Sterowanie napędów maszyn i robotów Wykład 7 - Układy sterowania. Ocena jakości układów sterowania. dr inż. Jakub Możaryn

(1)

Sterowanie napędów maszyn i robotów

Wykład 7 - Układy sterowania. Ocena jakości układów sterowania.

dr inż. Jakub Możaryn

Instytut Automatyki i Robotyki

Warszawa, 2016

(2)

Realizacje układów sterowania zwykłego

Realizacje układów sterowania zwykłego układy jednoobwodowe,

układy kaskadowe,

układy wieloobwodowe ze sprzężeniem od zmiennych stanu:

fizykalnych lub fazowych.

(3)

Układy jednoobwodowe

Układy jednoobwodowe

Są to proste układy regulacji, z wykorzystaniem regulatorów z konwencjo- nalnym działaniem typu P, PD, PI, PID, lub z odpowiednio zmodyfiko- wanymi działaniami. W wersji dyskretnej wyróżnia się dwie realizacje tego rodzaju układu regulacji

pozycyjną, przyrostową.

(4)

Układy jednoobwodowe

Wersja pozycyjna (rzadko stosowana) - PID

u(k) = αPkPes(k) + αI

1 TI

k−1

X

i =1

[es(i )Tp] + αDTD

es(k) − es(k − 1) Tp

(1) Ze względu na całkowanie wersja ta wymaga pamiętania informacji o odchyłce es(k) od początku sterowania, aż do chwili bieżącej i = k.

(5)

Układy jednoobwodowe

Wersja przyrostowa

u(k)−u(k−1) = k_P

es(k) − es(k − 1) +Tp

T_Ies(k − 1) + T_Des(k) − 2es(k − 1) + es(k − 2) Tp

(2)

w wersji rekursywnej

u(k) = u(k − 1) + q0es(k) + q1es(k − 1) + q2es(k − 2) (3) gdzie:

q₀= k_p

1 +T_D

Tp

, q₁= −k_p

1 − T_p

TI

+2T_D Tp

, q₂= k_pT_D Tp

(4) Transmitancję dyskretną działania regulacyjnego opisuje zależność

GPID(z) = u(z)

es(z) = q₀+ q₁z⁻¹+ q₂z⁻²

1 − z⁻¹ (5)

(6)

Układy jednoobwodowe

UWAGI

w wersji dyskretnej – inaczej niż w ciągłej – można wprowadzić różniczkowanie quasi-idealne przez zastąpienie go operatorem różnicy, którego wartości są skończone nawet w przypadku skokowej zmiany wartości zadanej s₀(k)

dla doboru nastaw można stosować różne podejścia, w praktyce np.

wymuszanie przy pomocy sterowania proporcjonalnego k_P drgań niegasnących układu napędowego o okresie T_kr (k_P = k_kr) i dobór nastaw na podstawie oferowanych tablic (np. Ziegler, Nichols, 1942) lub innych zależności.

(7)

Układy kaskadowe

Układy kaskadowe stosowane są powszechnie w układach napędowych osi ruchu maszyn i robotów przemysłowych – w postaci obwodów

sterowania:

położenia (P),

prędkości obrotowej (PI), prądu (PI),

(8)

Równanie dynamiki silnika DC

Układ równań wiążących zależności elektryczne i mechaniczne silnika DC







U_z = R_wi_w+ L_wdiw

dt + k_eω_s kmiw = Jd ωs

dt + Bωs+ Mobc

(6)

stosując przekształcenie Laplace’a

Uz(s) = Rwiw(s) + Lwiw(s)s + keωs(s) kmiw(s) = Jωs(s)s + Bωs(s) + Mobc

(7) a następnie określając zmienną wiążącą jako i_w(s)







iw(s) = Uz(s) − keωs(s) R_w+ L_ws

iw(s) = Jωs(s)s + Bωs(s) + Mobc

km

(8)

czyli

Uz(s) − keωs(s)

R_w+ L_ws = Jωs(s)s + Bωs(s) + Mobc

k_m (9)

(9)

Równanie dynamiki silnika DC

mając

U_z(s) − k_eω_s(s)

Rw+ Lws = Jω_s(s)s + Bω_s(s) + M_obc km

(10) można zapisać zależność wiążącą napięcie zasilające silnik i prędkość kątową wirnika

kmUz(s) − kmkeωs(s) = (Rw+ Lws)(Jωs(s)s + Bωs(s) + Mobc) (11)

Rysunek :Schemat blokowy silnika prądu stałego, sprowadzonego do obwodu wirnika

(10)

Równanie dynamiki silnika DC

Do wyznaczenia transmitancji silnika elektrycznego prądu stałego z magnesem trwałym, należy przyjąć zerowe obciążenie, czyli:

Mobc= 0 (12)

co daje transmitancję operatorową postaci G (s) = ω_s(s)

Us(s)= k_m

LwJs²+ (RwJ + LwB)s + (kmke+ RwB) (13) Tak więc otrzymujemy układ liniowy, stacjonarny, mający charakter układu oscylacyjnego.

(11)

Transmitancje układu regulacji

Transmitancja - wejściem jest napięcie zasilania Uz(s) (przy Mobc= 0) ω_s(s)

Us(s)= k_m

LwJs²+ (RwJ + LwB)s + (kmke+ RwB) (14) Transmitancja zakłóceniowa - wejściem jest moment obciążający (przy Uz(s) = 0)

ω_s(s)

Mobc(s)= − L_ws + R_w

LwJs²+ (RwJ + LwB)s + (kmke+ RwB) (15)

(12)

Sterowanie feedforward silnika DC

Rysunek :Schemat blokowy sterowania feedforward Równanie regulatora

GR(s) = LwJs²+ (RwJ + LwB)s + (kmke+ RwB) km

(16) UWAGA: Równanie regulatora zawiera parametry silnika, które mogą, i zwykle są, wyznaczone niedokładnie - mogą też ulec zmianie w trakcie pracy silnika. Ponieważ w układzie nie ma sprzężenia zwrot- nego, sygnał wyjściowy może się znacznie różnić od sygnału refe- rencyjnego.

(13)

Układ jednoobwodowy - sterowanie prędkością silnika DC

Rysunek :Schemat blokowy jednoobwodowego układu regulacji prędkości silnika DC

Regulator P

G_R(s) = k_ωp (17)

Regulator PI

G_R(s) = k_ωp

1 + 1

Tωis

(18)

(14)

Jakość układu regulacji

Zadaniem układu regulacji jest minimalizacja odchyłki regulacji.

e(t) = e_z(t) + e_w(t), (19) gdzie

e_z(t) - odchyłka wywołana zakłóceniem,

ew(t) - odchyłka wywołana wymuszeniem. (zmianą wartości zadanej) Przy ocenie jakości układu regulacji analizuje się oddzielnie obydwa składniki odchyłki regulacji, przy założeniu że układ jest liniowy i spełnia zasadę superpozycji.

(15)

Odchyłka zakłóceniowa

Transmitancja odchyłkowa układu względem zakłócenia Gz(s) = ∆y_m(s)

z(s) =e_z(s)

z(s) = ±Gz(s)G_ob(s)

1 + Gob(s)Gr(s) (20) e_z(s) = ∆y_m(s) = ±G_z(s)G_ob(s)

1 + Gob(s)Gr(s)z(s) (21) Odchyłka statyczna względem zakłócenia:

ezst.= lim

t→∞ez(t) = lim

s→0s · ez(s) (22) ezst.= lim

s→0s · ±Gz(s)Gob(s)

1 + Gob(s)Gr(s)z(s) (23)

(16)

Odchyłka nadążania

Transmitancja odchyłkowa układu względem wartości zadanej Gew(s) = ew(s)

∆w (s) = −1

1 + Gob(s)Gr(s) (24) ew(s) = −1

1 + G_ob(s)G_r(s)∆w (s) (25) Odchyłka statyczna względem wartości zadanej

ewst.= lim

t→∞ew(t) = lim

s→0s · ew(s) (26) ewst.= lim

s→0s · −1

1 + G_ob(s)G_r(s)∆w (s) (27)

(17)

Odchyłka nadążania - sterowanie prędkością silnika DC

Odchyłka statyczna względem wartości zadanej - regulator P, wymuszenie skokowe (ω_s(s) = 1

sω_st) ewst.= lim

s→0

1

1 + k_mk_ωp

LwJs²+ (RwJ + LwB)s + (kmke+ RwB)

ωst (28)

ewst.= 1

1 + kmkωp

(kmke+ RwB)

ωst (29)

(18)

Odchyłka nadążania - sterowanie prędkością silnika DC

Odchyłka statyczna względem wartości zadanej - regulator PI, wymuszenie skokowe (ωs(s) = 1

sωst) e_wst.= lim

s→0

1

1 +

k_mk_ωp

1 + 1

Tωis

LwJs²+ (RwJ + LwB)s + (kmke+ RwB)

ω_st (30)

ewst.= 0 (31)

(19)

Układ kaskadowy - sterowanie prędkością i położeniem silnika DC

Rysunek :Schemat blokowy kaskadowego układu regulacji prędkości i położenia silnika DC

(20)

Odchyłka nadążania - sterowanie prędkością i położeniem silnika DC

Odchyłka statyczna położenia względem wartości zadanej - regulator P położenia, regulator P prędkości, wymuszenie skokowe (θ = θ_st

s ) e_wst.= lim

s→0

1 1 +kθP

s Gω(s)

θ_st (32)

gdzie

Gω(s) = kmkωp

L_wJs²+ (R_wJ + L_wB)s + (k_mk_e+ R_wB + k_mk_ωp) (33) tak więc odchyłka statyczna położenia w stanie ustalonym ma wartość:

ewst.= 0 (34)

(21)

Układ kaskadowy - sterowanie prędkością, położeniem i prądem

Rysunek :Schemat blokowy kaskadowego układu regulacji prędkości, położenia i prądu silnika DC

UWAGA: W większości komercyjnie dostępnych silników DC pętla sprzężenia od prądu wykorzystywana jest do kompensacji wpływu momentu obciążenia silnika i regulacji przepływu prądu przez silnik.

(22)

Układy kaskadowe

Przyczyny powszechności zastosowań układów kaskadowych dobór nastaw regulatorów i optymalizacja są bardzo proste - od wewnątrz na zewnątrz kaskady,

ograniczona liczba nastaw – podstawowym parametrem jest współczynnik wzmocnienia prędkościowego kv, obliczany z warunku żądanego stosunku prędkości (rzeczywistej) do odchyłki położenia w ruchu ustalonym (odchyłki nadążania, śledzenia)

dla ruchu postępowego

kv = v

∆s|ruch ustalony (35)

dla ruchu obrotowego

kω= ω

∆θ|ruch ustalony (36)

prosta i tania realizacja sprzętowa i/lub programowa.

(23)

Kryteria oceny jakości sterowania

Kryteria oceny jakości sterowania Standardowe miary jakości sterowania

Modyfikacje standardowych miar jakości sterowania Niestandardowe kryteria i wskaźniki oceny

Wskaźniki sumowe (całkowe) Wskaźniki sumowe modyfikowane

(24)

Kryteria oceny jakości sterowania

Miary jakości sterowania współczesnych napędów opierają się na

kryteriach oceny bezpośredniej przebiegu w czasie odpowiedzi na skokową zmianę wartości sygnału zadającego

(25)

Standardowe kryteria oceny jakości sterowania

minimalizacja ustalonej (statycznej) odchyłki procesu sterowania (e_su):

I_esu = α_es|s(ku) − s_o| , min (37) minimalizacja maksymalnej odchyłki przejściowej (dynamiczna:

przeregulowania lub nadwyżki) e_sp o kierunku przeciwnym do odchyłki początkowej, określanej w procedurze o schemacie:

Iesp = αespmax

0, max

0<k<ku

[(s(k) − s0)sgn(s0− spocz)]

, min (38)

minimalizacja czasu zakończenia (traktowanego alternatywnie jako czas ustalania, pozycjonowania lub doregulowania) procesu

pozycjonowania – wyrażony przez czas dyskretny k_konc lub (w praktyce wygodniejsze) przez czas ciągły t = k_koncT_p:

I_t= α_tk_koncT_p, min (39) gdzie: αes, αesp i αt są wagami oceny, s0i spocz – położeniem zadanym i

(26)

Dodatkowe standardowe kryteria oceny jakości sterowania

W praktyce oceny prowadzone są według opcjonalnych w stosunku do podanych zależności, dodatkowych warunków i żądań – np. w sterowaniu pozycyjnym, dla zadania przestawiania:

dla odchyłki ustalonej esu z warunkami zatrzymania ruchu lub osiągnięcia czasu oceny I_esu

dla ˆv (k_u) ∩ ˆa(k_u) = 0 lub gdy k k_oc, z reguły k_oc< k_u (40) dla przeregulowania – nadwyżki e_sp: nieprzekroczenia określonej krotności odchyłki ustalonej,

esu¬ κesdop (41)

w praktyce κ ∈< 2, 5 >

(27)

Dodatkowe standardowe kryteria oceny jakości sterowania

dla czasu zakończenia procesu pozycjonowania kkonc

traktowanego jako:

czas ustalania ku(tu, Itu) - z warunkiem zatrzymania ruchu (jak poprzednio)

czas pozycjonowania kp(tp, Itp) – z warunkiem osiągnięcia dopuszczalnej wartości odchyłki położenia, |es| ¬ esdop

czas doregulowania kur(tur, Itur) – z warunkiem postoju w strefie dopuszczalnej

Itur

−−→ [ˆgdy v (ku) ∩ ˆa(ku) = 0] ∩ [|es| ¬ esdop] (42)

i oceną w czasie koc, 0 < ku, kp, kur¬ koc, ograniczonym przez długość taktu pracy napędzanego urządzenia.

(28)

Standardowe kryteria oceny jakości sterowania

Ocena jakości w oparciu o wymienione wskaźniki, jest łatwa w praktycznej realizacji, jednak pojawiają się następujące problemy:

wzajemna sprzeczność kryteriów w odniesieniu do zadań sterowania - np. żądanie większej dokładności (zmniejszenie esdop) prowadzi do wydłużenia czasu ustalania (tu).

obecność przeregulowania w warunkach przemysłowych:

w części zadań pozycjonowania w zakresie ruchów roboczych wykluczone jest pojawienie się tej odchyłki i to bez względu na pogorszenie innych wskaźników

w innych zadaniach takich jak np. ruchy dobiegowe, celowość skrócenia czasu ruchu pozwala na pewne przekroczenie wartości zadanej

przeregulowanie, będące następstwem oscylacji słabo tłumionego układu napędowego, może być wykorzystane w trakcie

uruchomieniowego (startowego), iteracyjnego strojenia nastaw,

(29)

standardowe kryteria oceny jakości sterowania

Rysunek :Ilustracja niejednoznaczności oceny jakości i optymalizacji sterowania pozycyjnego pneumatycznego napędu dławieniowego na przykładzie zależności:

a) czas ustalania tuod dopuszczalnej wartości odchyłki ustalonej esdopi obciążenia masowego mobc, b) liczba przełączeń rozdzielacza ur przeod wartości odchyłki esdop.

(30)

Standardowe kryteria oceny jakości sterowania

zróżnicowane wymagania odnośnie pracy układu napędowego w urządzeniach automatyki i robotyki

żądania o charakterze ogólnym, na przykład:

określonej powtarzalności zachowań dokładnościowych i czasowych - w warunkach zmieniających się obciążeń masowych, siłowych itd.

likwidacji pełzania - stabilizacji położenia po (chwilowym) ustaniu ruchu

zadanej podatności obciążeniowej statycznej i dynamicznej – minimalizacji wpływu zmieniających się obciążeń na odchyłkę sterowania w warunkach postoju i ruchu

żądania o charakterze funkcjonalnym, związane ze specyfiką realizacji w konkretnej technice napędowej zadań pozycyjnych (przestawianie, nadążania), siłowych, momentowych,

przyspieszeniowych itp.

(31)

Niestandardowe kryteria i wskaźniki oceny

W opisanej sytuacji różnorodności uniwersalnych kryteriów oceny jakości układu pozycyjnego, warto rozważyć zastosowanie kryteriów niestandardowych - uwzględniające specyfikę układu. Np. dla pneumatycznego dławieniowego układu pozycyjnego można stosować wskaźniki jakości pozycjonowania rozszerzone o liczbę przełączeń rozdzielacza proporcjonalnego.

(32)

Niestandardowe kryteria i wskaźniki oceny

Wskaźniki sumowe (całkowe) W technice płynowej oparto się na minimalizacji dwóch konwencjonalnych kryteriów

ITAE (ang. Integral of Time Multipled with Absolute Error )

IITAE=

k_oc

X

k=0

[k|es(k)|] , min (43)

ITSE (ang. Integral of Time with Square Error )

IITSE=

k_oc

X

k=0

[ke_s²(k)] , min (44)

(33)

Niestandardowe kryteria i wskaźniki oceny

Cechy wspólne wskaźników ITAE i ITSE

pożądane uwzględnienie podstawowych parametrów procesu sterowania napędu, tzn. czasu i odchyłki

bardzo silne dowartościowanie początkowej fazy procesu, w której wartość odchyłki jest zbliżona do wartości zadanej

Druga własność prowadzi do oceny końcowej niekorzystnej w stosunku do najbardziej istotnej dla przebiegu procesu fazy zbliżania się do wartości zadanej.

W zakresie pracy liniowej (modelu) układu napędowego znalezienie minimum ITAE i ITSE jest proste i odpowiada też spełnieniu innych kryteriów (odchyłki ustalonej, maksymalnej odchyłki przejściowej, czasu zakończenia)

w przypadku pracy nieliniowej rzeczywistego napędu związek wartości wskaźników ITAE i ITSE z minimalizacją wartości parametrów czasowych i dokładnościowych sterowania przestaje być oczywisty.

(34)

Niestandardowe kryteria i wskaźniki oceny

Wskaźniki sumowe modyfikowane zmodyfikowany wskaźnik IITAE mod1- Roth

IITAE mod1=

k_{oc mod}

X

k=0

k|s(k)| +

k_oc

X

k=koc mod

k|es(k)| , min (45)

Czas podziału koc mod jest wyliczany ze wzmocnienia w torze głównym układu sterowania pozycyjnego: koc mod= 1/(ksCm) (k_s= k_{x 1}w przypadku sterowania ze sprzężeniem zwrotnym od zmiennych stanu)

Wskaźnik IITAE mod1sprawdza się tylko w przypadku obiektów o dużym czasie opóźnienia i silnie aperiodycznym zachowaniu.

(35)

Niestandardowe kryteria i wskaźniki oceny

Wskaźniki sumowe modyfikowane zmodyfikowany wskaźnik IITAE mod2- Enger

IITAE mod2=

k_oc

X

k=k_{oc mod}

(k − koc mod)²|es(k)| , min (46)

Z całkowitym wycięciem fazy początkowej przebiegu i liczeniem wartości wskaźnika wg przyjętego funkcjonału dopiero po czasie koc mod(koc mod< koc) osiągnięcia przez odpowiedź skokową układu pozycyjnego maksymalnej wartości przemieszczenia (so+ esp max) Wskaźnik I_{ITAE mod2}ograniczony jest do przypadku słabo tłumionych zachowań układu napędowego i wyraźnym przeregulowaniu, będącym warunkiem rozpoczęcia liczenia (mija się z wymaganiami praktycznymi).

(36)

Niestandardowe kryteria i wskaźniki oceny

Rysunek :Optymalizacja układu pozycyjnego z wykorzystaniem wskaźników sumowych (na przykładzie sterowania pozycyjnego pneumatycznego napędu dławieniowego).

(37)

Niestandardowe kryteria i wskaźniki oceny

Wskaźniki sumowe - nowe modyfikacje

wskaźnik jednokryterialny I_IAED - w postaci różnicy wartości odpowiedzi układu regulowanego (zamkniętego) i układu nieregulowanego (otwartego) e_s(o−z)(k) - dla początkowej fazy przebiegu procesu sterowania, tzn. aż do czasu k_{oc otw} określonego osiągnięciem wartości zadanej (np. przemieszczenia s_o ) przez odpowiedź układu napędowego przy pełnym wysterowaniu

koc otw : |sotw− so| = 0 (47) i następnie - aż do czasu oceny koc- przez wskaźnik

IIAED=

k_{oc otw}

X

k=0

k|e_s(o−z)(k)| +

k_oc

X

k=koc otw

k|es(k)| , min (48)

(38)

Niestandardowe kryteria i wskaźniki oceny

Rysunek :Ilustracja oceny jakości układu pozycyjnego z wykorzystaniem wskaźnika IIAED (na przykładzie sterowania pozycyjnego pneumatycznego napędu dławieniowego) - a) odpowiedź z przeregulowaniem i oscylacjami, b) odpowiedź aperiodyczna.

(39)

Niestandardowe kryteria i wskaźniki oceny

Istotą kryterium IAED (ang. Integral of Absolute Real and Standard Error Difference) jest ocena zachowania zamkniętego układu pozycyjnego względem standaryzowanego - przez ograniczenie jego przemieszczenia do wartości zadanej s_o - zachowania układu otwartego (odniesienia);

kryterium spełnia podstawowe wymagania praktyczne dotyczące oceny jakości sterowania pozycyjnego układów napędowych :

pozwala oceniać zachowanie regulowanego układu napędowego względem równoważnego napędu standardowego (przełączalnego), uwzględnia ograniczenia energetyczne wykorzystywanego napędu i prowadzi do optymalnego - w danej realizacji - działania układu pozycyjnego,

różnicuje oceny jakości dla różnych wariantów i nastaw sterowania, przebieg odniesienia (zachowanie układu nieregulowanego,

otwartego) może być tworzony zarówno analitycznie (symulacyjnie), jak i poprzez eksperyment uruchomieniowy.

(40)

Niestandardowe kryteria i wskaźniki oceny

Wskaźniki sumowe - nowe modyfikacje

wskaźnik wielokryterialny ISETOC - w postaci ważonej sumy wskaźników np. (odchyłki ustalonej, maksymalnej odchyłki przejściowej, czasu zakończenia) z ewentualnymi funkcjonalnymi wskaźnikami uzupełniającymi charakterystycznymi dla danego napędu, np. dla napędu pneumatycznego

I_SETOC= α_esuI_esu+ α_espI_esp+ α_tuI_tu+ α_{ur prze}I_{ur prze}, min (49) Zapewnia to proporcjonalny, zróżnicowany przez poszczególne współczynniki wagowe, wpływ poszczególnych kryteriów na końcową ocenę; wymaga doboru wartości wag, np. dla napędu pneumatycznego pomyślne wyniki optymalizacji uzyskano po przyjęciu wartości wag: αesu= 1, 0/µm, αesp= 0, 2/µm, αtu= 0, 1/ms oraz αur prze= 2, 0.

(41)