Zaawansowane Układy Sterowania PLC Wykład 5 - Regulatory PID: podstawy, dobór nastaw, samostrojenie, implementacja PLC. dr inż. Jakub Możaryn, dr inż. Piotr Wasiewicz

(1)

Zaawansowane Układy Sterowania PLC

Wykład 5 - Regulatory PID: podstawy, dobór nastaw, samostrojenie, implementacja PLC.

dr inż. Jakub Możaryn, dr inż. Piotr Wasiewicz

Instytut Automatyki i Robotyki

Warszawa, 2018

dr inż. Jakub Możaryn, dr inż. Piotr Wasiewicz Zaawansowane Układy Sterowania PLC

(2)

Realizacje układów sterowania zwykłego

Realizacje układów sterowania zwykłego układy jednoobwodowe,

układy kaskadowe,

układy wieloobwodowe ze sprzężeniem od zmiennych stanu:

fizykalnych lub fazowych.

(3)

Układy jednoobwodowe

Układy jednoobwodowe

Są to proste układy regulacji, z wykorzystaniem regulatorów z konwencjo- nalnym działaniem typu P, PD, PI, PID, lub z odpowiednio zmodyfiko- wanymi działaniami. W wersji dyskretnej wyróżnia się dwie realizacje tego rodzaju układu regulacji

pozycyjną, przyrostową.

(4)

Układy jednoobwodowe

Wersja pozycyjna (rzadko stosowana) - PID

u(k) = αPkPes(k) + αI

1 TI

k−1

X

i =1

[es(i )Tp] + αDTD

es(k) − es(k − 1) Tp

(1) Ze względu na całkowanie wersja ta wymaga pamiętania informacji o odchyłce es(k) od początku sterowania, aż do chwili bieżącej i = k.

(5)

Układy jednoobwodowe

Wersja przyrostowa

u(k)−u(k−1) = k_P

es(k) − es(k − 1) +Tp

T_Ies(k − 1) + T_Des(k) − 2es(k − 1) + es(k − 2) Tp

(2)

w wersji rekursywnej

u(k) = u(k − 1) + q₀e_s(k) + q₁e_s(k − 1) + q₂e_s(k − 2) (3) gdzie:

q0= kp

1 +T_D

Tp

, q1= −kp

1 − T_p

TI

+2T_D Tp

, q2= kp

T_D Tp

(4) Transmitancję dyskretną działania regulacyjnego opisuje zależność

GPID(z) = u(z)

e_s(z) = q0+ q1z⁻¹+ q2z⁻²

1 − z⁻¹ (5)

(6)

Układy jednoobwodowe

UWAGI

w wersji dyskretnej – inaczej niż w ciągłej – można wprowadzić różniczkowanie quasi-idealne przez zastąpienie go operatorem różnicy, którego wartości są skończone nawet w przypadku skokowej zmiany wartości zadanej s₀(k)

dla doboru nastaw można stosować różne podejścia, w praktyce np.

wymuszanie przy pomocy sterowania proporcjonalnego k_P drgań niegasnących układu napędowego o okresie Tkr (kP = kkr) i dobór nastaw na podstawie oferowanych tablic (np. Ziegler, Nichols, 1942) lub innych zależności.

(7)

Jakość układu regulacji

Oprócz wymogu stabilności asymptotycznej, układom regulacji stawiane są dodatkowe wymagania związane z zachowaniem się układu w stanach przejściowych (dynamicznych) i w stanach ustalonych, określane ogólnie jako wymagania dotyczące jakości układu regulacji.

Wymagania odnoszące się do przebiegu procesów przejściowych w ukła- dach regulacji określane są za pomocą szeregu wskaźników, nazywanych ogólnie kryteriami (wskaźnikami) jakości dynamicznej układu regulacji.

Wymagania dotyczące stanów ustalonych formułuje się przez określenie tzw. dokładności statycznej układu regulacji – dopuszczalnych wartości odchyłek regulacji w stanach ustalonych.

(8)

Jakość układu regulacji

Zadaniem układu regulacji jest minimalizacja odchyłki regulacji.

e(t) = ez(t) + ew(t), (6) gdzie

e_z(t) - odchyłka wywołana zakłóceniem (z(s)),

e_w(t) - odchyłka wywołana wymuszeniem (zmianą wartości zadanej, w (s)).

e(t) = ym(t) − w (t), (7)

(9)

Regulatory: kierunek działania

(10)

Odchyłki statyczne

Przy ocenie jakości układu regulacji analizuje się oddzielnie obydwa składniki odchyłki regulacji.

(11)

Odchyłka zakłóceniowa

Odchyłki statyczne spowodowane zakłóceniem

Transmitancja odchyłkowa układu względem zakłócenia Gz(s) =∆ym(s)

z(s) =ez(s)

z(s) = ±Gz(s)Gob(s)

1 + Gob(s)Gr(s) (8) ez(s) = ∆ym(s) = ±G_z(s)Gob(s)

1 + G_ob(s)Gr(s)z(s) (9) Odchyłka statyczna względem zakłócenia:

ezst.= lim

t→∞ez(t) = lim

s→0s · ez(s) (10)

ezst.= lim

s→0s · ±Gz(s)Gob(s)

1 + Gob(s)Gr(s)z(s) (11)

(12)

Odchyłka nadążania

(13)

Odchyłka nadążania

(14)

Odchyłka nadążania

Odchyłki statyczne spowodowane zmianą wartości zadanej

Transmitancja odchyłkowa układu względem wartości zadanej Gew(s) = ew(s)

∆w (s)= −1

1 + Gob(s)Gr(s) (12)

ew(s) = −1

1 + Gob(s)Gr(s)∆w (s) (13) Odchyłka statyczna względem wartości zadanej

ewst.= lim

t→∞ew(t) = lim

s→0s · ew(s) (14)

ewst.= lim

s→0s · −1

1 + Gob(s)Gr(s)∆w (s) (15)

(15)

Wpływ akcji regulatora na odchyłki statyczne

W układzie z obiektem statycznym i regulatorem o algorytmie P lub PD występują niezerowe odchyłki statyczne zarówno zakłóceniowe jak i nadążania proporcjonalne odpowiednio do wartości zakłócenia lub zmiany wartości zadanej.

Zwiększenie wzmocnienia proporcjonalnego regulatora P lub PD zmniejsza wartość odchyłek statycznych. Zmniejszenie odchyłki statycznej przez zwiększenie wzmocnienia jest zwykle ograniczone ze względu na warunki stabilności układu. Układ z regulatorem PD osiąga granicę stabilności przy większym wzmocnieniu regulatora niż w przypadku układu z regulatorem P.

Akcja całkująca występująca w regulatorze zapewnia zerowe odchyłki statyczne przy stałych wartościach zakłócenia lub stałych zmianach wartości zadanej.

(16)

Jakość dynamiczna

W praktyce wykorzystuje się różne wskaźniki jakości dynamicznej:

wskaźniki przebiegu przejściowego - wskaźniki dotyczące parametrów odpowiedzi skokowych,

wskaźniki dotyczące charakterystyk częstotliwościowych układu regulacji - zapasy modułu i fazy,

całkowe wskaźniki jakości.

(17)

Wskaźniki przebiegu przejściowego

Do oceny przebiegów przejściowych wykorzystywane są wskaźniki:

statyczna odchyłka zakłóceniowa: ezst.

statyczna odchyłka nadążania: e_wst.

maksymalna odchyłka dynamiczna: e_m- maksymalna wartość odchyłki regulacji po wprowadzeniu zakłócenia skokowego lub skokowej zmiany wartości zadanej.

czas regulacji: tr - czas od chwili wprowadzenia skokowego zakłócenia lub wymuszenia do chwili, od której odchyłka regulacji nie wykracza poza przedział wartości ±∆e .

przeregulowanie: κ = e2

e₁· 100% - wyrażony w procentach stosunek amplitudy drugiego odchylenia e₂od wartości ustalonej do amplitudy pierwszego odchylenia e₁.

(18)

Odpowiedzi oscylacyjne na zakłócenie skokowe

Rysunek:Oscylacyjne odpowiedzi układu regulacji na zakłócenie skokowe: a) z niezerową odchyłką statyczną, b) z zerową odchyłką statyczną

(19)

Odpowiedzi aperiodyczne na zakłócenie skokowe

Rysunek:Aperiodyczne odpowiedzi układu regulacji na zakłócenie skokowe: a) z niezerową odchyłką statyczną, b) z zerową odchyłką statyczną

(20)

Odpowiedzi oscylacyjne na wymuszenie skokowe

Rysunek:Oscylacyjne odpowiedzi układu regulacji na skokową zmianę wartości zadanej: a) z niezerową odchyłką statyczną, b) z zerową odchyłką statyczną

(21)

Odpowiedzi aperiodyczne na wymuszenie skokowe

Rysunek:Aperiodyczne odpowiedzi układu regulacji na skokową zmianę wartości zadanej: a) z niezerową odchyłką statyczną, b) z zerową odchyłką statycznądr inż. Jakub Możaryn, dr inż. Piotr Wasiewicz Zaawansowane Układy Sterowania PLC

(22)

Kryteria oceny jakości sterowania - zadanie regulacji

minimalizacja ustalonej (statycznej) odchyłki procesu regulacji (esu):

Iesu= αes|s(ku) − so| , min (16) minimalizacja maksymalnej odchyłki przejściowej (dynamiczna: przeregulowania lub nadwyżki) espo kierunku przeciwnym do odchyłki początkowej, określanej w procedurze o schemacie:

Iesp= αespmax

0, max

0<k<ku

[(s(k) − s0)sgn(s0− spocz)]

, min (17)

minimalizacja czasu zakończenia (traktowanego alternatywnie jako czas ustalania lub doregulowania) procesu – wyrażony przez czas dyskretny kkonc lub (w praktyce wygodniejsze) przez czas ciągły t = k_koncTp:

It= αtkkoncTp, min (18)

gdzie: αes, αespi αt są wagami oceny, s0- sygnał zadany ocenianego procesu, spocz – sygnałem początkowy ocenianego procesu.

(23)

Kryteria oceny jakości sterowania - zadanie regulacji

Ocena jakości w oparciu o wymienione wskaźniki, jest łatwa w praktycz- nej realizacji, jednak pojawiają się następujące problemy:

wzajemna sprzeczność kryteriów w odniesieniu do zadań sterowania - np. żądanie większej dokładności (zmniejszenie esdop) prowadzi do wydłużenia czasu ustalania (t_u).

obecność przeregulowania w warunkach przemysłowych:

w części zadań pozycjonowania w zakresie ruchów roboczych wykluczone jest pojawienie się tej odchyłki i to bez względu na pogorszenie innych wskaźników,

w innych zadaniach takich jak np. ruchy dobiegowe, celowość skrócenia czasu ruchu pozwala na pewne przekroczenie wartości zadanej,

przeregulowanie, będące następstwem oscylacji słabo tłumionego układu napędowego, może być wykorzystane w trakcie

uruchomieniowego (startowego), iteracyjnego strojenia nastaw.

(24)

Standardowe kryteria oceny jakości sterowania

Zróżnicowane wymagania odnośnie pracy układu napędowego w urządzeniach automatyki i robotyki

żądania o charakterze ogólnym, na przykład:

określonej powtarzalności zachowań dokładnościowych i czasowych - w warunkach zmieniających się obciążeń masowych, siłowych itd.

likwidacji pełzania - stabilizacji położenia po (chwilowym) ustaniu ruchu

zadanej podatności obciążeniowej statycznej i dynamicznej – minimalizacji wpływu zmieniających się obciążeń na odchyłkę sterowania w warunkach postoju i ruchu

żądania o charakterze funkcjonalnym, związane ze specyfiką realizacji w konkretnej technice napędowej zadań pozycyjnych (przestawianie, nadążania), siłowych, momentowych,

przyspieszeniowych itp.

(25)

Niestandardowe kryteria i wskaźniki oceny

W opisanej sytuacji różnorodności uniwersalnych kryteriów oceny jakości układu pozycyjnego, warto rozważyć zastosowanie kryteriów niestandardowych - uwzględniające specyfikę układu. Np. dla pneumatycznego dławieniowego układu pozycyjnego można stosować wskaźniki jakości pozycjonowania rozszerzone o liczbę przełączeń rozdzielacza proporcjonalnego.

Wskaźniki sumowe (całkowe)

W technice płynowej oparto się na minimalizacji dwóch konwencjonalnych kryteriów ITAE (ang. Integral of Time Multipled with Absolute Error )

I_ITAE=

k_oc

X

k=0

[k|es(k)|] , min (19)

ITSE (ang. Integral of Time with Square Error )

I_ITSE=

k_oc

X

k=0

[ke_s²(k)] , min (20)

(26)

Niestandardowe kryteria i wskaźniki oceny

Cechy wspólne wskaźników ITAE i ITSE

pożądane uwzględnienie podstawowych parametrów procesu sterowania napędu, tzn. czasu i odchyłki

bardzo silne dowartościowanie początkowej fazy procesu, w której wartość odchyłki jest zbliżona do wartości zadanej

Druga własność prowadzi do oceny końcowej niekorzystnej w stosunku do najbardziej istotnej dla przebiegu procesu fazy zbliżania się do wartości zadanej.

W zakresie pracy liniowej układu regulacji znalezienie minimum ITAE i ITSE jest proste i odpowiada też spełnieniu innych kryteriów (odchyłki ustalonej, maksymalnej odchyłki przejściowej, czasu zakończenia) w przypadku pracy nieliniowej układu regulacji związek wartości wskaźników ITAE i ITSE z minimalizacją wartości parametrów czasowych i dokładnościowych sterowania przestaje być oczywisty.

(27)

Niestandardowe kryteria i wskaźniki oceny

Wskaźniki sumowe modyfikowane zmodyfikowany wskaźnik IITAE mod1- Roth

IITAE mod1=

k_{oc mod}

X

k=0

k|s(k)| +

k_oc

X

k=koc mod

k|es(k)| , min (21)

Czas podziału koc mod jest wyliczany ze wzmocnienia w torze głównym układu sterowania pozycyjnego: k_{oc mod}= 1/(k_sC_m) (k_s= k_{x 1}w przypadku sterowania ze sprzężeniem zwrotnym od zmiennych stanu)

Wskaźnik IITAE mod1sprawdza się tylko w przypadku obiektów o dużym czasie opóźnienia i silnie aperiodycznym zachowaniu.

(28)

Niestandardowe kryteria i wskaźniki oceny

Wskaźniki sumowe modyfikowane zmodyfikowany wskaźnik IITAE mod2- Enger

IITAE mod2=

k_oc

X

k=k_{oc mod}

(k − koc mod)²|es(k)| , min (22)

Z całkowitym wycięciem fazy początkowej przebiegu i liczeniem wartości wskaźnika wg przyjętego funkcjonału dopiero po czasie koc mod(koc mod< koc) osiągnięcia przez odpowiedź skokową układu pozycyjnego maksymalnej wartości przemieszczenia (so+ esp max) Wskaźnik I_{ITAE mod2}ograniczony jest do przypadku słabo tłumionych zachowań układu napędowego i wyraźnym przeregulowaniu, będącym warunkiem rozpoczęcia liczenia (mija się z wymaganiami praktycznymi).

(29)

Niestandardowe kryteria i wskaźniki oceny

Wskaźniki sumowe modyfikowane zmodyfikowany wskaźnik IITAE mod2- Enger

IITAE mod2=

k_oc

X

k=k_{oc mod}

(k − koc mod)²|es(k)| , min (23)

Z całkowitym wycięciem fazy początkowej przebiegu i liczeniem wartości wskaźnika wg przyjętego funkcjonału dopiero po czasie koc mod(koc mod< koc) osiągnięcia przez odpowiedź skokową układu pozycyjnego maksymalnej wartości przemieszczenia (so+ esp max) Wskaźnik I_{ITAE mod2}ograniczony jest do przypadku słabo tłumionych zachowań układu napędowego i wyraźnym przeregulowaniu, będącym warunkiem rozpoczęcia liczenia (mija się z wymaganiami praktycznymi).

(30)

Niestandardowe kryteria i wskaźniki oceny

Wskaźniki sumowe - nowe modyfikacje

wskaźnik jednokryterialny I_IAED - w postaci różnicy wartości odpowiedzi układu regulowanego (zamkniętego) i układu nieregulowanego (otwartego) e_s(o−z)(k) - dla początkowej fazy przebiegu procesu sterowania, tzn. aż do czasu k_{oc otw} określonego osiągnięciem wartości zadanej (np. przemieszczenia so ) przez odpowiedź układu napędowego przy pełnym wysterowaniu

koc otw : |sotw− so| = 0 (24) i następnie - aż do czasu oceny koc- przez wskaźnik

IIAED=

k_{oc otw}

X

k=0

k|e_s(o−z)(k)| +

k_oc

X

k=koc otw

k|es(k)| , min (25)

(31)

Niestandardowe kryteria i wskaźniki oceny

Rysunek:Ilustracja oceny jakości układu pozycyjnego z wykorzystaniem wskaźnika IIAED (na przykładzie sterowania pozycyjnego pneumatycznego napędu dławieniowego) - a) odpowiedź z przeregulowaniem i oscylacjami, b) odpowiedź aperiodyczna.

(32)

Charakterystyki częstotliwościowe

Charakterystyki częstotliwościowe określają zachowanie się elementu (układu) pod wpływem ciągłych sinusoidalnych sygnałów wejściowych.

W analizie układów liniowych charakterystyki częstotliwościowe są wy- korzystywane do badania m.in. stabilności układów, a także określonych własności dynamicznych układów.

Określają w funkcji częstotliwości:

stosunek amplitudy odpowiedzi do amplitudy wymuszenia przesunięcie fazowe między odpowiedzią a wymuszeniem

Rozróżnia się następujące postacie charakterystyk częstotliwościowych:

charakterystyka amplitudowo-fazowa tzw. wykres Nyquista, logarytmiczna charakterystyka amplitudowa i fazowa (wykres Bode’a)

(33)

Charakterystyki częstotliwościowe

Rysunek:Wyznaczanie charakterystyk częstotliwościowych

u(t) = A1sin[ωt] (26)

y (t) = A2sin[ω(t − tϕ)] (27) gdzie: Ai - amplituda sygnału, ω - częstotliwość sygnału (stała dla we/wy), tϕ- opóźnienie fazy sygnału wyjściowego względem sygnału wejściowego.

Przesunięcie fazowe: odpowiednio tϕ < 0 - ujemne przesunięcie fazowe, tϕ> 0 - dodatnie przesunięcie fazowe,

(34)

Charakterystyki częstotliwościowe

Rysunek:Sygnał wejściowy

Rysunek:Sygnał wyjściowy, ujemne przesunięcie fazowe

(35)

Charakterystyki częstotliwościowe

Przesunięcie fazowe sygnału wyjściowego względem sygnału wejściowego można wyrazić jako przesunięcie w czasie o wartość t_ϕ i wtedy sygnał wyjściowy opisywany jest funkcją

y (t) = A2sin[ω(t − tϕ)] (28) lub jako przesunięcie kątowe

ϕ(ω) = ωtϕ (29)

wtedy

y (t) = A2sin[ωt − ϕ] (30)

(36)

Charakterystyki częstotliwościowe

Do opisu elementów lub układów, w których występują sygnały sinusoidal- nie zmienne, wykorzystuje się tzw. transmitancję widmową G (j ω).

Pojęcie transmitancji widmowej związane jest z przekształceniem Fouriera, które funkcji czasu f (t) przyporządkowuje transformatę F (j ω) (gdzie j - jednostka urojona) zgodnie z zależnością zwaną całką Fouriera:

F (j ω) =

∞

Z

−∞

f (t)e^−jωtdt (31)

Transmitancja widmowa

Transmitancja widmowa jest to stosunek transformaty Fouriera sygnału wyjściowego do transformaty Fouriera sygnału wejściowego.

Gj ω = Y (j ω)

U(j ω) (32)

(37)

Transmitancja widmowa

Między transmitancją widmową, a transmitancją operatorową istnieje for- malny związek

G (j ω) = G (s)|s=j ω (33)

wynikający ze związku pomiędzy transformatami Laplace’a i Fouriera.

Przekształcenie Fouriera stanowi szczególny przypadek przekształcenia Laplace⁰a dla s = j ω.

(38)

Transmitancja widmowa

Z własności transformaty Laplace’a - twierdzenie o przesunięciu w dzie- dzinie zmiennej rzeczywistej

L{f (t + τ )} = L{f (t)}e^{τ s} (34) można napisać transmitancję widmową obiektu w przypadku sygnału sinu- soidalnego na jego wejściu

G (s) = L {A₂(ω)sin[ω(t + t_ϕ)]}

L {A1sin[ω(t)]} =A₂(ω) A1

L {sin[ω(t)]} e^t^ϕ^s

L {sin[ω(t)]} =A₂(ω) A1

e^t^ϕ^s (35) ponieważ

G (j ω) = Y (j ω)

U(j ω), G (j ω) = G (s)|s=j ω, tϕ= ϕ(ω)

ω (36)

to

G (j ω) = A2(ω) A1

e^t^ϕ^s|s=j ω= A2(ω) A1

e^t^ϕ^{j ω}= A2(ω) A1

e^{j ϕ(ω)} (37)

(39)

Transmitancja widmowa

Transmitancję widmową zapisuje się następująco G (j ω) = A2(ω)

A₁ e^{j ϕ(ω)}= M(ω)e^{j ϕ(ω)} (38) gdzie:

M(ω) = ^A²_A^(ω)

1 - moduł transmitancji widmowej, ϕ(ω) - argument transmitancji widmowej.

W transmitancji można wyróżnić 2 składowe

G (j ω) = M(ω)e^{j ϕ(ω)}= P(ω) + jQ(ω) (39) gdzie:

P(ω) - część rzeczywista transmitancji widmowej Q(ω) - część urojona transmitancji widmowej

(40)

Charakterystyka amplitudowo-fazowa

Charakterystyka amplitudowo-fazowa jest to krzywa wykreślona w płasz- czyźnie zmiennej zespolonej, która jest miejscem geometrycznym końca wektora transmitancji widmowej G (j ω) przy zmianach ω = 0 → ∞

Rysunek:Charakterystyka amplitudowo-fazowa

M(ω) =p

[P(ω)]²+ [Q(ω)]² (40) ϕ(ω) = arctg Q(ω)

P(ω)

(41)

P(ω) = M(ω) cos[ϕ(ω)] (42) Q(ω) = M(ω) sin[ϕ(ω)] (43) M(ω) = P(ω) cos[ϕ(ω)] = Q(ω) sin[ϕ(ω)] (44)

(41)

Charakterystyki częstotliwościowe

Rysunek:Charakterystyki logarytmiczne

Charakterystyki częstotliwościowe

Częstotliwościowe charakterystyki amplitudowa i fazowa są przedstawiane na dwóch oddzielnych wykresach:

charakterystyka amplitudowa L(ω) = |G (j ω)| w zależności od częstości ω ,

charakterystyka fazowa ϕ = arg G (ω) w zależności od częstości ω.

Moduł logarytmiczny (jednostka - de- cybel, 20 dB oznacza wzmocnienie 10-krotne, 0 dB oznacza wzmocnienie jednostkowe)

L(ω) = 10log10M²(ω) =

= 20 log M(ω)[dB] (45)

(42)

Kryterium Nyquista

Kryterium Nyquista umożliwia ocenę stabilności układu zamkniętego na podstawie charakterystyk częstotliwościowych układu otwartego.

Transmitancja układu zamkniętego

GZ(s) = G1(s)

1 + G1(s)G2(s) (46)

Transmitancja układu otwartego

G0(s) = G1(s)G2(s) (47)

(43)

Uproszczone kryterium Nyquista

Uproszczone kryterium Nyquista

W przypadku kiedy równanie charakterystyczne układu otwartego nie ma pierwiastków dodatnich lub o dodatnich częściach rzeczywistych (może mieć dowolna liczbę pierwiastów zerowych), układ zamknięty jest stabilny, jeżeli charakterystyka amplitudowo – fazowa układu otwartego nie obej- muje punktu o współrzędnych {–1, j 0}.

’Nie obejmuje’ oznacza, że przy przesuwaniu się wzdłuż charakterystyki w kierunku wzrastających pulsacji, punkt {–1, j 0} pozostaje po lewej stronie charakterystyki

UWAGA: Uproszczone kryterium Nyquista nie obejmuje przypadków kiedy równanie charakterystyczne układu otwartego, oprócz ujemnych lub zerowych, ma także pierwiastki dodatnie lub o dodatnich częściach rzeczywistych.

(44)

Kryterium Nyquista

Cechy kryterium Nyquista

charakterystyka częstotliwościowa układu otwartego, na podstawie której określana jest stabilność układu zamkniętego, może być łatwo wyznaczana analitycznie lub doświadczalnie,

kryterium umożliwia nie tylko stwierdzenie faktu stabilności, lecz także umożliwia projektowanie układu o określonych właściwościach dynamicznych,

kryterium umożliwia badanie stabilności układów zawierających elementy opóźniające.

(45)

Kryterium Nyquista

Rysunek:Charakterystyki aplitudowe-fazowe układu otwartego w przypadku 1) stabilnego układu zamkniętego, 2) niestabilnego układu zamkniętego

Warunki Nyquista

M(ω_−π) < 1; gdzie ω_−π : ϕ(ω_−π) = −π (48) ϕ(ωp) > −π; gdzie ωp: M(ωp) = 1 (49)

(46)

Kryterium Nyquista - przykłady charakterystyk układów stabilnych

Rysunek:Przykłady charakterystyk amplitudowo – fazowych układów

otwartych, odpowiadających: stabilnym układom zamkniętym - charakterystyka nie obejmuje punktu {−1, j 0}

(47)

Kryterium Nyquista - przykłady charakterystyk układów niestabilnych

Rysunek:Przykłady charakterystyk amplitudowo – fazowych układów otwartych, odpowiadających: niestabilnym układom zamkniętym - charakterystyka obejmuje punkt {−1, j 0}

(48)

Kryterium Nyquista

(49)

Kryterium Nyquista - charaktersytyki Bodego

Warunki Nyquista dla charakterystyk amplitudowej i fazowej

L(ω_−π) = 20 log M(ω_−π) < 0;

(50) ϕ(ωp) > −π; gdzie L(ωp) = 0 (51)

(50)

Kryterium Nyquista - zapas modułu i zapas fazy

Zapas modułu

∆M = 1

M(ω−π) (52)

∆L = −20 log M(ω_−π) (53) Zapas fazy

∆ϕ = π + ϕ(ω_p) (54) Zapas modułu i fazy układu sta- bilnego ma wartości dodatnie.

PRAKTYKA PRZEMYSŁOWA 30 deg < ∆ϕ < 60 deg (55) 2 ¬ ∆M ¬ 4 → 6dB ¬ ∆L ¬ 12dB

dr inż. Jakub Możaryn, dr inż. Piotr Wasiewicz Zaawansowane Układy Sterowania PLC (56)

(51)

Obiekty regulacji

Odpowiedzi skokowe obiektów statycznych o właściwościach: 1- członu inercyjnego, 2, 3 – czło- nów inercyjnych wyższych rzę- dów, 4 – członu oscylacyjnego, 5 - członu proporcjonalnego

Odpowiedzi skokowe obiektów astatycznych o właściwościach:

1- członu całkującego, 2 - członu całkującego z inercją, 3 - członu całkującego z opóźnieniem i iner- cją

(52)

Modele obiektów statycznych

model 1 - model inercyjny 1 rzędu z opóźnieniem

G (s) = ∆ym(s)

∆u(s) = kob

(T_zs + 1)e^−T⁰^s (57) model 2 - model Strejca

G (s) = ∆y_m(s)

∆u(s) = k_ob (Tzs + 1)ⁿ

(58) model 3 - model Strejca z

opóźnieniem G (s) = ∆y_m(s)

∆u(s) = k_ob

(Tzs + 1)ⁿe^−T⁰^s (59)

(53)

Modele obiektów astatycznych

Obiekt całkujący z inercją Obiekt całkujący z opóźnieniem i inercją

Gob(s) = 1

Tzs(T0s + 1) (60) G_ob(s) = 1

Tzse^−T⁰^s (61)

Gob(s) = 1

Tzs(T1s + 1)e^−T⁰^s (62) Gob(s) = 1

Tzse^−(T⁰^+T¹^)s (63)

(54)

Dobór regulatorów

Podstawową przesłanką przy wyborze rodzaju regulatora są właściwości dynamiczne obiektu regulacji.

Podstawowe formy opisu właściwości obiektów regulacji (statyczny / astatyczny)

Gob(s) = ∆ym(s)

∆u(s) = kob

T_zs + 1e^−T⁰^s, Gob(s) = ∆ym(s)

∆u(s) = 1 T_zse^−T⁰^s

(55)

Dobór regulatorów

dla T₀ Tz

< 0.1 . . . 0.2 → regulatory dwu- lub trój-stawne

dla 0.2T0

Tz

< 0.7 . . . 1.0 → regulatory o działaniu ciągłym

dla T0

T_z > 1.0 → regulatory o działaniu impulsowym (generujące impulsowe sygnały wyjściowe)

W przypadku obiektów przemysłowych najczęściej spotykane wartości stosunku T0

T_z mieszczą się w przedziale 0.2 . . . 0.7. Dlatego w przemysłowych układach regulacji najbardziej rozpowszechnione są regulatory o działaniu ciągłym, realizujące typowe algorytmy regulacji P, PI, PD i PID.

(56)

Dobór regulatorów

Analiza współpracy regulatora z obiektem prowadzi do następujących wniosków odno- śnie wyboru algorytmu regulatora:

Regulator o algorytmie PI zapewnia dobrą jakość regulacji tylko przy zakłóceniach o niskich częstotliwościach.

Akcja całkująca jest niezbędna dla uzyskania odchyłek statycznych równych zero.

Regulator o algorytmie PD zapewnia szersze pasmo regulacji niż regulator o algorytmie PI, ale z gorszą jakością regulacji przy niskich częstotliwościach zakłóceń lub wymuszeń.

Akcja różniczkująca jest zalecana w przypadku obiektów inercyjnych wyższych rzędów (np. takich jak procesy cieplne), gdyż pozwala na wytworzenie silnego oddziaływania sterującego już przy małych odchyłkach regulacji.

Regulator PD nie zapewnia osiągania w stanach ustalonych zerowej odchyłki regulacji.

Regulator o algorytmie PID łączy do pewnego stopnia zalety regulatorów PI i PD.

(57)

Dobór regulatorów

Stosowane w praktyce, przemysłowe regulatory o działaniu ciągłym są urządzeniami uniwersalnymi.

Ich parametry (nastawy) można zmieniać (nastawiać) w szerokich granicach, dzięki czemu mogą one współpracować poprawnie z obiektami o zróżnicowanej dynamice.

Zależnie od stawianych wymagań dotyczących stabilności i jakości regulacji, należy wpro- wadzić odpowiednie nastawy regulatora dobierane wg procedur nazywanych doborem nastaw.

Nastawy, są to następujące wielkości:

wzmocnienie proporcjonalne kp= 0.1 ÷ 100 czas zdwojenia Ti = 0.1 ÷ 3600[s]

czas wyprzedzenia Td= 0 ÷ 3600[s]

Dodatkowe nastawy:

wzmocnienie dynamiczne: kd= 2 ÷ 10 czas próbkowania: Tp= 0 ÷ 1[s]

(58)

Dobór regulatorów

Metody doboru nastaw regulatorów PID o działaniu ciągłym

Metody tabelaryczne doboru nastaw regulatorów na podstawie parametrów matematycznego modelu obiektu regulacji i wymaganego kryterium jakości układu regulacji (np: zerowe przeregulowanie).

Metody doświadczalne doboru nastaw regulatorów, nie

zapewniające uzyskania ściśle określonych parametrów jakościowych układom regulacji (np. Zieglera – Nicholsa, Pessena, Hassena i Offereissena, Cohena-Coona, ¨Astr¨oma – Hagglunda).

Samostrojenie (ang. autotuning ) np. metoda przekaźnikowa.

(59)