O pewnej hipotezie L. Jeśmanowicza dotyczącej liczb pitagorejskicli

SERIA I: PRACE MATEMATYCZNE V (1961)

T. JÓZEFIAK (Toruń)

O pewnej hipotezie L. Jeśmanowicza dotyczącej liczb pitagorejskicli

W pracy [1] W. Sierpiński dowiódł, że jedynym rozwiązaniem rów­

nania Зж+ ±v — 5S w liczbach całkowitych dodatnich x , у , z jest x = y — z =

= 2. W związku z tym L. Jeśmanowicz w [2] wypowiedział hipotezę, że dla dowolnych całkowitych dodatnich liczb a ,b ,c ,x ,y , 2, jeżeli a2 + b2=

= c2 i ax -\-bv — cz, to x = у — z — 2, i sprawdził prawdziwość swej hi­

potezy dla równań 5*+ 1 2w = 13s, 7x+ 2 4 y = 25% 9* + 40y = 41%

11*+ 60y = 613.

W pracy [3] Ko Chao dowiódł, że równanie axĄ- bv — cz dla a = 2 w + l , b = 2n(n-\-l), c = 2n{n-\-l)Ą-l nie ma poza co = у = z = 2 rozwiązań w liczbach całkowitych dodatnich, jeżeli 1° n .-= 1, 4, 5, 9 , 1 0 (mod 12), 20 n ~ l(mod2) i istnieje liczba pierwsza p oraz liczba całkowita dodat­

nia s takie, że 2 w + l = ps, 30 п ф 3(mod4) i istnieje taka liczba pierwsza p = 3(mod4), że 2 w + l = O(modp).

Celem niniejszej pracy jest wykazanie, że równanie ax-\-bv = cz dla a = 22rp2s —1, b = 2r+1 ps, c = 22rp2s-\-l, gdzie r i s są liczbami cał­

kowitymi dodatnimi, a p liczbą pierwszą, nie ma rozwiązań w liczbach całkowitych dodatnich poza x — у — z — 2. Łatwo zauważyć, że rozpa­

trzona przeze mnie klasa liczb pit agorę jskich nie zawiera liczb rozważanych w [3].

L^{e m a t} 1. Jeżeli

(1) a = 22rf s- l , b — 2r+1ts, c = 2 2rf * + l ,

gdzie r, s są dowolnymi liczbami całkowitymi dodatnimi, t jest liczbą niepa­

rzystą oraz x, у , z są liczbami całkowitymi dodatnimi i axĄ-bv — cz1 U) x jest liczbą parzystą.

D o w ó d . Keszty z dzielenia liczb a, b, c przez 2r+1f są odpowiednio równe —1 , 0 , 1 , a więc reszta z dzielenia ax + bv przez 2r+1f wynosi ( — 1)ж, a z dzielenia cz przez 2r+1f wynosi 1. Bóżnica tych reszt musi być po­

dzieliła przez 2r+1ts, co zachodzi tylko dla x parzystego, c. n. d.

Le m a t 2. Jeżeli liczby a, b, c są kształtu (1), k , y , z są liczbami cał­

kowitymi dodatnimi, у + 2 oraz a2k + bv = cz, to z jest liczbą parzysta

120 T. J ó z e f i a k

D o w ó d . Przypuśćmy, że z jest liczbą nieparzystą. Ponieważ

= •tis- 2 2r+1f s+ l , b2 = 22r+2f s, o2 = 2ir? " + 2 2r+1t2s+ l , przeto reszty z dzielenia liczb a*,b2, c2 przez 22r+1t2s są odpowiednio równe 1 , 0 , 1 . Beszta z dzielenia a2k+ b v, gdzie у ^ 2, przez 22r+1f'4 wynosi 1, reszta zaś z dzielenia cz przez 22r+1f s wynosi 22rt2s+ 1. Bóżnica tych reszt nie jest podzielna przez 22r+1t2s, więc z nie może być liczbą nieparzystą, c. n. d.

Le m a t 3 . Wyrażenie

W = (22rp2Sjr l f — {22rp2s—l)k,

gdzie r , s , l , k są liczbami całkowitymi dodatnimi, a p jest liczbą pierwszą nieparzystą, jest postaci 22rp28d dla к parzystego i postaci 22rp2se + 2 dla к nieparzystego, gdzie d i e są pewnymi liczbami całkowitymi.

D o wód. Stosując wzór dwumianowy Newtona stwierdzamy bez trudu, że gdy к jest parzyste, to obie jedynki występujące w wyrażeniu W zniosą się i będziemy mogli wynieść 22rp2s przed nawias, skąd W = 22rp2Hd, gdzie d jest pewną liczbą całkowitą. Dla к nieparzystego obie jedynki występują ze znakiem plus, wobec czego W — 22rp2seJr 2, gdzie e jest pewną liczbą całkowitą.

Tw i e r d z e n i e. Jeżeli

(2) a = 22V S—1, b = 2r+1ps, с = 2 * У Ч 1 ,

gdzie r i s są liczbami całkowitymi dodatnimi, a p jest liczbą pierwszą, to x = у = z = 2 jest jedynym rozwiązaniem równania ax-\-bv — <? w licz­

bach całkowitych.

D o w ó d . Najpierw udowodnimy twierdzenie dla p -- 2, a więc dla liczb kształtu

a = 22q- l , b — 2q+1, c = 22q+ l ,

gdzie q jest dowolną liczbą całkowitą dodatnią. Przede wszystkim wykaże­

my, że równanie ax-\-bv = cz nie ma rozwiązań w liczbach całkowitych dodatnich x, z dla у — 1.

* Jeżeli q ^ 2, to reszta z dzielenia liczb a, b, c przez 2q+2 wynosi od­

powiednio —1,2®+1,1. Wobec tego reszta z dzielenia axĄ-b przez 2q+2 jest równa ( — 1)ж+ 2a+1, a z dzielenia cz przez 2ff+2 jest równa 1. Bóżnica tych reszt musi być podzielna przez 2q v2, co, jak łatwo zauważyć, nie za­

chodzi.

Jeżeli q = 1, to otrzymujemy równanie 3 * + 4 == 5Z, o którym wia­

domo (patrz [1]), że nie ma rozwiązań w liczbach całkowitych dodatnich X, z.

Niecli więc będzie у > 2. Z lematów 1 i 2 wynika, że x = 2k, z = 2i.

Mamy więc równanie (223 — l ) 2fc+ (2a+1)J/ = (22з+ 1 )2г, które można na­

pisać ж postaci następującej:

[(22e+ l ) Z— (22e- l ) * ] [ ( 2 2e + l ) l+ ( 2 2fl,- l ) * ] = (2g+1)I/.

Musi być zatem

(3) (22a+ .l)z— (22*—1)* = 2“, (223 + l ) ?+ ( 2 2s- l ) fc - 2P,

gdzie a i /8 są liczbami całkowitymi nieujemnymi spełniającymi warunek

(4) « + |8 = {q + l)y-

Dodając i odejmując równości (3) stronami, otrzymujemy (5) (22<г+ 1 )г = 2a_1 + 2/S_1, (22®—l ) fc - 2fS- 1- 2 a~1.

Jeżeli /3 = 1, to (229—l)k = 1 — 2“-1 < 0 , co jest niemożliwe dla q i a całkowitych dodatnich. Mech więc /8 > 1. Wobec nieparzystości liczby 22<L—1 może być jedynie a = 1. Mamy wtedy

(6) (22<z+ l ) z- ( 2 23- l ) fc = 2.

Gdy к jest liczbą parzystą, to lewa strona jest podzieliła, a prawa nie jest podzieliła przez 22e, więc równość (6) nie może zachodzić dla к parzystego.

Niech więc к będzie liczbą nieparzystą. Wtedy z (5) mamy (2n —l f =

= 2*-1- ! , skąd

2м [ ( о ) (2м)* -1- (J ) (2^2q\k-2+ ••• +

( .* .) ] -

Ponieważ w nawiasie kwadratowym znajduje się liczba nieparzysta, więc może być tylko /8—1 = 2 czyli /8 = 2q | 1. Stąd wobec (4) otrzy­

mujemy у = 2, a z (5) wynika, że к — 1, czyli x = у = z = 2.

Niech teraz p będzie dowolną liczbą pierwszą nieparzystą i rozważmy równanie

(7) (22V S- l f + ( 2 r+y y = (22V S+ l f -

Reszty z dzielenia liczb a, b, c przez 2r+1ps+1 równają się odpowiednio

—1, 2Г+У , 1. Jeżeli у = 1, to reszta z dzielenia a*+ 6 przez 2Г+У +1 jest równa ( — 1 )* + 2Г+У , a z dzielenia c* przez 2rhlp Sjl jest równa 1. Różnica tych reszt ( —1)Ж+ 2 Г+У —1 musi być podzielna przez 2r+1ps+1, co, jak łatwo zauważyć, nie zachodzi. Załóżmy więc, że у > 2. Na mocy lematów 1 i 2 liczby x i z muszą być parzyste. Niech więc x — 2k i z = 21. Z równania (7) mamy

(2Г+У f = ( 2 V s+ .l)2* - {22rp2s- l f =

= [ ( 2 У Ч 1 ) ‘ - ( 2 !' / - 1 ) * ] [ ( 2 ‘У + 1 ) ' + ( 2 У - 1 ) ‘ ],

122 T. J ó z e f i a k

a zatem

(8) (22V S + 1)?+ (22V S- l ) fe = 2 V » (9) {22rp2s + l)l- { 2 2rp2s- l ) k = 2 У ,

gdzie a, fi, у, d są» pewnymi liczbami całkowitymi nieujemnymi spełniają­

cymi warunki

(10) a + 0 = (r + l ) y ,

(11) y-\-d = sy.

Dodając i odejmując równości (8) i (9) stronami otrzymamy

(12) (22У 8 + 1)г = 2“- у ’ + 2 ^ 1/ , (22* y * - l ) ft = 2a~1pv— 2p~lps.

Ponieważ liczby 22rp28 —1 i 22У ® + 1 nie są podzielne przez 2 i p, więc mogą zajść jedynie następujące możliwości:

1. /9 = 1, у = 0. Wówczas z (9) mamy

(13) (22V s + l ) * - ( 2 2y s- l ) fc = 2 / ,

gdzie oczywiście wobec (11) <5 > 0. Jeżeli Tc jest liczbą parzystą, to na mocy lematu 3 lewa strona równości (13) jest postaci 22rp2sd, a więc jest po- dzielna przez 4, tymczasem prawa strona nie jest podzielna przez 4. Za­

łóżmy zatem, że Tc jest liczbą nieparzystą. Wobec (13) i lematu 3 mamy 22rp2seĄ- 2 = 2p8, czyli 22r~1p2seJrl = p8, co jest niemożliwe, ponie­

waż lewa strona nie jest podzielna przez p.

2. a = 1, d — 0. Wówczas z (9) mamy

( 2 V S+1)*— ( 2 V S—1)* = 2P.

/

Gdy Tc jest liczbą parzystą, wtedy na mocy lematu 3 lewa strona jest po­

dzielna przez p, co jest niemożliwe. Niech więc Tc będzie liczbą nieparzystą.

Mamy wtedy 22rp2seĄ-2 = 2P, czyli 22r~1p2se-\-l = 2р~г. Dla (i > 1 lewa strona jest liczbą nieparzystą, natomiast prawa — parzystą, co nie może zachodzić. Jeżeli /9 = 1, to wobec (10) jest {r-\-l)y = 2 , a ponieważ r jest liczbą całkowitą dodatnią, więc musi być r = 1, у = 1, co przeczy założeniu у > 2.

3. a = 1, у = 0. Wtedy (22rp2s—l f = l — 2p~1pó < 0, co jest nie­

możliwe.

4. /9 = 1, ó = 0. Wtedy z (9) otrzymujemy (22V s+ 1 )1 — ( 2 V - 1 ) * = 2-

Gdy Tc jest liczbą parzystą, wówczas na mocy lematu 3 lewa strona jest podzielna przez p, co jest niemożliwe. Gdy Tc jest liczbą nieparzystą, wtedy

wobec (12) mamy

V ‘ [(o) (2 ^j "/Y - ¹ -(*)(2!V ^s)‘-2 + --+ (,!,)] = 2 - y .

Ponieważ w nawiasie kwadratowym znajduje się liczba nieparzysta, więc musi być 2r = a —1, czyli a = 2r-f-1; stąd wobec (10) jest у = 2 i wobec*

(11) у = 2s, wreszcie z (12) wynika Jc = 1, czyli x = у = z = 2.

Prace cytowane

[1] W . S ie r p iń s k i, O równaniu Зж+ 4y = 5г , Wiadomości Matematyczne I (1956), str. 194-195.

[2J L. J e ś m a n o w ic z , K ilka uwag o liczbach pitagorejskich, Wiadomości Mate­

matyczne 1 (1956), str. 196-202.

[3] K o C liao, Uwaga o liczbach pitagorejskich, Acta Scient. Natur. Univ. Sze­

chuan 1 (1958), str. 7 3 -7 8 (w jęz. chińskim), patrz Реферативный Журнал 1959, N. 8 str. 22 (7755).

T. Юзефяк (Торунь)

ОБ ОДНОЙ ГИ ПО ТЕЗЕ Л. ЕСЬ М А Н О В И Ч А О П И Ф АГО РО В Ы Х Ч И С Л А Х

РЕЗЮМЕ

В настоящей работе дано элементарное доказательство теоремы, что х = у =

= z — 2 является единственным целочисленным решением уравнения ах +Ъу = с2 для а = 22rp2s — 1, b = 2r+1ps, с — 22rp 2Sjr l , где р простое, а г и s натуральные числа.

Т. Józefiak (Toruń)

ON A H Y P O T H E S IS OF L. JE ŚM A N O W ICZ C O N CE R N IN G P IT A G O R E A N N U M B ERS

S U M M A R Y

This paper contains an elementary proof of the proposition that x — у = z 2 is the unique integer solution of the equation ax-\-bv = cz with a = 22rp2s—l, b — 2г+1р я, c — 22rp2sĄ-1, where p is prime and r, s are arbitrary integers.