2. Zmienne losowe i ich rozkªady

Wst¦p do statystycznej analizy danych (3 inf, 2012/2013)

2. Zmienne losowe i ich rozkªady

Zad. 2.1 Niech X oznacza liczb¦ orªów w trzech rzutach monet¡.

a) Wyznacz rozkªad, dystrybuant¦ (wzór i wykres) zmiennej losowej X.

b) Oblicz P(X ≤ 1), P(X > 2), P(X = 1, 5), P(X = 1), P (2 ≤ X ≤ 3), P(X < 3).

Zad. 2.2 Wyznacz rozkªad zmiennej losowej, której dystrybuanta wyra»a si¦ nast¦puj¡- cym wzorem:

F (t) =











0, t < −1, 0.2, −1 ≤ t < ¹₂, 0.4, ¹₂ ≤ t < 3, 1, t ≥ 3.

Zad. 2.3 Niech X b¦dzie zmienn¡ losow¡ okre±laj¡c¡ ilo±¢ sukcesów w schemacie Ber- noullego. Obliczy¢ EX, V ar(X).

Zad. 2.4 Niech X ∼ P oiss(λ). Oblicz a) P(X = 2),

b) warto±¢ oczekiwan¡ zmiennej losowej Y = e^X.

Zad. 2.5 Dobierz staªe A i B tak, aby funkcja okre±lona dla x ∈ R wzorem F (x) = A + Barctgx, byªa dystrybuant¡ zmiennej losowej X. Wyznacz g¦sto±¢ X.

Zad. 2.6 Niech X b¦dzie zmienn¡ losow¡ o g¦sto±ci f(t) = 0; t /∈ [−2, 2]

a(4 − t²); t ∈ [−2, 2].

a) Wyznacz parametr a i narysuj wykres f.

b) Wyznacz dystrybuant¦ zmiennej X i narysuj jej wykres.

c) Oblicz E(X), V ar(X).

d) Wyznacz E(3X + 2)².

e) Oblicz prawdopodobie«stwo, »e X > 1 lub X < −1.

f) Zinterpretuj P (X < −1) na wykresie g¦sto±ci i dystrybuanty.

Zad. 2.7 Niech X ma rozkªad N(1, 2). Oblicz P(X < 0), P(X < 1), P(X > −1), P(|X| > 1).

Zad. 2.8 Wiedz¡c, »e X ma rozkªad wykªadniczy z parametrem λ > 0 i P(X < 2) = ³₄, znajd¹

a) dystrybuant¦ zmiennej losowej E(λ), b) λ;

c) warto±¢ oczekiwan¡ i wariancj¦ zmiennej losowej e^−X.

1

Wst¦p do statystycznej analizy danych (3 inf, 2012/2013)

2'. Zadania do samodzielnego rozwi¡zania

Zad. 2'.1 Z partii zawieraj¡cej 100 wyrobów, z których 10 jest wybrakowanych, losu- jemy 5 wyrobów do sprawdzenia (bez zwracania). Znale¹¢ rozkªad zmiennej losowej okre±laj¡cej liczb¦ braków w wylosowanej próbce.

Zad. 2'.2 Zmienne losowe X, Y s¡ niezale»ne i maj¡ rozkªad geometryczny z parametrem p, 0 < p < 1. Niech Z = min(X, X − Y ). Znale¹¢ P(Z = −1).

Zad. 2'.3 Poka», »e zmienna losowa o rozkªadzie geometrycznym posiada tzw. wªasno±¢

braku pami¦ci (wªasno±¢ Markowa), tzn.

P(X > t + s|X > t) = P(X > s), dla t, s ∈ N ∪ {0}.

Zad. 2'.4 Zmienna losowa X ma g¦sto±¢ dan¡ wzorem:

f (x) = ax(x − 3)

1

(a) Wyznacz parametr a i narysuj wykres g¦sto±ci.

(b) Wyznacz dystrybuant¦ zmiennej X i narysuj jej wykres.

Zad. 2'.5 Znale¹¢ warto±¢ oczekiwan¡ pola prostok¡ta, którego obwód jest równy 20, a jeden bok jest zmienn¡ losow¡ X o rozkªadzie jednostajnym na [1, 10].

Zad. 2'.6 Znajd¹ warto±¢ oczekiwan¡ pola trójk¡ta, którego wysoko±¢ jest dwa razy krótsza ni» podstawa b¦d¡ca zmienn¡ losow¡ X o rozkªadzie U[1, 4].

Zad. 2'.7 Wiadomo, »e E(X + Y ) = a, E(X − Y ) = b, V ar(X − Y ) = V ar(X + Y ).

Oblicz E(XY ).

Zad. 2'.8 Zmienne losowe X i Y s¡ niezale»ne i maj¡ rozkªad normalny N(0, 1). Czy zmienne losowe 2X + Y i X + 2Y s¡ niezale»ne?

2