22. Proszę znaleźć wektory Killinga (rozwiązując równania Killinga ∇ α ξ β +∇ β ξ α = 0) dla metryk:

OTW (zestaw 5 - środa 28.11.2018)

22. Proszę znaleźć wektory Killinga (rozwiązując równania Killinga ∇ α ξ β +∇ β ξ α = 0) dla metryk:

(a) 2 + 1-wymiarowej metryki Minkowskiego ds ² = −dt ² + dx ² + dy ² ; następnie uogólnić otrzymany wynik dla dowolnej D-wymiarowej przestrzeni Minkowskiego i D-wymiarowej przestrzeni Euklidesa we współrzędnych kartezjańskich,

(b) 2- wymiarowej sfery ds ² = dθ ² + sin ² θdφ ² ; sprawdzić otrzymany wynik zanurzając sferę w przestrzeni euklidesowej.

23. d + 1-wymiarowa czasoprzestrzeń de Sittera jest powierzchnią zadaną równaniem

− x ⁰
2

+ X

1≤k≤d+1

x ^k
2

= L ² ,

zanurzoną w d + 2-wymiarowej czasoprzestrzeni Minkowskiego ds ² = − dx ⁰
2

+ X

1≤k≤d+1

dx ^k
2

.

Proszę znaleźć parametryzacje 2+1 wymiarowej czasoprzestrzenia de Sittera przez kąt hiper- boliczny i dwa kąty na sferze jednostkowej, znaleźć wyindukowaną metrykę a następnie znaleźć jej wektrory Killinga. Do wyliczenia wektorów Killinga proponuje wykorzystać pakiet Mathematica.

24. Proszę pokazać, że jeśli ξ spełnia równanie Killinga to ∇ _α ∇ _β ξ _λ = R _µαβλ ξ ^µ .

25. Proszę wykorzystać porzedni wynik oraz twierdzenia rachunku całkowego żeby pokazać, że 4π (K S

− K S

) = −

Z

U

R µν ξ ^ν dS ^µ

|{z}

n

dS

,

gdzie K S

są całkami Komara zdefiniowanymi w zadaniu 21, a S 2 , S 1 są 2-wymiarowymi hiperpowierzchniami, będącymi brzegiem 3-wymiarowej hiperpowierzchni U z wektorem nor- malnym n ^µ .

Proszę wykorzystać otrzymany wynik do pokazania, ze w osiowej symetrii moment pędu musi być zachowany (osiowo symetryczne fale grawitacyjne nie unoszą z układu momentu pędu).

Wskazówki do rozwiazania tego zadania można znaleźć w pliku walter notes2.pdf.

A. Rostworowski

http://th.if.uj.edu.pl/ arostwor/