Wykład z Podstaw matematyki dla studentów Inżynierii Środowiska Wykład 3. ANALIZA FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ

1

Wykład z Podstaw matematyki dla studentów Inżynierii Środowiska Wykład 3.

ANALIZA FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ

Definicja (funkcja)

Niech zbiory X Y,  będą niepuste. Funkcją określoną na zbiorze X o wartościach w zbiorze Y

nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi xX dokładnie jednego elementu yY . Funkcję taką oznaczamy przez f X: Y. Wartość funkcji f w punkcie x oznaczamy przez f(x).

Definicja (dziedzina, przeciwdziedzina, zbiór wartości)

Niech f X: Y. Wtedy zbiór X nazywamy dziedziną funkcji f i oznaczamy przez D_f , a zbiór Y nazywamy jej przeciwdziedziną. Ponad to zbiór

{ ( )f x Y x: D_f}

nazywamy zbiorem wartości funkcji. Jeżeli dany jest tylko wzór określający funkcję, to zbiór tych elementów z , dla których wzór ten ma sens nazywamy dziedziną naturalną funkcji.

Przykład

Określić dziedziny naturalne podanych funkcji

2 4

a) ( )f x log (x 1); b) ( )f x  1 2 sin .x

Definicja (wykres funkcji)

Wykresem funkcji f X: Y nazywamy zbiór {( , )x y  ²:xX y,  f x( )} Wtedy zbiór X nazywamy dziedziną funkcji f i oznaczamy przez D_f , a zbiór Y

Wykres funkcji Nie jest to wykres funkcji

2 Definicja (funkcja „na”)

Funkcja f odwzorowuje zbiór X na zbiór Y, co notujemy :

na

f XY, wtedy i tylko wtedy gdy : ( ) .

y Y x X f x y

    

Geometrycznie funkcja f X: Y jest „na”, gdy rzut prostokątny jej wykresu na oś OY pokrywa się ze zbiorem Y.

Definicja (funkcja okresowa)

Funkcja f X:  jest okresowa, jeżeli ^{   T 0 x X x T}



^{ X oraz (f x T ) f x( ) .}



^{Liczbę T}

nazywamy okresem funkcji f. Najmniejszy okres funkcji f nazywamy okresem podstawowym.

: ( ) . y Y x X f x y

    

Definicja (funkcja parzysta)

Funkcja f X:  jest parzysta, jeżeli   x, x X f( x) f x( ). Funkcja jest parzysta, gdy oś OY jest osią symetrii jej wykresu.

Definicja (funkcja nieparzysta)

Funkcja f X:  jest nieparzysta, jeżeli   x, x X f(  x) f x( ). Funkcja jest nieparzysta, gdy początek układu współrzędnych jest środkiem symetrii jej wykresu.

Definicja (funkcja rosnąca)

Funkcja f jest rosnąca na zbiorze AD_f , jeżeli x x1, 2A



(x1x2)( ( )f x1  f x( 2)) .



Definicja (funkcja malejąca)

Funkcja f jest malejąca na zbiorze AD_f , jeżeli x x1, 2A



(x1x2)( ( )f x1  f x( 2)) .



Definicja (funkcja nierosnąca i niemalejąca)

3 Funkcja f jest na zbiorze AD_f

1) niemalejąca, jeżeli x x1, 2A



(x1 x2)( ( )f x1  f x( 2)) ;



2) nierosnąca, jeżeli x x1, 2A



(x1x2)( ( )f x1  f x( 2)) .



Definicja (funkcja monotoniczna)

Funkcja jest monotoniczna na zbiorze, jeżeli jest rosnąca, malejąca, nierosnąca lub niemalejąca na tym zbiorze.

Definicja (funkcja złożona)

Niech zbiory X Y Z W, , ,  będą niepuste, przy czym Y Z oraz niech f :X Y g Z, : W. Złożeniem funkcji g i f nazywamy funkcję g f X: W określoną wzorem

(g f)( )x g f x( ( )), dla xX. Uwaga

Składanie funkcji nie jest przemienne.

Przykład

Określić funkcje złożone f f f, g g, f g g f x, , ( )2 , ( )^x g x cos .x

4 Definicja (funkcja różnowartościowa)

Funkcja f jest różnowartościowa, gdy każda prosta pozioma przecina jej wykres w co najwyżej w jednym punkcie.

Definicja (funkcja odwrotna)

Niech funkcja :

na

f XY będzie różnowartościowa na dziedzinie. Funkcją odwrotną do funkcji f nazywamy funkcję f^1:Y X określoną przez warunek

1( ) ( ), gdzie , .

f^ y   x y f x xX yY

Uwaga

Wykres funkcji odwrotnej f^1 otrzymujemy z wykresu funkcji f odbijając go symetrycznie względem prostej y=x.

Funkcje elementarne

 Funkcje hiperboliczne: 1) sinus hiperboliczny sh , gdzie , 2

x x

e e

x x

 

 

2) cosinus hiperboliczny ch , gdzie , 2

x x

e e

x x

 

 

3) tangens hiperboliczny sh

th , gdzie ,

ch

x x x

 x 

4) kotangens hiperboliczny ch

cth , gdzie .

sh

x x x

 x 

5 Fakt (podstawowe tożsamości z funkcji hiperbolicznymi)

1. ch²xsh²x1, dla każdego x ; 2. sh 2x2 hs x ch , dla każdego x x ; 3. ch 2xsh²xch²x, dla każdego x ; Definicja (sąsiedztwa punktu)

1) Sąsiedztwo o promieniu r>0 punktu x₀

0 0 0 0 0

( , ) ( , ) ( , ).

S x r  x r x  x x r

2) Sąsiedztwo lewostronne S x r_( , )₀ (x₀ r x, ₀).

3) Sąsiedztwo prawostronne S x r_( , )₀ ( ,x x_{0 0}r).

Definicja (Heinego granicy właściwej w punkcie)

Niech x₀ oraz niech funkcja f będzie określona przynajmniej na sąsiedztwie S x( ₀). Liczba g jest granicą właściwą funkcji f w punkcie x₀, co zapisujemy

0

lim

( )

x x

f x g



 , wtedy i tylko wtedy, gdy

0 0

( ){ } ( ) (

lim

( ) ) (

lim

( ) ) .

n n

n n n n

x x S x f x x f x g

 

 

      

Obrazowo: funkcja f ma w punkcie x₀ granicę właściwą g, gdy jej wartości odpowiadające argumentom dążącym do x₀ dążą do liczby g.

Definicja (Heinego granicy niewłaściwej w punkcie)

Niech x₀ oraz niech funkcja f będzie określona przynajmniej na sąsiedztwie S x( ₀). Funkcja f ma granicę niewłaściwą w punkcie x₀, co zapisujemy

0

lim

( )

x x

f x



 , wtedy i tylko wtedy, gdy

0 0

( ){ } ( ) (

lim

( ) ) (

lim

( ) ) .

n n

n n n n

x x S x f x x f x

 

 

       

Twierdzenie (o arytmetyce granic funkcji)

6 Jeżeli funkcje f i g mają granice właściwe w punkcje x₀, to 1)

0 0 0

( ( ) ( )) ( ) ( );

lim lim lim

x x x x x x

f x g x f x g x

  

   2)

0 0 0

( ( ) ( )) ( ) ( );

lim lim lim

x x x x x x

f x g x f x g x

  

  

3)

0 0

( ) ( );

lim lim

x x x x

cf x c f x

 

 gdzie c ; 4)

0 0 0

( ( ) ( )) ( ) ( ) ;

lim lim lim

x x x x x x

f x g x f x g x

  

   

    

   

5) ⁰

0

0

( ) ( )

( ) ,

( ) ( )

lim

lim lim

x x

x x

x x

f x f x

g x g x







 o ile

0

( ) 0;

lim

x x

g x



 6) ⁰

0 0

( ) ( )

lim

( ( )) ( ) .

lim lim

x x

x x x x

g x

f x g x f x ^

 

 

  

 

Uwaga

Podobnie jak dla ciągów, symbole

   0 0 0





1^ ⁰ 0 ⁰

nazywamy wyrażeniami nieoznaczonymi. Ich wartości zależą od postaci funkcji je tworzących.

Przykład

Obliczyć podane granice

a)

5

1 2 5 ;

lim

x

x

 x

 

 ^{b) 2} ;

lim

1

x

x x

  ^c)

( 2 1 );

lim

x

x x x



  d)

0

2 1 ln

2 .

lim

x

x x

 

  

 

 

Fakt (granice podstawowych wyrażeń nieoznaczonych)

0

sin 1

lim

x

x

 x



0

tg 1

lim

x

x

 x



0

1 ln , 0

lim

x

ax

x a a



   1

lim

1

x

x

x e



   

 

 

 

0

1

lim

1

x

x x e



 

0

ln(1 )

lim

1

x

x

 x

 

0

arcsin

lim

1

x

x

 x



0

arctg

lim

1

x

x

 x



Przykład

Obliczyć podane granice

a)

0

sin 7 sin 5 ;

lim

x

x

 x

b)

7 2 1 2

2

2 5

2 7 .

lim

x

x x

 x

   

  

 

7

ASYMPTOTY FUNKCJI Definicja (asymptota pionowa lewostronna)

Prosta xa jest asymptotą pionową lewostronną funkcji f jeżeli:

( ) albo ( ) .

lim lim

x a x a

f x f x

 

 

   

Podobnie definiuje się asymptotę pionową prawostronną.

Definicja (asymptota pionowa obustronna)

Prosta jest asymptotą pionową obustronna, gdy jest jednocześnie asymptotą pionową lewostronną i prawostronną

Fakt (o lokalizacji asymptot pionowych funkcji)

Funkcja może mieć asymptoty pionowe jedynie w skończonych krańcach dziedziny, które do niej nie należą (w punktach nie należących do dziedziny poza i   )

Przykład

Wyznaczyć asymptoty pionowe podanych funkcji a)

1

( ) ^x; f x e b)

3 1

( ) 1

f x x x

 



8 Definicja (asymptota ukośna funkcji)

Prosta y AxB jest asymptotą ukośną funkcji f w  wtedy i tylko wtedy, gdy jeżeli:

 

( ) oraz B= ( ) .

lim lim

x x

A f x f x Ax

 x 

 

Fakt (warunek istnienia asymptot poziomych)

Prosta yB jest asymptotą poziomą funkcji f w B=

lim

( ).

x

f x



 

Uwaga

Analogicznie wyglądają warunki istnienia asymptot w .

Uwaga

Jeżeli funkcja posiada asymptotę poziomą, to nie posiada ukośnych.

Przykład

Znaleźć asymptoty poziome i ukośne funkcji a) ( ) ; 1 f x x

 x

 ^b)

3

2

( ) 8

4 f x x

x

 

 Definicja (funkcja ciągła w punkcie)

Niech x₀ oraz niech funkcja f będzie określona przynajmniej na otoczeniu O x( ₀). Funkcja f jest ciągła w punkcie x₀ wtedy i tylko wtedy, gdy

0 0

( ) ( ) ( 0).

lim lim

x x x x

f x f x f x

 

 

 

9

Funkcja ciągła w punkcie Funkcja nieciągła w punkcie

Obrazowo: funkcja jest ciągłą w punkcie, gdy jej wykres nie „przerywa” się w tym punkcie.

Przykład

Zbadać ciągłość funkcji

2 1

dla 1 1

( ) .

2 dla 1

x x

x f x

x

  

  

 



Przykład

Dobrać parametry a b,  tak, aby funkcja

sin dla 1

( ) .

x+b dla 1

x x

f x ax

x

 

 

 



była ciągła.

Definicja (funkcja ciągła na zbiorze)

Funkcja jest ciągła na zbiorze, gdy jest ciągła w każdym punkcie tego zbioru.

10 Nieciągłość funkcji

Nieciągłość typu „skok” Nieciągłość typu „luka”

0 0

( ) ( ).

lim lim

x x x x

f x f x

 

 



0 0

( ) ( ) ( 0).

lim lim

x x x x

f x f x f x

 

 

 

Twierdzenie (o ciągłości sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu funkcji) Jeżeli funkcje f i g mają granice właściwe w punkcje x₀, to

Jeżeli funkcje f i g są ciągłe w punkcie x₀, to funkcje , , , f f g f g f g

   g (o ile g x( ₀)0) są ciągłe w punkcie x₀.