Wzór interpolacyjny Czebyszewa ( Wielomiany Czebyszewa )

(1)

Interpolacja funkcji

(2)

Interpolacja

Wielomianowa Splajny

Trygonometryczna Lagrange’a

Newtona (wzór I )

Newtona (wzór II )

Czebyszewa

(3)

Wzór interpolacyjny Czebyszewa ( Wielomiany Czebyszewa )

Załóżmy, że wartości argumentów funkcji

interpolowanej mieszczą się w przedziale [-1, 1].

Postulat ten nie ogranicza możliwości wykorzystania wzoru interpolacyjnego Czebyszewa, ponieważ

dowolny przedział argumentów [a, b] poprzez podstawienie

2 2

a b b a

x

^∗

= + + − x

(4)

Przykład:

0

4,

1

6,

2

7,

3

10 x

^∗

= x

^∗

= x

^∗

= x

^∗

=

Zbiór węzłów:

po podstawieniu:

2 2 7 3 a b b a

x

^∗

= + + − x = + x

sprowadza się do zbioru:

0 1 2 3

1, 1 , 0, 1

x = − x = − 3 x = x =

(5)

Funkcje bazowe (tzw. bazę Czebyszewa) stanowi zbiór wielomianów określonych wzorem rekurencyjnym:

0 1

1 1

( ) 1 , ( ) ,

( ) 2 ( ) ( )

k k k

T x

T x x

T

₊

x x T x T

₋

x

=

= ⋅ ⋅ −

(6)

Kilka pierwszych funkcji bazowych określonych wzorem rekurencyjnym wygląda następująco:

0 1

2 2

3 3

4 2

( ) 1 ( )

( ) 2 1 ( ) 4 3

( ) 8 8 1

T x

T x x

T x x x

=

= −

= − +

(7)

Współczynniki wzoru interpolacyjnego Czebyszewa wynikają z układu równań:

0 0 1 0 0 0 0

0 1 1 1 1 1 1

0 1

( ) ( ) ( )

n n

n n n n n n

T x T x T x a y

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⋅ =

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(8)

Przykład:

Dla zbioru punktów (węzłów) : (-0.5, 0.25), (0, 0), (1, 1) wyznaczyć wielomian interpolacyjny Czebyszewa.

Jest to wielomian stopnia drugiego w postaci:

0 0 1 1 2 2

( ) ( ) ( ) ( )

W x = a T x + a T x + a T x

czyli:

2

0 1 2

( ) ( 2 1)

W x = a + a x + a x −

(9)

Przykład c.d. :

Układ równań sprowadza się do następującego:

0 1 2

1 0.5 0.5 0.25

1 0 1 0

1 1 1 1

a a a

− −

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

⎢ − ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⋅ = ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

0

0.5,

1

0,

2

0.5 a = a = a =

skąd otrzymujemy:

2 2

( ) 0.5 0.5 ( 2 1)

W x = + ⋅ x − = x

(10)

UWAGA !

Przy dowolnym doborze węzłów

błąd zaokrągleń związanych z procedurą odwracania macierzy X jest istotnie mniejszy niż w przypadku

interpolacji wielomianami w postaci naturalnej.

, 0, 1, ... , , [ 1, 1]

i i

x i = n x ∈ −

(11)

( 2 1)

cos , 0, 1, ... ,

2 2

i

x i i n

n

π

= + =

+

oraz nieco zmodyfikowanej bazy

2 3

1 , , 2 1, 4 3 , ...

2 x x x x

⎡ ⎤

Φ = ⎢ ⎣ − − ⎥ ⎦

prowadzi do macierzy X , dla której macierz odwrotną można obliczyć w bardzo prosty sposób

1

2

T

−

=

(12)

Wielomianem interpolacyjnym w tym przypadku będzie więc suma w postaci:

0 0 1 1 2 2 3 3

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ...

W x = a T x + a T x + a T x + a T x +

czyli:

(

²

) (

³

)

0

1 2 3

( ) 2 1 4 3 ...

2 W x = a + a x + a x − + a x − x +

zawierająca n+1 nieznanych parametrów.

(13)

Przykład:

W przedziale [-1, 1] wybieramy cztery węzły interpolacji:

x₀ , x₁ , x₂ , x₃ ( n = 3 ) w ten sposób, że

Otrzymujemy:

( 2 1) ( 2 1)

cos cos

2 2 8

i

i i

x n

π π

+ +

= =

+

0

0.924 ,

1

0.383 ,

2

0.383 ,

3

0.924 x = x = x = − x = −

(14)

Załóżmy, że wartości funkcji f(x) w tych węzłach wynoszą:

0

2.224 ,

1

1.701 ,

2

3.885 ,

3

6.19 y = y = y = y =

Bazę interpolacji stanowi zbiór wielomianów:

0

1

2 2

( ) 1 , 2 ( ) ,

( ) 2 1 , T x

T x x

=

= −

(15)

Macierz X:

0.707 0.924 0.707 0.383 0.707 0.383 0.707 0.924 0.707 0.383 0.707 0.924 0.707 0.924 0.707 0.383 X

⎡ ⎤

⎢ − − ⎥

⎢ ⎥

= ⎢ − − ⎥

⎢ − − ⎥

⎣ ⎦

(16)

Macierz odwrotna:

1 T

0.345 0.354 0.354 0.354 0.462 0.191 0.191 0.462 1

0.354 0.354 0.354 0.354 2

0.191 0.462 0.462 0.191 X

⁻

X

⎡ ⎤

⎢ − − ⎥

⎢ ⎥

= =

− −

⎢ ⎥

⎢ − − ⎥

⎣ ⎦

(17)

skąd po obliczeniu otrzymujemy wartości współczynników:

0

4.95,

1

2.25,

2

1,

3

0.25 a = a = − a = a =

Postać wielomianu jest następująca:

2 3

( ) 4.95 1 2.25 ( 2 1) 0.25( 4 3 )

W x = 2 − x + x − + x − x

Po uproszczeniu otrzymujemy:

3 2

( ) 2 3 2.5

W x = x + x − x +

(18)

Interpolacja trygonometryczna

Rozważać będziemy ciągłą i okresową funkcję f(x) o okresie 2π , dla której znamy zbiór jej wartości w 2n+1 węzłach.

Jako bazę interpolacji przyjmujemy zbiór funkcji trygonometrycznych:

1 , sin( ), cos( ), sin(2 ), cos(2 ), , sin(n ), cos(n )

2 x x x x x x

⎡ ⎤

Φ = ⎢⎣ … ⎥⎦

(19)

Wielomianem interpolacyjnym w tym przypadku będzie więc suma w postaci:

0

1 1

2 2

( ) sin( ) cos( ) 2

sin(2 ) cos(2 ) sin(n ) cos(n )

n n

W x a b x a x

b x a x

= + + +

+ + + +

+ +

…

zawierająca 2n+1 nieznanych parametrów.

(20)

Najbardziej istotny dla praktyki jest przypadek interpolacji funkcji określonej na zbiorze

równoodległych węzłów

x

_i

∈ [ 0, 2 ] π

dobranych w następujący sposób:

2 , 0, 1, ... , 2

2 1

i

x i i n

n

= π =

+

czyli:

0 1 2

2 4

0 , , ... ,

2 1

ⁿ

2 1

x x x n

n n

π π

= = =

+ +

(21)

0 0

1 1 1 1 1 1

2 2 2 2

1 0 1 ... 0 1

2

1 sin( ) cos( ) ... sin( ) cos( ) 2

... ... ... ... ... ...

1 sin( ) cos( ) ... sin( ) cos( ) 2

n n

n n n n

a y

x x nx nx b y

a y

x x nx nx

⎡ ⎤

⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⋅ =

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎢ ⎥

⎣ ⎦

Współczynniki pierwszego wiersza macierzy X

wynikają z wartości funkcji sin(kx) i cos(kx) dla x =0.

(22)

Przedstawiony układ równań dla odpowiednio dobranych węzłów interpolacji rozwiązuje się

natychmiastowo, ponieważ macierz odwrotną można obliczyć w bardzo prosty sposób:

1

2

T

2 1

X X

n

−

=

+

(23)

Przykład:

Zbiór następujących węzłów przybliżyć wielomianem trygonometrycznym (n=3):

1 2 3 4 5 6 7

x 0 0,898 1,795 2,693 3,590 4,488 5,386 y 0 5,478 9,344 11,598 12,242 11,274 8,695

Współrzędne „ x ” dla węzłów obliczono ze wzoru:

2

i

x ₌ i

π

+

(24)

Bazę interpolacji stanowi zbiór funkcji:

1 , sin( ), cos( ), sin(2 ), cos(2 ), sin(3 ), cos(3 )

2 x x x x x x

⎡ ⎤

Φ = ⎢⎣ ⎥⎦

(25)

Tworzymy macierz X , której postać wynikowa jest następująca :

0.707 0 1 0 1 0 1

0.707 0.782 0.623 0.975 0.223 0.434 0.901 0.707 0.975 0.223 0.434 0.901 0.782 0.623 0.707 0.434 0.901 0.782 0.623 0.975 0.223 0.707 0.434 0.901 0.782 0.623 0.975 0.223 0.707 0.975 0.223 0.434 0.901 0.782 0

X

− −

− − − −

= − − −

− − − −

− − − .623

0.707 0.782 0.623 0.975 0.223 0.434 0.901

⎡ ⎤

⎢ ⎥

⎢ − − − − − ⎥

⎣ ⎦

(26)

Elementy macierzy X mnożymy przez 2 / 7,

otrzymaną macierz transponujemy i obliczamy współczynniki wzoru interpolacyjnego: