Zadania z Geometrii rzutowej i rzutowo-metrycznej
Seria 10. – na wtorek 27.05.2014
Zadanie 1. Dana jest stożkowa opisana na trójkącie ABC i punkt P w ich płaszczyźnie.
Proste P A, P B i P C przecinają po raz drugi tę stożkową w punktach A1, B1 i C1. Pewien (dowolny) punkt O stożkowej łączymy z punktami A1, B1 i C1; proste OA1, OB1 i OC1 przecinają boki BC, CA i AB trójkąta odpowiednio w punktach A2, B2 i C2. Wykazać, że cztery punkty P , A2, B2 i C2 leżą na jednej prostej.
Zadanie 2. Udowodnić następujące stwierdzenie: jeśli trzy boki zmiennego trójkąta ob- racają się wokół trzech nieruchomych punktów, przy czym dwa jego wierzchołki prze- mieszczają się po dwóch nieruchomych prostych, to trzeci wierzchołek zakreśla stożkową przechodzącą przez środki obrotów tych boków, które spotykają się w tym (trzecim) wierz- chołku.
Zadanie 3. Stożkowa jest dana przez pięć swoich punktów. Skonstruować punkty prze- cięcia tej stożkowej z daną prostą d nie przechodzącą przez żaden z danych punktów.
Zadanie 4. W stożkową daną przez pięć punktów wpisać trójkąt, którego boki przechodzą (odpowiednio) przez trzy dane punkty.
Zadanie 5. Skonstruować czworokąt, którego wierzchołki leżą odpowiednio na danych prostych s1, s2, s3 i s4, a boki przechodzą przez dane punkty S12, S23, S34i S41.
Zadanie 6. Skonstruować trójkąt opisany na stożkowej danej przez pięć stycznych, któ- rego wierzchołki leżą na trzech danych prostych.
Zadanie 7. Wykazać, że wierzchołki dwóch trójkątów opisanych na jednej stożkowej leżą na (innej) stożkowej.
Zadanie 8. Wykazać, że boki dwóch trójkątów wpisanych w jedną stożkową są styczne do (innej) stożkowej.
Zadanie 9. Udowodnić następujące stwierdzenie: jeśli w siedmiokącie opisanym na stoż- kowej połączyć prostymi co czwarty wierzchołek (4 z 7, 5 z 1, 6 z 2, 7 z 3...), to punkty przecięcia każdej z tych prostych z następną będą leżały na pewnej stożkowej.
Zadanie 10. Wykazać, że zbiór biegunów prostych przechodzących przez (ustalony) punkt M względem okręgu opisanego na trójkącie OCD tworzy pewną stożkową.
1
