1. Korzystaj¡c z denicji obliczy¢ pochodne podanych funkcji we wskazanych punktach:

dr Krzysztof ›yjewski Analiza matematyczna, Informatyka; S-I ⁰ .in». 30 kwietnia 2019

Zadania przygotowuj¡ce do sprawdzianu nr 3

1. Korzystaj¡c z denicji obliczy¢ pochodne podanych funkcji we wskazanych punktach:

a) f(x) = x ³ , x ₀ ∈ R, b) f(x) = cos x, x ₀ ∈ R, c) f(x) = ^2x−2 _x+3 , x ₀ = −2, d) f(x) = √

x ² + 3, x ₀ = 1.

2. Korzystaj¡c z denicji pochodnych jednostronnych sprawdzi¢ czy istniej¡ pochodne funkcji:

a) f(x) = |x + 4| w punkcie x 0 = −4, b) f(x) = 2x + 3|x| w punkcie x 0 = 0, c) f(x) = √

x ⁵ w punkcie x 0 = 0, d) f(x) = 2x + x|x| w punkcie x 0 = 0.

3. Oblicz pochodne podanych funkcji:

a) f(x) = x ³ sin x + e ^x tg x + ln 3x, b) f(x) = √

3x ³ + 2x + 4, c) f(x) = p

_{x cos x}

1+2 sin x , d) f(x) = arctg ^1−x _1+x

, e) f(x) = ln 

x

2x+3

 5

, f) f(x) = ln(arctg e ^2x ),

g) f(x) = arctg ⁸ (4x ² + 6), h) f(x) = cos ⁵ (x ³ · e ^x ), i) f(x) = (x + sin 2x) ^x

, j) f(x) = (x ² + 4x) ^{2 tg x} . 4. Korzystaj¡c z reguªy de L'Hospitala oblicz poni»sze granice funkcji:

a) lim

x→0

arctg x

x

, b) lim

x→0

e

−e

−2x

x−sin x , c) lim

x→+∞

ln

x

x

, d) lim

x→0 sin

x x(e

−1) , e) lim

x→0

x ² ln x, f) lim

x→0

sin x · ln x, g) lim

x→

(tg x) ^2x−π , h) lim

x→0

x ^{sin x} . 5. Wyznacz ekstrema lokalne i zbadaj monotoniczno±¢ funkcji:

a) f(x) = ³ ₂ x ⁴ + 2x ³ − 10x ² + 18x − 1, b) f(x) = _x

_−4x ¹ , c) f(x) = _x−2 ^x

, d) f(x) = xe ^−3x , e) f(x) = x ln ² x.

6. Zbadaj wkl¦sªo±¢, wypukªo±¢ wykresu funkcji oraz wyznacz punkty przegi¦cia:

a) f(x) = _1−x ^x

, b) f(x) = ln(1 + x ² ), c) f(x) = x ² e ^−x . 7. Korzystaj¡c z denicji ró»niczki funkcji oblicz przybli»on¡ warto±¢ wyra»e«:

a) √

31, 98, b) √

¹

8,04 , c) arcsin 0, 48, d) cos 63 ^◦ . 8. Znale¹¢ najwi¦ksz¡ i najmniejsza warto±¢ funkcji f(x) na wskazanym przedziale:

a) f(x) = x ² ln x, na przedziale [1, e], b) f(x) = − ¹ ₂ x + arctg x, na przedziale [0, 2].

9. Wyznacz wszystkie mo»liwe asymptoty podanych funkcji (pozioma, pionowa, uko±na):

a) f(x) = ^3x _x

⁺¹ , b) g(x) = ^x _x

^−3x ₋₄ , c) g(x) = x + arctg x.

10. Wyznacz pochodn¡ funkcji f(x) = ln x ³ w punkcie x 0 = 3.

11. Wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji f(x) = _x ¹ e

w punkcie x 0 = 1.

1