WIELOMIANY – RÓWNANIA i NIERÓWNOŚCI
I. WIELOMIANY RÓWNE.TWIERDZENIA O DZIELENIU Z RESZTĄ.
1. Wiedząc, że 2 i 3 są pierwiastkami wielomianu W (x) = 2x3 + ax2 − 13x + b znajdź a i b oraz trzeci pierwiastek tego wielomianu.
2.R Wykaż, że dla n ∈ N wielomian
W(x) = (x − 2)2n+ (x − 1)n− 1 jest podzielny przez wielomian (x − 1)(x − 2).
3.R Dany jest wielomian W (x) = nx3− (n + 1)x2− (n + 2)x + (n + 3), gdzie n ∈ N+. Udowodnij, że wielomian ten ma zawsze trzy pierwiastki rzeczywiste, w tym conajmniej jeden całkowity.
II. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI. ROZKŁAD WIELOMIANU NA CZYNNIKI 1. Rozwiąż równania:
a) x3− 2x2 − 4x + 8 = 0, b) x3+ 5x2+ 3x − 9 = 0, c)R 4x4+ x2− 3x + 1 = 0, d)R x3− 7x = |4x2− 10|.
2. Uzasadnij, że liczba 2 jest pierwiastkiem wielomianu
W(x) = x3 + (2p − 1)x2− (3p + 2)x − 2p dla każdego p ∈ R.
3. Rozwiąż nierówności:
a) (x − 1)2(x + 2)3(x − 3)4(x − 2)3 ¬ 0, b) (2x − 1)2(2 − 3x)3(3x + 1)(2 − x)3 ¬ 0, c) R |x3− 3x| 2,
d) R 2x3− x2 + x −1 3 0.
1
