Ekoenergetyka Matematyka 1. Wykład 7. ANALIZA FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ

(1)

1

Ekoenergetyka Matematyka 1. Wykład 7.

ANALIZA FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ

Definicja (funkcja)

Niech zbiory X Y,  będą niepuste. Funkcją określoną na zbiorze X o wartościach w zbiorze Y

nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi xX dokładnie jednego elementu yY. Funkcję taką oznaczamy przez f X: Y. Wartość funkcji f w punkcie x oznaczamy przez f(x).

Definicja (dziedzina, przeciwdziedzina, zbiór wartości)

Niech f :X Y. Wtedy zbiór X nazywamy dziedziną funkcji f i oznaczamy przez D_f , a zbiór Y nazywamy jej przeciwdziedziną. Ponad to zbiór

{ ( )f x Y x: D_f}

nazywamy zbiorem wartości funkcji. Jeżeli dany jest tylko wzór określający funkcję, to zbiór tych elementów z , dla których wzór ten ma sens nazywamy dziedziną naturalną funkcji.

Przykład

Określić dziedziny naturalne podanych funkcji

2 4

a) ( )f x log (x 1); b) ( )f x  1 2 sin .x

Definicja (wykres funkcji)

Wykresem funkcji f X: Y nazywamy zbiór {( , )x y  ²:xX y,  f x( )} Wtedy zbiór X nazywamy dziedziną funkcji f i oznaczamy przez D_f , a zbiór Y

Wykres funkcji Nie jest to wykres funkcji

(2)

2 Definicja (funkcja „na”)

Funkcja f odwzorowuje zbiór X na zbiór Y, co notujemy :

na

f XY , wtedy i tylko wtedy gdy : ( ) .

y Y x X f x y

    

Geometrycznie funkcja f X: Y jest „na”, gdy rzut prostokątny jej wykresu na oś OY pokrywa się ze zbiorem Y.

Definicja (funkcja okresowa)

Funkcja f :X  jest okresowa, jeżeli ^{   }^T ⁰ ^x ^{X x T}



^{ }^X^{oraz (}^{f x T}^ ⁾^ ^{f x}^{( ) .}



^{Liczbę T}

nazywamy okresem funkcji f. Najmniejszy okres funkcji f nazywamy okresem podstawowym.

Definicja (funkcja parzysta)

Funkcja f :X  jest parzysta, jeżeli   x, x X f( x) f x( ). Funkcja jest parzysta, gdy oś OY jest osią symetrii jej wykresu.

Definicja (funkcja nieparzysta)

Funkcja f :X  jest nieparzysta, jeżeli   x, x X f(  x) f x( ). Funkcja jest nieparzysta, gdy początek układu współrzędnych jest środkiem symetrii jej wykresu.

Definicja (funkcja rosnąca)

Funkcja f jest rosnąca na zbiorze AD_f , jeżeli x x1, 2A



(x1 x2)( ( )f x1  f x( )) .2



Definicja (funkcja malejąca)

Funkcja f jest malejąca na zbiorze AD_f , jeżeli x x1, 2A



(x1 x2)( ( )f x1  f x( )) .2



Definicja (funkcja nierosnąca i niemalejąca)

Funkcja f jest na zbiorze A D_f

(3)

3

1) niemalejąca, jeżeli x x1, 2A



(x1 x2)( ( )f x1  f x( )) ;2



2) nierosnąca, jeżeli x x1, 2A



(x1 x2)( ( )f x1  f x( )) .2



Definicja (funkcja monotoniczna)

Funkcja jest monotoniczna na zbiorze, jeżeli jest rosnąca, malejąca, nierosnąca lub niemalejąca na tym zbiorze.

Definicja (funkcja złożona)

Niech zbiory X Y Z W, , ,  będą niepuste, przy czym Y Z oraz niech f X: Y g Z, : W. Złożeniem funkcji g i f nazywamy funkcję g f :X W określoną wzorem

(g f)( )x  g f x( ( )), dla xX.

Uwaga

Składanie funkcji nie jest przemienne.

(4)

4 Przykład

Określić funkcje złożone f f f, g g, f g g f x, , ( )2 , ( )^x g x cos .x Definicja (funkcja różnowartościowa)

Funkcja f jest różnowartościowa, gdy każda prosta pozioma przecina jej wykres w co najwyżej w jednym punkcie.

Definicja (funkcja odwrotna)

Niech funkcja :

na

f X Y będzie różnowartościowa na dziedzinie. Funkcją odwrotną do funkcji f nazywamy funkcję f ^¹:Y  X określoną przez warunek

1( ) ( ), gdzie , .

f^ y   x y f x xX yY

Uwaga

Wykres funkcji odwrotnej f^¹ otrzymujemy z wykresu funkcji f odbijając go symetrycznie względem prostej y=x.

Funkcje elementarne

 Funkcje hiperboliczne: 1) sinus hiperboliczny sh , gdzie , 2

x x

e e

x x

 

 

2) cosinus hiperboliczny ch , gdzie , 2

x x

e e

x x

 

 

(5)

5 3) tangens hiperboliczny sh

th , gdzie ,

ch

x x x

 x  4) kotangens hiperboliczny ch

cth , gdzie .

sh

x x x

 x 

Fakt (podstawowe tożsamości z funkcji hiperbolicznymi) 1. ch²xsh²x1, dla każdego x ;

2. sh 2x2 hs x ch , dla każdego x x ; 3. ch 2xsh²xch²x, dla każdego x ;