależne im punkty gra­

niczne № i Zs kierownicy к prostopadle do przynależnych im pro­

mieni wodzących w° i ws, w ich położeniu normalnym.

Stąd wynika, że

1° prosta graniczna n° tworzy z kierownicą к kąt v = <$.ww°, a prosta graniczna zs tworzy z kierownicą к kąt /л = <£ wsw,

2° proste graniczne n° i zs tworzą kąt <£ wsw°,

3° odległość punktu normalnego 8 od punktu granicznego M s promienia ws w jego położeniu normalnym jest równa odległości środka układów 0 od prostej granicznej n°, a odległość punktu normalnego 8 od punktu granicznego L° promienia w° w jego położeniu normalnym jest równa odległości środka układów 0 od prostej granicznej zs.

W przypadku obrotu trójki promieni wodzących ws , w i w° dokoła środka układów 0 do nowego położenia w\ , wx i w\ , równoległobok 0L°LMs (rys. 6) zmienia swój kształt, zawsze jednak pozostaje równoległobokiem podobnym do poprzedniego; jego wierzchołek L, który jest punktem przecięcia promienia w z kierownicą k, leży na kierownicy k, wierzchołek L° leży na prostej n°, a wierzchołek Ms leży na prostej 0S. Kąty przy wierzchołkach 0 i L są ^ M s0L° = ^ L °L M S == p + v = cp.

A zatem:

(10) Bównoległoboki podobne o tym samym kącie cp przy wspólnym wierz­

chołku, których przeciwległe wierzchołki leżą na jednej prostej, mają tę własność, że ich pozostałe dwa wierzchołki leżą na dwóch prostych, tworzących kąt cp.

(11) Trójkąty podobne o tym samym kącie v przy wspólnym wierzchołku 0, których odpowiednie wierzchołki L X,L 2,L ^ ,... leżą na jednej prostej k, mają tę własność, że ich trzecie wierzchołki leżą na jednej prostej, tworzącej kąt v z prostą k.

6. Sprowadzenie układów ts i r° do położenia perspektywicznego Eozważmy normalne położenie trójki promieni wodzących w s, w i w° (rys. 9). Mamy tn w ± k , ws_\_zs i w°±n°, a punkty przecięcia się tych trzech par prostych oznaczamy odpowiednio symbolami S , Ms i L°.

Na promieniu wodzącym ws obieramy w układzie rs taki punkt Ts, że M sTs — MsS = 0L°, po czym znajdujemy odpowiedni punkt T° w ukła­

dzie r°. Jak wiemy, punkt T° leży na promieniu w° w punkcie przecięcia tego promienia prostą wiążącą Ts8. Z relacji 0L° = MS8 = MSTS oraz Ms8\\w°, wreszcie z równoramiennego trójkąta TSM S8 wynika, że trójkąt Ts0T° jest też równoramienny, a więc 0Ts — 0T°.

Przez punkt Ts prowadzimy prostą ps prostopadłą do promienia w8, a więc ps\\zs, po czym znajdujemy prostą odpowiednią p°. Ponieważ

punktowi niewłaściwemu U pro­

stej granicznej sf (a więc i pro­

stej ps) odpowiada punkt niewła­

ściwy U^ prostej granicznej n°, otrzymujemy prostą l*U°0O = p°

prostopadłą do promienia w°.

Widzimy, że otrzymana para prostych odpowiednich ps i p°

jest równooddalona od środka układów 0 i tworzy kąt (p = <£wsw°.

Jeżeli na prostej ps obierzemy sze­

reg punktów ps( T ,2S, . . . , T S,...) , to odpowiada mu na prostej p° szereg punktów p °(1°,2°,...

. . . , T 0,...) przystający do obranego. Te dwa szeregi sprowadz:my do zjednoczenia się, obracając układ rs dokoła środka układów 0 o kąt <p lub układ t° dokoła tego środka o kąt —<p. Przez takie obroty zjedno­

czą się promienie wodzące wsx~w°x, ws2=w°2, . . . , a proste graniczne»®

i n° zajmą położenie wzajemnie równoległe.

Tak obrócone układy są — jak nam wiadomo — układami środkowo- -kolineacyjnymi (perspektywicznymi). Zjednoczona prosta ps= p = p° jest osią tej kolineacji, środek układów 0 jest środkiem kolineacji, wreszcie wzajemnie równoległe proste »® i n° są prostymi granicznymi tej koli­

neacji środkowej.

7. Stożkowe wyznaczone przez proste wiążące pary punktów w szeregach odpowiednich

W ustępie 3c wykazano, że proste wiążące, jako proste łączące pary odpowiednich punktów I s i 1°, 2S i 2°,... w dwóch jednokreślnych sze­

regach punktów ms( ls,2S,...) л-m °(l° t w o r z ą stożkową c, której ogniskiem jest środek układów 0 i która jest styczna do kierownicy Tc.

Zależność tę wyraża następujące twierdzenie:

(12) W dwóch Tcolineacyjnych układach płaskich xs i r°, mających środek 0 i kierownicę k, proste wiążące pary punktów odpowiednich I s 1°,

2S 2°, .. . na każdej parze prostych odpowiednich ms i m° (nie przechodzącej przez 0 i nie pokrywającej się z k) wyznaczają stoż­

kowe o wspólnym ognisku 0 i o wspólnej stycznej k.

Na podstawie tego twier­

dzenia i znanego twierdzenia, iż stożkowe są wyznaczone przez ognisko 0 (czyli przez dwie proste styczne urojone sprzężone, tzw. proste izotro­

powe) i przez trzy elementy tych stożkowych, możemy — przy zastosowaniu perspekto- grafu — rozwiązać podane dalej zadania, w których nie roz­

waża się wszystkich możli­

wych rozwiązań wynikających ze zmiany założeń.

Zadanie 1. Dana jest stożkowa c, określona przez ognisko 0i przez trzy styczne k, l i m - , wyznaczyć punkty styczności prostych к, l i m oraz dowolnej stycznej a ze stożkową c.

R o zw iązan ie. Zakładamy — zgodnie z ustępem 3c — że dane ognisko 0 (rys. 10) jest środkiem dwóch kolineacyjnych układów t3 i r° (a więc środkiem obrotu perspektografu), jedna ze stycznych, np. styczna k, jest kierownicą obu układów, wreszcie pozostałe dwie styczne l i m są parą prostych odpowiednich, a to 1= ms i m —m° (por. rys. 6).

Oznaczmy Q° — Rs punkt przecięcia się stycznych ms i m°, PS= Q punkt przecięcia się stycznych ms i к oraz P° = B punkt przecięcia się stycznych m° i k. Połączmy punkt 0 z ową trójką punktów liniami prostymi:

0Q° = 0RS =w°Q=-- w*, 0P8~ 0Q = wsp — wą, 0P° = OB =w°p = wr .

W ten sposób ustaliliśmy trójkę ramion perspektografu, mianowicie:

<p= <£Ps0P°= $ .w sp w °, /* = <£ R80R — *Źwsr wr , v = -ŹQ0Q°=

Wiadomo, że punktami styczności prostych m® i m° ze stożkową c są punkty, które odpowiadają punktowi Q °= R 8 przecięcia się obu stycznych m® i m°. Gdy zatem ustawimy perspektograf tak, by jego promień w° zajął położenie w°ą, tzn. by przeszedł przez punkt Q°, wówczas promień wą przejdzie przez punkt Q, a promień w® przetnie prostą ms w szukanym punkcie styczności Qs. Podobnie, gdy ustawimy perspektograf tak, by jego promień ws przeszedł przez punkt P®, wówczas promień wr przejdzie przez punkt R, a promień w°r przetnie prostą m° w punkcie styczności R°. Wreszcie, gdy ramię w8 poprowadzimy przez punkt P s, wówczas ramię wp przetnie kierownicę к w jej punkcie styczności P.

W dowolnym położeniu perspektografu, na przykład w położeniu w® ,wa ,w°a(xy&. 10), te trzy ramiona przetną kolejne proste m®, к i m° w trójce punktów A s = m 8 xw®, 4 = l : x w a i A° = mP Xw°a leżących na szukanej stycznej a. Punkt styczności T prostej a ze stożkową c spełnia relację:

<£P0A = < £A 0T =e lub <£R0OA°= <£A°0T.

Za d a n i e 2. Dana jest stożkowa c, określona przez ognisko 0, styczną к oraz przez styczną m wraz z jej punktem styczności M; wyznaczyć dowolną styczną a i jej punkt styczności A.

Eo zw iązan ie. Stosujemy oznacze­

nia z rysunku 5, a więc: m = m 8, M = Q S, a = m°, A = R ° (rys. 11). Szukaną styczną poprowadzimy przez punkt R8 dowolnie obrany na prostej m®. Z ustępu 3c wynika, że oznaczywszy punkt przecięcia prostych m® i к literą Q, należy narysować ramiona kątów <£Qs0Q — <^Rs0 R —fx. Przez punkt R kierownicy к kreślimy linię prostą m° =

— RR8 = a. Punkt styczności R° = A speł­

nia relację -$.Q0R= $iR80ltf>= <p.

Za d a n i e 3. Dana jest stożkowa e określona przez ognisko 0, styczną a wraz z jej punktem styczności A , oraz przez punkt В ; wyznaczyć styczną stoż­

kowej c w jej punkcie B.

E o zw ią za n ie. Zgodnie z rysun­

kiem 5 oznaczymy: a —m8, A —Q8, B ~ P

(rys. 12). Z ustępu 3c wynika, że dwu- Eys. 11 sieczna kąta <$.Qs0P przecina prostą m®

w punkcie P®, przez który przechodzi szukana prosta k —P sP.

Zadanie 4. Dana jest stożkowa c określona w zadaniu 2; wyznaczyć średnicę i środek stożkowej c.

R ozw iązan ie. Zgodnie z rysunkiem 6 i rysunkiem 11 mamy tu (rys. 13):

^s =:m 8 X k~ Q . Z relacji <£Ps0 P —/z otrzymujemy punkt P, w którym prosta к styka się ze stożkową c. Weźmy teraz pod uwagę punkt niewłaściwy B8^ prostej ms i znajdźmy na kierownicy к taki punkt B, by ^.B8 OB = fz. Prosta popro­

wadzona przez punkt В równolegle do prostej ms jest styczną stożkowej c, a jej punkt styczności BP spełnia relację *$.B0B° = Ą.POP0= v , gdy P ° = B . Prosta Q8B° jest szu­

kaną średnicą, a środek 8 odcinka QSB° jest środkiem stożkowej c.

Za d a n i e 5. Dana jest stożkowa c określona przez ognisko 0 i przez trzy punkty А , В i O; wyznaczyć styczne tej stożkowej w jej danych punktach.

R ozw iązan ie. Dane i szuka­

ne elementy oznaczono zgodnie z ry­

sunkiem 5, mianowicie A = Q S, B = P , 0 —B°, a szukane styczne odpowied­

nio m8, к i m°. Zakładamy więc, że szukana styczna к stożkowej c w jej punkcie P jest kierownicą układów r8 i t°, a szukane styczne ms i m° są parą prostych odpowiednich obu u-, kładów Xs i tP.

Z ustępu 3c wiemy, że dane są tu (rys. 14) następujące położenia ra­

mion perspektografu: w* — 0QS, =

= 0P, w °r — OB0. Dwusieczna kąta Qs0 P= 2fz jest więc promieniem zjednoczonym w = w s , dwusieczna kąta <£P0B° = 2v, jest promieniem zjednoczonym w^—wr , wreszcie dwu­

sieczna kąta -źQs0B° = 2<p jest pro­

mieniem zjednoczonym w° — w8. W ce­

lu rozwiązania zadania obieramy na

Roczniki P. T. M.-Prace M a t e m a t y c z n e I 20

dwusiecznej wq—w8 taki punkt Q°=B8, żeby proste QSQ° i BSB° przecinały od­

powiednie dwusieczne wq i wr w parze punktów Q i B, leżących na prostej przecho­

dzącej przez dany punkt P. ^

Pęk prostych o wierzchołku P przecina prostą wq w szeregu punktów wq(l', 2’,...), aprostą wr w szeregu odpowiednich punktów wr{l", 2",...). Rzućmy pierwszy szereg z punktu Q8, a drugi szereg z punktu BP. Mamy tu: (Qs)~к(Щ)7\(Р)7\(™г)7\(В0)’

a więc (Qs)T\{B°). Utworem jednokreślnych pęków prostych {Qs)t\{B°) jest, jak wia­

domo, stożkowa s, która przechodzi przez punkty Qs, 0 i BP oraz przez punkty T=Q8P xwr i U=B°Pxwq. Punkt przecięcia dwusiecznej wq=w8 ze stożkową s będzie szukanym punktem Q°=BS. Aby go znaleźć, zastosujemy znane twierdzenie Pascala o własnościach sześciokąta np. TQsB°B80U, wpisanego w stożkową s. Mamy tu: TQ8xBs0 = I, Q8B°xOU—II i TUxB°Bs=III, przy czym trójka punktów I, II i III musi leżeć na prostej Pascala. Tak wyznaczony punkt B8—Q° określa poło- , żenie szukanych stycznych m8—QsB8 i m°—Q°B°. Pierwsza z nich przecina dwusie­

czną wq w punkcie Q, a druga przecina dwusieczną wr w punkcie B. Punkty Q, P i В leżą na trzeciej szukanej stycznej h.

Zadanie 6. Dane są stożkowe ci i C² określone przez wspólne elementy: ogni­

sko 0, dwa punkty A i В oraz styczną m; wyznaczyć styczne stożkowych <?i i w ich punktach A i В oraz punkty styczności prostej m.

Ro związanie. Zgodnie z rysunkiem 5 oznaczamy: A=P, B=QS, m=m°.

Szukane styczne w punktach P i Q8 nazywamy odpowiednio fc i m8, a szukany punkt styczności prostej mP nazywamy BP.

Rysujemy proste 0P=wp i 0Q8—w8q (rys. 15), po czym znajdujemy dwusieczną kąta i oznaczamy ją w^=wq. W ten sposób wyznaczyliśmy kąt = =

= ^:w8wq. Zadanie rozwiążemy, gdy znajdziemy taki kąt <p, żeby ramiona w°p i w°ą

kątów <p= <£-u>®w°p — <£гг®го® przecięły prostą m° w parze punktów P° i Q°, przy czym proste PP° i QSQ° — jako szukane styczne к i m® —- muszą się przecinać w punkcie PS=Q leżącym na dwusiecznej w^~wq (por. rys. 5).

Weźmy pod uwagę ramiona kątów <px ,y2 ,(р'г, ... o wspólnym ramieniu w®

i oznaczmy ich punkty przecięcia z prostą m° odpowiednio 1' , 2’ ,3',... Podobnie ramiona kątów o tej samej wielkości i o wspólnym ramieniu w® przecinają pro­

stą m° w kolejnych punktach 1",2",3",... Wiadomo, że złączone na podstawie m°

szeregi punktów m°(l',2',...) i m°(l",2",...) są jednokreślne. Rzućmy teraz sze­

reg m° (l', 2’,...) z punktu P, a szereg m° (1",2",...) z punktu Qs. W ten sposób otrzymujemy dwa jednokreślne pęki prostych (P)t\(Qs), które wyznaczają stożkową s. Prosta w® = wą przecina stożkową s w parze punktów P® = $i i P2=Q2. Tę parę punktów wyznaczamy w znany sposób (konstrukcja. Steinera), bez kreślenia krzy­

wej s.

Szukanymi stycznymi krzywej c1 są proste P®P=fc1 i QsQx=m x.

Prosta w® przecina daną styczną m° w punkcie Q°—Bx, a znany kąt q>x = <£Qs0Q°x =

= <£Р®0Р® ustala położenie szukanego punktu styczności B°x na prostej m°.

Szukanymi stycznymi krzywej c2 są proste P*P=k2 i QsQ^=m%. Prosta w®

przecina daną styczną m° w punkcie Q°2=BS2, a znany kąt <p2 —-ОД®#^ — -^Bs20B°2 ustala położenie szukanego punktu styczności B°2 na prostej m°.

Zadanie 7. Dane są stożkowe ci i c% określone przez wspólne elementy: ognisko 0, punkt P oraz dwie styczne a i b; wyznaczyć punkty styczności prostych a i b ze stoż­

kowymi ci i c2 oraz ich styczne w punkcie P.

20*

Ko związanie. Zgodnie z rysunkiem 6 oznaczamy: a = ms, b=m°. Szukane punkty styczności prostych m8 i m° nazywamy odpowiednio QSX,QS2 i B°,B°2, a styczną w punkcie P nazywamy lii i ^{^ 2} (rys. 16). Zakładamy tu więc, że dane styczne a i b są parą odpowiednich prostych m8 i m° w dwóch kolineacyjnych układach t8 i r°, których środkiem jest punkt 0. Kierownicą obu układów jest szukana prosta Tc, która przechodzi przez dany punkt P.

Oznaczamy punkt przecięcia się prostych m8 i m° symbolem Q° — B8 i łączymy ten punkt z punktem 0 linią prostą w° = w8. Prostą 0P nazwijmy wp. W ten sposób wyznaczyliśmy kąt v—/x — <£wpw8 (por. rys. 5).

Zadanie rozwiążemy, gdy kąt <£ wpw0^ = <§CP0Q° obustronnie powiększymy o takie kąty n = <$.wspwp — <$.w8wr, żeby punkty przecięcia Ps = wp X ms i B = wr X m° leżały na prostej przechodzącej przez punkt P. W tym celu weźmy pod uwagę ramiona kątów /ix,ii',... o wspólnym ramieniu w8 i oznaczmy ich punkty przecięcia się z prostą m8 odpowiednio Podobnie ramiona kątów o tej samej wartości bezwzględnej

i o wspólnym ramieniu wp przecinają prostą m° w kolejnych punktach 1", 2",... Wiadomo, że oba szeregi ms(l', 2',...) i m°(l",2",...) są jednokreślne, a proste 1'1", 2" 2",... są prostymi stycznymi stożkowej s. Do zbioru tych stycznych należą proste m8,m° i dwusieczna kąta wpw8. Prosta wp przecina styczne ms i m° w ich punktach styczności 4’ i 5” ze stożkową s.

Każda z obu prostych h\ i Tc2 poprowadzonych przez punkt P stycznie do stoż­

kowej s jest szukaną styczną. Znajdziemy je w znany sposób (konstrukcja Steinera) bez kreślenia krzywej s.

Prosta kx przecina parę prostych ms i m° w odpowiednich punktach P8 i Pj.

Szukane punkty styczności i B°x obu stycznych ms i m° spełniają relację <£P® 0P® =

= <Q\OQ0= B sOB°1=<pv

Prosta k2 przecina *parę prostych m8 i m° w odpowiednich punktach P® i P®.

Szukane punkty styczności Q8 i B°2 obu stycznych ms i m° spełniają relację ^P80P^ =

= <Qs20Q° = B80B°=<p2.

8. Zbiór stożkowych wyznaczony przez pary punktów odpowiednich promieni pęków, o wierzchołkach leżących na kierownicy Tc

Przy normalnym położeniu (ust. 5) ramion ws, w i w° perspektografu (rys. 17), weźmy pod uwagę parę punktów odpowiednich Ws = k x w s i W °=Jcxw° leżących na kierownicy k. Z ustępu 3 wiemy, że pękowi prostych Ws(as,b s,...) obranemu w układzie rs odpowiada pęk prostych W°{a°, b°, ...) w układzie x°. Na każdej parze prostych odpowiednich as i a°, bs i b°, .. . występują szeregi punktów odpowiednich, a to : w układzie xs szeregi o elementach Is, 2s, 3S a w układzie r° odpowiednie szeregi , .. . Proste wiążące I s 1°,2 S2°,3S3° a więc łączące pary od­

powiednich punktów w każdych dwóch odpowiednich szeregach, wyzna­

czają' stożkowe ca,cb,c ° ,... o wspólnym ognisku 0 i o wspólnej stycznej к, przy czym punkt P = k x w jest wspólnym punktem styczności. Prosta 0P±_k jest zatem osią główną każdej ze stożkowych oa,eb,oc, . .., a punkt P jest wspólnym wierzchołkiem tych stożkowych.

Otrzymany w ten sposób zbiór nieograniczenie wielu stożkowych ca,cb,cc o wspólnym ognisku 0 i wspólnym wierzchołku P, leżącym na wspólnej osi głównej tych stożkowych, nazywamy współwierzchoł- kowym pasmem stożkowych. Wspólną styczną Jc, która jest prostopadła

Rys. 17

do osi głównej stożkowych, nazywamy główną styczną wierzchołkową każdej stożkowej rozważanego pasma.

Zbadamy niektóre własności tego pasma. Prosta as styka się ze stożkową ca w punkcie Qa, przy czym

Ta sama relacja zachodzi dla punktów styczności kolejnych stycznych b8,c8, . . . ze swymi stożkowymi cb,cc, . . . , bo

Ws0 P = ^ Q a0Ws= ^ Q b0W8 = ^ Q c0Ws= . . . = f i .

A więc proste a8,b8,cs, . . . pęku o wierzchołku Ws = k x w 8 stykają się ze swymi stożkowymi ca, cb,cc,. . . w odpowiednich punktach QaiQbiQci--- leżących na/jednej prostej q, która przechodzi przez ognisko 0 i tworzy z promieniem wodzącym ws~ 0W8 (w położeniu normalnym) kąt p, równy rozwarciu ramion w8 i w perspektografu.

Podobnie prosta a° układu x° styka się ze stożkową ca w punkcie Ba, prosta b° styka się ze stożkową cb w punkcie B b itd., przy czym

<£P0W °= <ŻW°0Ba= <£ W°0Bb = W°0Bc= ... = v.

A więc proste a°,b°,c0, . . . pęku o wierzchołku W °—k x w ° stykają się ze swymi stożkowymi ca, cb,c° w odpowiednich punktach Ba,B b,B c, . . . leżących na jednej prostej r, która przechodzi przez ognisko 0 i tworzy z promieniem wodzącym w° = 0W° (w położeniu normalnym) kąt v, równy rozwarciu ramion w i w° perspektografu.

Za pomocą obranego perspektografu o ramionach w8= 0 W 8, w = 0P iw ° = 0W° ustaliliśmy kolineację między układami x8 i x°. Obierzmy teraz na kierownicy к zamiast punktów W s i W° dwa inne, zupełnie dowolne punkty TTf i W°x. Za pomocą nowego perspektografu o promieniach wodzą­

cych w \= 0 W \, wx — 0P, w ^ O W i ustalamy nową kolineację między układami r* i t$. W tej kolineacji pękowi prostych Tkf(af,&f,c®,...) układu x\ podporządkowany będzie w układzie x°x pęk W x(ax,bx,cx,...) . Proste wiążące pary punktów odpowiednich Ą i 1?, i 2X, 3f i 3 \,... na każdej parze prostych odpowiednich af i a°, b\ i b\, cf i cx,. .. wyznaczą stoż­

kowe o wspólnym ognisku 0 i o wspólnej stycznej z jej wspólnym punk­

tem styczności P . Otrzymaliśmy zatem zbiór stożkowych i d e n t y c z n y z poprzednio otrzymanym współwierzchołkowym pasmem stożkowych.

(13) Współwierzchołkowe pasmo stożkowych o wspólnym ognisku 0 i wierz­

chołku P ma tę własność, że pęk prostych stycznych wychodzących z punktu W leżącego na wspólnej stycznej wierzchołkowej к styka się ze stożkowymi w punktach leżących na jednej prostej, która przechodzi przez ognisko 0 i tworzy z prostą OW kąt równy kątowi między prostymi

OW i OP.

Do wymienionego pasma stożkowych należy także okrąg koła ce o środku 0 i promieniu OP. Tę własność pasma możemy wyzyskać do rozwiązania następujących zadań:

Zadanie 8. Dana jest stożkowa c określona przez ognisko 0,przez wierzchołek P na osi głównej i przez dowolną styczną m; wyznaczyć punkt styczności prostej m ze stożkową o.

Rozwiązanie. Kreślimy styczną к do stożkowej o w jej wierzchołku P (a więc prostopadle do osi OP) i przez punkt W przecięcia się prostych к i m (rys. 18a i 18b odpowiednio dla elipsy i hiperboli) kreślimy prostą styczną do koła o środku 0 i pro­

mieniu OP. Promień styczności tej prostej przecina daną styczną m w szukanym punkcie styczności M.

Za d a n i e 9. Dana jest stożkowa określona jak w zad. 8; wyznaczyć jej środek.

Rozwiązanie. Na danej stycznej m (rys. 19a i 19b odpowiednio dla elipsy i hiperboli), która przecina styczną wierzchołkową к w punkcie Ps, weźmy punkt niewłaściwy po czym znajdźmy na stycznej к taki punkt Q, żeby

Prosta n\\m, poprowadzona przez punkt Q, jest styczną rozważanej stożkowej (por. zad. 4). Punkty styczności M i N obu stycznych m in wyznaczymy jak w za­

daniu 8, po czym oznaczymy na osi OP środek S odcinka MN, co rozwiązuje zadanie.

Za d a n i e 10. Dana jest stożkowa c określona przez ognisko 0, wierzchołek P na osi głównej i przez dowolny punkt M; wyznaczyć styczną do stożkowej c w jej punkcie M.

Eo związanie. Kreślimy styczną к do stożkowej e w jej punkcie P (por. rys.

18a i 18b, odpowiednio dla elipsy i hiperboli) oraz okrąg o środku 0 i promieniu OP.

Poprowadźmy styczną do tego okręgu w jego punkcie leżącym na promieniu OM;

styczna ta przetnie prostą к w punkcie W, przez który przechodzi szukana styczna MW.

W obu kolineacyjnych układach płaskich rs i t° rozważaliśmy parę odpowiednich pęków prostych o wierzchołkach Ws i W°, leżących na kie­

rownicy Tc (rys. 17). W pęku o wierzchołku Ws weźmy prostą g8 zjedno­

czoną z kierownicą Tc; tej prostej odpowiada w pęku o wierzchołku W°

prosta g°, która jednoczy się z prostą Tc. Stąd wynika, że pęki Ws (as ,bs, . . . . . . , / , . . . ) i W°(a°, b ° ,...,g 0,...) są perspektywiczne, a więc że pary odpo­

wiednich prostych a8 i a°, b8 vb°, es i c°, . . . przecinają się w punktach A , B , C , . . . leżących na jednej prostej t, która jest osią tej perspektywi- czności. Prosta t musi przejść przez1* ognisko 0, gdyż jest’ ono punktem przecięcia pary prostych odpowiednich w8 i w°.

Eozpatrzymy okrąg koła ce należący do rozważanego pasma stoż­

kowych. Okrąg ce o promieniu OP jest wyznaczony przez proste wiążące pary punktów odpowiednich w szeregach na podstawach i e° (rys. 17).

Podstawy es i e° przecinają się w punkcie E, który oczywiście leży na prostej t. Punktami styczności prostych e8 i e° z okręgiem ce są punkty Qe i Re , a promieniami styczności są proste q= 0Q e i r = 0 R e. W czworo­

kącie EQe0Re jest EQe = E Re, e8 ± q , e°± r, ese° + *$.qr = 180°. Stąd wynika, że prosta t = 0E jest dwusieczną kątów przy wierzchołkach 0 i E czworokąta EQe0Re.

Jeżeli zamiast pary wierzchołków W s i W° obierzemy na prostej Tc inną, dowolną parę punktów TPf i W° i tę parę uważać będziemy za elementy odpowiednie w kolineacji układów r* i rj, wówczas trójkę promieni wodzą­

cych tworzą proste w\ — 0W8^ w1 = 0P i w^ — OWl, a styczne e\ = i eJ=Wjl2j do okręgu ce przecinają się w punkcie E 1= e s1xe°1. Prosta t1==0Ex jest oczywiście dwusieczną kąta utworzonego przez proste 0Q\

i 0R\.

Korzystając z własności okręgu ce, występującego w rozważanym paśmie stożkowych, rozwiążemy zgodnie z twierdzeniem (13) oraz za pomocą pęku prostych d(^,f2,...) następujące zadania:

Za d a n i e 11. Dana jest stożkowa c określona przez ognisko 0, wierzchołek P na osi głównej i przez dowolną styczną a; wyznaczyć dalsze styczne tej stożkowej i ich punkty styczności.

Rozwiązanie. Zastosujmy oznaczenia elementów jak na rysunku 17, a więc:

c — ca, a — as. Kreślimy prostą к (rys. 20) styczną do stożkowej w jej wierzchołku P

(a więc к LOT), po czym koło ce o środku 0 i promieniu OT. Dana styczna a8 prze­

cina prostą к w punkcie Ws, z którego prowadzimy styczną e8 do koła ce; jej promień styczności przecina prostą as w punkcie Qa styczności prostej a8 ze stożkową ca (por.

też rys. 18).

Przez ognisko 0 kreślimy dowolną prostą t i oznaczamy jej punkty przecięcia się z prostymi a8 i es odpowiednio A i E. Przez punkt E kreślimy styczną e° do koła ce

i

Podobnie kreślimy przez 0 dowolną prostą ti i oznaczamy

A \ = a 8 xt\ i E \ —eP x ti. Przez punkt E\ kreślimy styczną e® do koła ce i oznaczamy W° = e° x k . Pro­

sta = jest nową styczną stożkowej ca, a jej punkt Tl prze­

cięcia z promieniem styczności sty­

cznej ej jest punktem' styczności.

Za d a n i e 12. Dana jest- stoż­

kowa c określona jak w zadaniu 11;

wyznaczyć jej środek.

Rozwiązanie. Zgodnie z ry­

sunkiem 17 zakładamy: c=c®, a=as.

Dana styczna a8 (rys. 21) przecina główną styczną wierzchołkową к w punkcie W8, przez który pro­

wadzimy styczną e8 do koła ce o środku dzimy prostą t\a8; przecina ona prostą e

0 i promieniu OT. Przez punkt 0 poprowa- w punkcie E, przez który poprowadzimy